Zestaw II
1.Oblicz pochodne cząstkowe funkcji:
a) z f x y xy x y
− +
=
= 1
) ,
( 2 b) z=ln(x2 +3y2) c)
y ar x z= ctg
d) 22 ? 2 ? 22 =?
∂
= ∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
y z y
x z x
z dla a,b,c e) Obliczyć wyrażenie 2
2 2 2
y z x
z
∂ + ∂
∂
∂ dla z=cos(xy)
2.Sprawdzić, że funkcja
a) p=ln(x2+y2) spełnia równanie 22 22 y
p x
p
∂ + ∂
∂
∂ =0
b) y
x
e
u= spełnia równanie
y x y u y u x u
∂
∂ + ∂
∂
−∂
∂
∂ 2
=0 3.Wyznacz ekstrema lokalne funkcji:
a) z=x3+8y3−6xy+5 odp. zmin = z(1,0.5)=4, uwaga P(0,0) nie jest punktem ekstremum b) z=x2 +xy+y2−6x−9y
c) z=15x−3xy2 −x3+12y
d) 2ln ln(12 )
ln6
3 x y x y
z= + + − −
4. Obliczyć całki iterowane a) ∫ ∫3( + b)
0 2 2
0
2xy dy x
dx ) ∫dv∫vevudu
0 1 0
c) Obliczyć całkę podwójną ∫∫ + , gdzie D jest trójkątem ograniczonym prostymi x=0, y=0 x+y=3
D
dxdy y
x )
(
d) Obliczyć całkę podwójną ∫∫ +
D
y dxdy x
x
2
2 , gdzie D jest obszarem ograniczonym prostymi
• prostymi x=2 y=x y=0.5x
• parabolą 2y= x2i prostą y=x 5. Zamień na całki iterowane !!
a) ∫∫xydxdy D:
D
b) ∫∫ −
D
x dxdy ax 2
1 , gdzie d jest obszarem ograniczonym parabolą y2 =−ax+a2,a>0i osią y
