Szeregi potęgowe.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Kolokwium 9 (28.04.2016) - materiał poziomu B do zad. 1060

Szeregi potęgowe.

Zadania do omówienia na ćwiczeniach 26–27.04.2016 (grupy 2–3, poziom B), a w miarę wolnego czasu także na ćwiczeniach 25.04.2016 (grupa 1).

Szeregi potęgowe.

Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

1031.

∞

X

n=1

10ⁿxⁿ

n¹⁰ 1032.

∞

X

n=1

xⁿ

n · 10ⁿ⁻¹ 1033.

∞

X

n=0

50ⁿx²ⁿ⁺⁵ 1034.

∞

X

n=1

xⁿ n(n + 1) 1035.

∞

X

n=1

x²ⁿ

√n²+ n − n 1036.

∞

X

n=1

4ⁿ⁺⁵x³ⁿ⁺⁷

n · 6²ⁿ 1037.

∞

X

n=1

(2n)!xⁿ

(n!)³ 1038.

∞

X

n=1

2ⁿ⁺⁷x⁶ⁿ

√n 1039.

∞

X

n=1

n!x²ⁿ 1040.

∞

X

n=1

10ⁿ²xⁿ³ 1041.

∞

X

n=0

8ⁿ· n⁸ n¹⁰+ 1· x³ⁿ

Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

1042.

∞

X

n=1

n!

nⁿxⁿ⁺⁷ 1043.

∞

X

n=0

4n n

!

xⁿ 1044.

∞

X

n=0

n!xⁿ² 1045.

∞

X

n=0

n + 10 n

!

xⁿ

1046.

∞

X

n=0

n!(3n)!

(2n)!(2n)!xⁿ

1047. Obliczyć sumę szeregu potęgowego

∞

X

n=0

x²ⁿ 2ⁿ .

1048. Podać przykład szeregu potęgowego o promieniu zbieżności 2 i sumie równej 7 dla x = 1.

1049. Podać przykład dwóch szeregów potęgowych o promieniach zbieżności 1, któ- rych suma jest szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności 2.

Rozwiązania zadań 1050-1060 znajdują się na liście 28R.

1050. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(n + 35)ⁿ²· x⁵ⁿ nⁿ² .

1051. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

x⁵ⁿ²

√n · 5ⁿ² .

Lista 28B - 64 - Strony 64-65

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

1052. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

n! · 2ⁿ· x³ⁿ nⁿ·^3n_n^ .

1053. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(n + 3) · 3ⁿ· x³ⁿ n²+ 10 .

1054. Podać przykład takiego szeregu potęgowego

∞

P

n=0

a_nxⁿ zbieżnego na całej prostej rzeczywistej, że

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 5 dla x = 1 oraz

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 20 dla x = 2 .

1055. Podać przykład takiego szeregu potęgowego ^P∞

n=0

a_nxⁿ zbieżnego na całej prostej rzeczywistej, że

∞

X

n=0

anxⁿ= 2 dla x = 1 oraz

∞

X

n=0

anxⁿ= 18 dla x = 3 .

1056. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

2ⁿ· xⁿ² n¹⁰⁰⁰ .

1057. Podać przykład takiego szeregu potęgowego ^P∞

n=0

a_nxⁿ o promieniu zbieżności równym 2, że

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 4 dla x = 1 .

1058. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

((3n)!)²ⁿ· x⁶ⁿ² ((2n)!)³ⁿ .

1059. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

n²ⁿ²· xⁿ² ((2n)!)ⁿ .

1060. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(4n)! · x⁶ⁿ (2n)! · n^pn

dla tak dobranej wartości rzeczywistej parametru p, aby promień ten był dodatni i skoń- czony.

Lista 28B - 65 - Strony 64-65