17. Pracując w bazie (ψ + (~ e 3 ), ψ − (~ e 3 )), proszę wyliczyć macierz transformacji U (R ~e

Zadania z mechaniki kwantowej dla III r. biofizyki 31 października

16. Stan elektronu opisany jest przez wektor ψ = p2/5 ψ ₊ (~ e ₃ ) + p3/5 ψ − (~ e ₃ ).

(a) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania, w wyniku pomiaru rzutu spinu elektronu na kierunek ~ e ₁ , wartości ±~/2?

(b) Jaka jest średnia wartość rzutu spinu elektronu na kierunek ~ e ₁ w tym stanie? Czy ta wartość może być wynikiem pomiaru? Jaka jest wariancja rzutu spinu elektronu na kierunek ~ e ₁ ?

17. Pracując w bazie (ψ ₊ (~ e ₃ ), ψ − (~ e ₃ )), proszę wyliczyć macierz transformacji U (R _{~ e}

(φ)R _{~ e}

(θ)).

Proszę zadziałać otrzymaną macierzą na kolumnę  1 0



(reprezentującą stan ψ ₊ (~ e ₃ )) i zinter- pretować wynik.

18. Kwantowy oscylator harmoniczny. Hamiltonian kwantowego oscylatora harmonicznego otrzymujemy z wyrażenia klasycznego zastępując wielkości klasyczne przez operatory i narzu- cając reguły komutacji:

H = 1

2m P ² + 1

2 mω ² X ² = ~ω

 1

2m~ω P ² + mω 2~ X ²



, gdzie [X, P ] = i~.

(a) Definiujemy operator

ˆ

a = i

√ 2m~ω P + r mω 2~ X.

Proszę znaleźć operator ˆ a ^? .

(b) Proszę wyliczyć ˆ a ^? ˆ a, a następnie wyrazić H przez operatory ˆ a i ˆ a ^? . (c) Proszę wyliczyć komutatory: [ˆ a, ˆ a ^? ] oraz [H, ˆ a] i [H, ˆ a ^? ].

(d) Oznaczmy przez |Ei unormowany stan własny hamiltonianu do wartości własnej E:

H|Ei = E|Ei i hE|Ei = 1.

Proszę pokazać, że ˆ a|Ei i ˆ a ^? |Ei są (w ogólności nieunormowanymi) stanami własnymi hamiltonianu do wartości własnych odpowiednio (E − ~ω) i (E + ~ω), tzn.

ˆ

a ^? |Ei = α(E)|E + ~ωi i ˆ a|Ei = β(E)|E − ~ωi,

gdzie α(E) i β(E) są stałymi normalizacyjnymi. Wskazówka: Trzeba pokazać, że H (ˆ a|Ei) = (E −~ω) (ˆa|Ei) i analogicznie dla (ˆa ^? |Ei). W tym celu wykorzystać tożsamość H ˆ a = [H, ˆ a] + ˆ aH.

(e) Proszę pokazać, że dla dowolnego wektora |ψi hψ|H|ψi ≥ 0

i wywnioskować stąd, że istnieje stan podstawowy |E ₀ i taki, że ˆ a|E ₀ i = 0. Zadziałać na stan |E ₀ i hamiltonianem i pokazać, że E ₀ = ¹ ₂ ~ω. Jest to energia stanu podstawowego oscylatora harmonicznego (energia drgań zerowych)!

(f) Proszę wykazać, że dopuszczalne wartości energii oscyatora harmonicznego mają postać E = (n + 1

2 )~ω ≡ E n , a odpowiadające im stany własne są zdefiniowane przez

|E _n i = c _n (ˆ a ^? ) ⁿ |E ₀ i, gdzie c _n jest stałą normalizacyjną.

(g) Wprowadzamy skróconą notację: |E _n i ≡ |ni. Uwaga: w tej notacji |0i ≡ |E ₀ i oznacza stan podstawowy oscylatora, a nie wektor zerowy! W tej notacji

ˆ

a ^? |ni = α _n |n + 1i i ˆ a|n + 1i = β _n+1 |ni.

Proszę pokazać, że można przyjąc α _n = √

n + 1 i β _n = √

n oraz, że przy tej konwencji

|ni = 1

√ n! (ˆ a ^? ) ⁿ |0i.

Wskazówka: Proszę pokazać, że β _n+1 = α _n oraz |α _n | ² = n + 1.

(h) Proszę rozwiązać równanie ˆ a|0i = 0 w reprezentacji położeniowej i w ten sposób znaleźć unormowaną funkcję falową stanu podstawowego oscylatora ψ ₀ (x). Działając na ψ ₀ (x) potęgami operatora ˆ a ^? proszę znaleźć unormowane funkcje falowe pozostałych stanów |ni oscylatora.

Wskazówka: Skorzystać z definicji wielomianów Hermite’a H _n (x) = e

 x − d

dx

 n

e ⁻

(1)

oraz z ich warunku normalizacji Z +∞

−∞

e ^−x

H _n ² (x) dx = √

π2 ⁿ n! . (2)

Operatory ˆ a i ˆ a ^? nazywamy operatorami anihilacji i kreacji (skąd ta nazwa?), a operator N = ˆ

a ^? ˆ a operatorem liczby cząstek.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/