Funkcje analityczne
Wykład 5. Szeregi potęgowe
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Plan wykładu
W czasie wykładu omawiać będziemy
| pojęcie szeregu potęgowego
| promień zbieżności szeregu potęgowego
| różniczkowalność szeregów potęgowych
| sposoby rozwijania funkcji w szeregi potęgowe
Szereg potęgowy Szereg
∞
X
n=0
an(z − z0)n ai∈ C, i = 0, 1, . . .
nazywamy szeregiem potęgowym o środku w z0.
Szereg powższy jest zbieżny, gdy zbieżny jest ciąg {sn} jego sum częściowych, tzn.
sn(z) =
n
X
k=0
ak(z − z0)k.
Wówczas granicę limn→∞sn oznaczać będziemy symbolem
∞
X
n=0
an(z − z0)n
i nazywać sumą szeregu potęgowego.
Podstawowy przykład Szereg potęgowy
∞
X
n=0
zn
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |z| < 1.
Istotnie,
| jeśli |z| 1, wówczas nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności (|zn| 6→ 0)
| jeśli |z| < 1 wówczas
sn(z) =
n
X
k=0
zk =1 − zn+1 1 − z −−−−→
n→∞
1 1 − z
Zadanie 1. Mając dany szereg potęgowy, jak znaleźć punkty, w których szereg ten jest zbieżny?
Re Im
f (x) = x21+1
−1 1
Rozważmy funkcję f (x) = 1
x2+ 1, x ∈ R.
Jej szereg Taylora to
f (x) =
∞
X
n=0
(−1)nx2n, |x| < 1.
Jest on zbieżny tylko dla |x| < 1! W jaki sposób liczby ±1 związane są z wykresem i wzorem funk- cji f ?
1. Koło zbieżności szeregu potęgowego
Promień zbieżności
Dany jest szereg potęgowy
∞
X
n=0
an(z − z0)n.
Defiujemy λ następująco (poniższy wzór nazywany bywa wzorem Cauchy’ego–Hadamarda):
λ := lim sup
n→∞
p|an n|.
Liczbę R daną wzorem:
R :=
1
λ λ ∈ (0, ∞)
0 λ = +∞
+∞ λ = 0 nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
Obszar zbieżności szeregu potęgowego
Twierdzenie 1 (O kole zbieżności szeregu potęgowego). Szereg potęgowy
∞
X
n=0
an(z − z0)n jest zbieżny bezwzględnie w kole zbieżności, tj. w zbiorze
{z ∈ C : |z − z0| < R}.
Szereg jest rozbieżny w każdym punkcie zbioru {z ∈ C : |z − z0| > R}, gdzie R jest promieniem zbieżności szeregu.
Przypomnijmy, że szereg P∞
n=0an(z − z0)n jest zbieżny bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg
∞
X
n=0
|an(z − z0)n|
Ponadto każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.
Obszar zbieżności szeregu Szereg potęgowy
∞
X
n=0
an(z − z0)n. jest zbieżny w kole
|z − z0| < R.
z0
R
Użyteczny fakt
Niech {an} ⊂ C. Jeśli istnieje granica
n→∞lim
|an+1|
|an| = ρ, to
n→∞lim
p|an n| = ρ.
Zbieżność szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności
O zbieżności szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności (czyli na okręgu) ogólnie nie można nic powiedzieć.
Należy rozważyć następujące trzy przykłady
| szereg zbieżny na brzegu koła zbieżności
∞
X
n=1
zn n2
| szereg rozbieżny na brzegu koła zbieżności
∞
X
n=1
zn
| szereg zbieżny w jednym punkcie brzegu kołą zbieżności, rozbieżny poza tym punktem
∞
X
n=1
zn n.
2. Różniczkowanie sumy szeregu potęgowego
Pomocniczy fakt Lemat 1. Jeśli szereg
∞
X
n=0
an(z − z0)n
ma promień zbieżności R, to taki sam promień zbieżności będą miały szeregi
∞
X
n=1
nan(z − z0)n−1 oraz
∞
X
n=1
an
n + 1(z − z0)n.
Wniosek 1. Rózniczkowanie lub całkowanie szeregu potęgowego wyraz po wyrazie nie zmienia promienia zbieżności.
Różniczkowanie sumy szeregu potęgowego
Twierdzenie 2. Niech f (z) = n=0an(z − z0) , gdzie |z − zo| < R, a R jest promieniem zbieżności tego szeregu. Wówczas
| f jest różniczkowalna w każdym punkcie dysku |z − z0| < R
|
f0(z) =
∞
X
n=1
nan(z − z0)n−1 |z − zo| < R.
Różniczkowanie sumy szeregu potęgowego: wnioski
| Suma szeregu potęgowego
∞
X
n=0
an(z − z0)n |z − z0| < r
jest funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną w kole zbieżności oraz
f(k)(z) =
∞
X
n=k
n(n − 1) . . . (n − k + 1)an(z − z0)n |z − z0| < r.
|
ak= f(k)(z0)
k! k = 0, 1, . . . W konsekwencji
f (z) =
∞
X
n=0
f(n)(z0)
n! (z − z0)n |z − z0| < r, czyli szereg potęgowy jest szeregiem Taylora funkcji f w punkcie z0.
Każda funkcja analityczna jest funkcją holomorficzną
Niech f : A ⊂ C, A ⊂ C, A jest obszarem. Niech z0 ∈ A. Mówimy, że f jest analityczna w A, jeśli w każdym punkcie z0∈ A jest rozwijalna w szereg potęgowy, tzn. istnieją liczba r > 0 oraz współczynniki ai∈ C, i = 0, 1, 2 . . . , dla których
f (z) =
∞
X
n=0
an(z − z0)n |z − z0| < r.
Wniosek 2. Jeśli funkcja f jest analityczna w obszarze A, to f jest w tym obszarze funkcją holomor- ficzną.
Uwaga! 1. Już wkrótce pokażemy, że prawdziwa jest również implikacja odwrotna, tzn. każda funkcja holomorficzna jest analityczna.
Rodzaje zbieżności szeregów potęgowych Dany jest szereg potęgowy
∞
X
n=0
an(z − z0)n |z − z0| < R.
W kole zbieżności jest on
| zbieżny punktowo
| zbieżny bezwzględnie
| zbieżny niemal jednostajnie, tzn. zbieżny jednostajnie na każdym podzbiorze zwartym koła zbieżności
z0
R
3. Sposoby rozwijania funkcji różniczkowalnych w szeregi potęgowe
Podstawowe szeregi Jeśli |z| < 1 wówczas
∞
X
n=0
zn = 1 1 − z
∞
X
n=0
(−1)nzn = 1 1 + z
Strategia rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy może polegać na tym, by użyć powyższych szeregów oraz elementarnych działań (m.in. różniczkowanie, całkowanie).
4. Porównanie z funkcjami rzeczywistymi
Porównanie z funkcjami rzeczywistymi Funkcja f : R → R dana wzorem
f (x) =
(e−x21 , x 6= 0
0, x = 0
posiada dla x0 = 0 pochodne dowolnego rzędu ale nie można tej funkcji rozwinąć w szereg Taylora w z0= 0 (gdyż f(n)(0) = 0 dla n − 0, 1, 2 . . . ).
Istnieją zatem (rzeczywiste) funkcje różniczkowalne, które nie są analityczne!
Re Im
f
5. Zadania na ćwiczenia
1. Zbadać zbieżność szeregóœ potęgowych na okręgu |z| = 1.
| P∞ n=0
zn
| P∞ n n=0
zn n2
| P∞ n=0zn
2. Znaleźć promień zbieżności poniższych szeregów potęgowych:
| P∞
n=1
2nzn
| P∞
n=0 z2n
n!
| P∞
n=1 n!
nnzn
| P∞
n=0
1 + (−1)nn
zn
| P∞
n=0
n!zn.
| P∞
n=1(2i)n(z − i)n!
| P∞ n=1
(−1)n
n2n (z − 1 + i)n.
4. Rozwinąć daną funkcję w szereg Taylora w punkcie z0, gdzie
| 1/z w punkcie z0= i
| 1/(z − 5) w punkcie z0= 1
| 1/z2 w punkcie z0= 3
| 1/(z + 1)(z + 2) w punkcie z0= 0.
