24. Definiujemy stan koherentny osylatora harmonicznego: ψ z = N e z a

Zadania z mechaniki kwantowej (zestaw 8)

24. Definiujemy stan koherentny osylatora harmonicznego: ψ z = N e ^{z a}

ψ ₀ , gdzie ψ 0 jest stanem podstawowym oscylatora, a ^† opertorem kreacji dla tego oscylatora i z ∈ C. Proszę pokazać, że jest to stan własny opertora a (do jakiej wartości własnej?). Rozwiązując otrzymane równanie własne dla operatora a w reprezentacji położeń proszę znaleźć (unormowaną) funkcję falową stanu ψ _z ; wyzanczyć stałą N normalizacyjną w definicji stanu koherentnego.

25. Proszę rozłożyć stan ψ _z z porzedniego zadania w bazie stanów własnych hamiltonianu oscyla- tora ψ n (tzn. wyliczyć iloczyny skalarne (ψ n , ψ _z )). Jaki jest rozkład prawdopodobieństwa dla pomiarów energii oscylatora znajdującego się w stanie koherentnym? (Odp.: rozkład Poissona.) 26. Proszę obliczyć hXi _ψ

, hP i _ψ

, 4 _ψ

(X), 4 _ψ

(P ) oraz 4 _ψ

(X)4 _ψ

(P ) w stanie koherentnym ψ _z . Wskazówka: przedstawić operatory X i P jako kombinacje operatorów a i a ^† ; nie korzystać z jawnej postaci ψ _z (x) znalezionej w zadaniu 24.

27. Proszę obliczyć _dt ^d hP X + XP i _ψ

dla H = P ² /2m + V (X). Następnie proszę pokazać, że dla stanu stacjonarnego ψ zachodzi

 P ² 2m

ψ

= 1 2

 X dV

dx (X)

ψ

(twierdzenie wirialne).

28. Stan cząstki jest opisany funkcją falową, która w reprezentacji położeń ma postać:

ψ(x) = N  1 dla x ∈ [0; a]

0 dla x / ∈ [0; a] .

Proszę znaleźć N i ˜ ψ(p). Czy rozkład prawdopodobieństwa pędu w tym stanie (dP (p) =

| ˜ ψ(p)| ² dp) ma wartość średnią? Czy odpowiedź można przewidzieć na podstawie postaci ψ(x)?

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/