Lista 5A. Szeregi potęgowe i szeregi szeregów
Zacznijmy od przypomnienia dwóch znanych już szeregów.
1. Uzasadnijmy (raz jeszcze), że:
1 +1 4 +1
9 + 1
16+ ... < 2
oraz 1
1+1 2 +1
3 +1
4+ ... = ∞ Celem tej listy jest rozważenie szeregów postaci
1 1p + 1
2p + 1 3p + 1
4p + ...
dla p rzeczywistych dodatnich. Chcemy rozstrzygnąć, czy przy danym p powyższe sumy są ograniczone (czyli istnieją), czy też nieograniczone. W pierwszym zadaniu widzimy, że dla p = 2 mamy sumę, a w drugim, że dla p = 1 nie mamy. Jak jest dla innych p?
2. Uzasadnij, że żeby suma istniała wystarczy, żeby SN były wszystkie ograniczone przez pewną liczbę, a w przeciwnym wypadku suma jest nieskończona.
3. Uzasadnij, że z tego, że dla p = 1 jest suma nieskończona wynika, że dla p ∈ (0, 1) też jest nieskoń- czona.
4. Uzasadnij, że z tego, że dla p = 2 suma jest skończona wynika, że i dla p > 2 suma jest skończona.
Wobec powyższego w gronie zainteresowań zostały nam tylko p ∈ (1, 2). Jak Ci się zdaje - gdzie będzie granica między skończonością, a nieskończonością? Czy może być w tym przedziale "wymieszana nieskończoność ze skończonością"?
5. Załóżmy, że p > 1. Udowodnij, że dla dowolnego k naturalnego 1
(2k)p + 1
(2k+ 1)p + 1
(2k+ 2)p + . . . + 1
(2k+1− 1)p ¬ 2k 1
(2k)p = (21−p)k. 6. Uzasadnij, że dla q ∈ (0, 1) zachodzi
1 + q + q2+ q3+ ... + qN ¬ 1 1 − q 7. Łącząc dwa poprzednie zadania pokaż, że jeśli p > 1, to
1 1p + 1
2p + 1
3p + ... + 1
(2k+1− 1)p ¬ 1 + (21−p)1+ (21−p)2+ (21−p)3+ ... + (21−p)k ¬ 1 1 − 21−p 8. Wywnioskuj, że dla dowolnego N naturalnego oraz p > 1 mamy
1 1p + 1
2p + 1
3p + ... + 1
Np ¬ 1 1 − 21−p
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl www.math.uni.wroc.pl/˜preisner
1
