Matematyka dyskretna kolokwium zaliczeniowe 3 luty 2010 Czas pracy: 120 minut Zadanie 1 (10 pkt). Korzystając z indukcji matematycznej udowodnić następującą równość:

(1)

Matematyka dyskretna kolokwium zaliczeniowe

3 luty 2010

Czas pracy: 120 minut

Zadanie 1 (10 pkt). Korzystając z indukcji matematycznej udowodnić następującą równość:

n

X

k=1

k 2 ^k = 2(n2 ⁿ − 2 ⁿ + 1).

Zadanie 2 (20 pkt). Rozwiązać rekurencję:

a ₀ = 1, a _n+1 = √

2a _n , dla n 0.

Wskazówka. Zlogarytmować powyższe równania, a następnie zapisać rekurencję dla pomocni- czego ciągu b n = log ₂ a _n .

Zadanie 3 (10 pkt). Obliczyć sumę:

n

X

k=0

(k + 2) ² .

Zadanie 4 (20 pkt). Obliczyć podwójną sumę:

n

X

k=1 k

X

j=1

3 ^k .

Zadanie 5 (10 pkt). Obliczyć sumę:

n

X

k=2

1 (k − 1)k(k + 1) . Zadanie 6 (20 pkt). Znaleźć postać zwartą dla sumy:

n

X

k=0

d √ k e.

Zadanie 7 (10 pkt). Niech m = 42 oraz n = 99. Korzystając z rozszerzonego algorytmu Euklidesa, znaleźć liczby całkowite a oraz b spełniające równość:

ma + nb = NWD(m, n).

Zadanie 8 (20 pkt). Niech n i k będą liczbami naturalnymi takimi, że k \ n. Udowodnić, że ϕ(k) \ ϕ(n), gdzie ϕ jest funkcją Eulera.

Matematyka dyskretna kolokwium zaliczeniowe 3 luty 2010 Czas pracy: 120 minut Zadanie 1 (10 pkt). Korzystając z indukcji matematycznej udowodnić następującą równość:

Matematyka dyskretna kolokwium zaliczeniowe

3 luty 2010

Czas pracy: 120 minut

Zadanie 1 (10 pkt). Korzystając z indukcji matematycznej udowodnić następującą równość:

n

X

k=1

k 2 k = 2(n2 n − 2 n + 1).

Zadanie 2 (20 pkt). Rozwiązać rekurencję:

a 0 = 1, a n+1 = √

2a n , dla n ­ 0.

Wskazówka. Zlogarytmować powyższe równania, a następnie zapisać rekurencję dla pomocni- czego ciągu b n = log 2 a n .

Zadanie 3 (10 pkt). Obliczyć sumę:

n

X

k=0

(k + 2) 2 .

Zadanie 4 (20 pkt). Obliczyć podwójną sumę:

n

X

k=1 k

X

j=1

3 k .

Zadanie 5 (10 pkt). Obliczyć sumę:

n

X

k=2

1

(k − 1)k(k + 1) . Zadanie 6 (20 pkt). Znaleźć postać zwartą dla sumy:

n

X

k=0

d √ k e.

Zadanie 7 (10 pkt). Niech m = 42 oraz n = 99. Korzystając z rozszerzonego algorytmu Euklidesa, znaleźć liczby całkowite a oraz b spełniające równość:

ma + nb = NWD(m, n).

Zadanie 8 (20 pkt). Niech n i k będą liczbami naturalnymi takimi, że k \ n. Udowodnić, że ϕ(k) \ ϕ(n), gdzie ϕ jest funkcją Eulera.

Wskazówka. Rozłożyć n oraz k na iloczyn potęg liczb pierwszych:

n = Y

p∈P

p n

, k = Y

p∈P

p k

.

ocena suma punktów 3.0 (45, 30]

3.5 (60, 45]

4.0 (75, 60]

4.5 (90, 75]

5.0 [120, 90]

k 2 ^k = 2(n2 ⁿ − 2 ⁿ + 1).

a ₀ = 1, a _n+1 = √

2a _n , dla n 0.

Wskazówka. Zlogarytmować powyższe równania, a następnie zapisać rekurencję dla pomocni- czego ciągu b n = log ₂ a _n .

(k + 2) ² .

3 ^k .

n = ^Y

p ⁿ

, k = ^Y

p ^k