V. Ekstrema funkcji wielu zmiennych

V. Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Niech D b ¾edzie podzbiorem przestrzeni Rⁿ. Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R ma w punkcie p

maksimum lokalneje·zeli

9r>08x2D\K(p;r) f (p) f (x) , maksimum lokalne w÷a´sciwe je·zeli

9^r>08x2D\K(p;r)nfpg f (p) > f (x) , minimum lokalneje·zeli

9^r>08x2D\K(p;r) f (p) f (x) , minimum lokalne w÷a´sciweje·zeli

9r>08x2D\K(p;r)nfpg f (p) < f (x) .

Je·zeli funkcja f ma w punkcie p maksimum lub minimum lokalne, to mówimy, ze f ma w tym punkcie ekstremum lokalne. Najwi ¾· eksz ¾a warto´s´c funkcji (w ca÷ej dziedzinie) nazywamy maksimum globalnym, za´s najmniesz ¾a warto´s´c minimum globalnym.

Twierdzenie 5.1. (warunek konieczny istnienia ekstremum) Je´sli funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie (x0; y0) obie pochodne cz ¾astkowe i ekstremum lokalne, to

f⁰_x(x0; y0) = 0 oraz f⁰_y(x0; y0) = 0 .

Twierdzenie 5.2. (warunek wystarczaj ¾acy istnienia ekstremum) Je´sli funkcja dwóch zmiennych f (x; y) ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe pierwszego i drugiego rz ¾edu w otoczeniu punktu P₀o wspó÷rz ¾ednych (x₀; y₀) oraz spe÷nione s ¾a warunki:

1)

f⁰_x(x₀; y₀) = 0 i f⁰_y(x₀; y₀) = 0 2)

W (x₀; y₀) = f⁰⁰_xx(x0; y0) f⁰⁰_xy(x0; y0) f⁰⁰_yx(x₀; y₀) f⁰⁰_yy(x₀; y₀) > 0,

to funkcja f ma w punkcie P0 ekstremum w÷a´sciwe. Je´sli f⁰⁰_xx(x0; y0) < 0, to funkcja ma w P0 maksimum w÷a´sciwe, je´sli za´s f⁰⁰_xx(x0; y0) > 0 - minimum w÷a´sciwe.

Je´sli W (x₀; y₀) < 0, to funkcja f nie ma w P₀ekstremum. Je´sli W (x₀; y₀) = 0 - twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum.

1

Twierdzenie 5.3. Funkcja ci ¾ag÷a wielu zmiennych, okre´slona na ogranic- zonym zbiorze domkni ¾etym, jest ograniczona oraz osi ¾aga warto´s´c najmniejsz ¾a i najwi ¾eksz ¾a.

Aby znale´z´c najwi ¾eksz ¾a i najmniejsz ¾a warto´s´c funkcji f posiadaj ¾acej ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu w ograniczonym i domkni ¾etym zbiorze D post ¾epujemy nast ¾epuj ¾aco:

a) znajdujemy punkty le·z ¾ace we wn ¾etrzu zbioru D, w których pierwsze pochodne cz ¾astkowe funkcji f przyjmuj ¾a warto´s´c zero i obliczamy warto´s´c funkcji f w tych punktach;

b) wyznaczamy najmniejsz ¾a i najwi ¾eksz ¾a warto´s´c funkcji f na brzegu zbioru D

oraz

c) porównujemy te warto´sci.

2