Punkty stałe odwzorowań w przestrzeniach metrycznych i SF-przestrzeniach

Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki

Krzysztof Wesołowski

Punkty stałe odwzorowań w przestrzeniach metrycznych i SF-przestrzeniach

Rozprawa doktorska

przygotowana pod kierunkiem prof. zw. dr hab. Grzegorza Lewickiego

Kraków 2014

za wspaniałą współpracę, nieocenioną pomoc, życzliwość i opiekę naukową podczas przygotowywania niniejszej rozprawy.

Wstęp 5

1 Metryczna teoria punktu stałego 8

2 Uogólnione twierdzenie Banacha o punkcie stałym 14 2.1 Przegląd istniejących wyników dotyczących Uogólnionego Twierdze-

nia Banacha o Punkcie Stałym . . . 15 2.2 Definicje . . . 16 2.3 Dowód uogólnionego twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Tw. 2.2) 17 2.4 Przypadki szczególne . . . 34

3 Odwzorowania α - nierozszerzające 49

3.1 Definicje i własności odwzorowań α-nierozszerzających . . . 49 3.2 Pewne nowe wyniki dotyczące odwzorowań α-nierozszerzających . . 50

4 SF-przestrzenie 58

4.1 Definicje . . . 58 4.2 Uogólnione twierdzenie Banacha o punkcie stałym w SF-przestrzeniach 62

Bibliografia 67

Teoria punktu stałego to jedno z najbardziej użytecznych narzędzi matematyki współczesnej. Znajduje zastosowanie w wielu gałęziach matematyki, między in- nymi w badaniu istnienia i jedyności rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych i całkowych, a także w inżynierii, fizyce, ekonomii, teorii gier, biologii, chemii i in- nych naukach. Zajmuje się ona przede wszystkim odpowiedzią na pytanie, przy jakich warunkach nałożonych na niepusty zbiór X i na odwzorowanie T : X → X istnieje element x∈ X taki, że T (x) = x (jest on nazywany punktem stałym T ).

Korzenie tej teorii sięgają pracy Poincare’a ([P]) z roku 1886, jednak początek wyodrębniania się jej jako samodzielnego działu matematyki to wiek XX, wraz z ukształtowaniem się języka i metod topologii i analizy funkcjonalnej.

W 1910 r. Brouwer udowodnił, że odwzorowanie ciągłe domkniętej kuli w prze- strzeni R³ w siebie ma punkt stały ([Brou1]). Rok później Hadamard przedstawił pierwszy dowód uogólnienia tego twierdzenia na przestrzeń Rⁿ, zaś w 1912 r. Bro- uwer przedstawił własny dowód. W 1930 r. wynik Brouwera uogólnił Schauder na niepuste, wypukłe i zwarte podzbiory przestrzeni Banacha, a po nim w 1941 r.

Kakutani ([Kak]) na multifunkcje.

Z drugiej strony w roku 1922 r. Banach udowodnił słynne twierdzenie, mówiące o jedyności punktu stałego, gdy T jest kontrakcją, zaś X przestrzenią metryczną zupełną ([Ba]). Wynik ten uogólnili między innymi Kirk na odwzorowania nieroz- szerzające i Kannan ([BK], [Kan]).

5

Twierdzenia Brouwera i Banacha wyznaczają dwa różne nurty teorii punktu sta- łego - topologiczny i metryczny. Jednak, formalnie rzecz biorąc, punkty stałe można badać, mając do dyspozycji znacznie uboższą strukturę - zbiór i odwzo- rowanie na nim określone. Takie podejście - dyskretne - ukierunkowane jest przez twierdzenie Tarskiego ([T]), w którym odwzorowanie określone jest na kracie zu- pełnej. W rozdziale 1 zostaną przedstawione szerzej pewne wyniki dotyczące me- trycznej teorii punktu stałego.

Dynamiczny rozwój teorii punktu stałego nastąpił w drugiej połowie XX wieku i wiązał się z nowymi wynikami dotyczącymi m.in. odwzorowań nierozszerzają- cych, multifunkcji, jedności punktu stałego, jego przybliżania, czy stuktury zbioru punktów stałych.

Przez dłuższy czas otwarty był następujący problem, związany z klasycznym twier- dzeniem Banacha o punkcie stałym:

Problem 1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Niech T : X → X będzie takie, że przy pewnych N ­ 1 oraz 0 < M < 1 zachodzi

min{d(T^jx, T^jy), 1¬ j ¬ N} ¬ Md(x, y) ∀x, y ∈ X.

Wtedy T ma dokładnie jeden punkt stały.

Częściowe rezultaty dotyczące tego problemu można znaleźć między innymi w [JSS], [G2], [JS], [S], [MRS]. Przegląd tych wyników przedstawiamy w rozdziale 2.

Powyższa hipoteza została pozytywnie rozstrzygnięta w pracach A generalization of the Banach contraction principle autorstwa Jamesa Merryfelda i Jamesa D. Ste- ina ([MS]) oraz A proof of the generalized Banach contraction conjecture autorstwa Alexandra D. Arvanitakisa ([A]).

Niniejsza rozprawa nawiązuje do tego wyniku. Głównym jej celem jest udowod- nienie następującego rezultatu:

6

Twierdzenie 1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Niech T : X → X będzie takie, że

min{d(T^jx, T^jy), 1¬ j ¬ N} ¬ ϕ(d(x, y)) · d(x, y) ∀x, y ∈ X

przy pewnym N ­ 1 (niezależnym od x i y) oraz przy pewnej ciągłej funkcji ϕ : [0,∞) → [0, 1] takiej, że ϕ(t) = 1 ⇔ t = 0 oraz ∃t⁰ > 0, λ < 1∀t ­ t⁰ ϕ(t) ¬ λ.

Wtedy T ma dokładnie jeden punkt stały.

Dowód tego twierdzenia, przedstawiony w rozdziale 2, bazuje na lematach kombi- natorycznych i pochodzącym od H. Furstenberga rezultacie ([F, Tw. 1.24]). Poda- jemy również przy silniejszych założeniach na odwzorowanie T prostsze dowody Tw. 1 (tw. 2.12, 2.11, 2.13).

W rozdziale 3. podajemy zastosowania Tw. 1 do badania punktów stałych odwzo- rowań α-nierozszerzających, wprowadzonych przez K. Goebela (def. 3.1, 3.2).

W rozdziale 4. pokazujemy, że wcześniej udowodnione rezultaty pozostają praw- dziwe, gdy metrykę zastąpimy przez wprowadzoną przez G. Lewickiego w pracy [L] SF-normę. SF-norma jest pewnym uogólnieniem F-normy oraz modularu.

Badania zostały wykonane przy finansowym wsparciu Narodowego Centrum Nauki w ramach projektu nr N N201 609640.

7

Metryczna teoria punktu stałego

Przedstawimy teraz kilka istotnych własności i przykładów związanych z me- tryczną teorią punktu stałego.

Twierdzenie 1.1 (Twierdzenie Banacha o punkcie stałym). Niech X będzie prze- strzenią metryczną zupełną, zaś T : X → X kontrakcją. Wtedy T posiada dokład- nie jeden punkt stały x0. Jest on granicą ciągu {Tⁿx}^∞_n=1, gdzie x jest wybrany dowolnie.

Oczywiście założenie zupełności X jest istotne, o czym świadczy poniższy

Przykład 1.1. Niech X = (0, 1) oraz T : X ∋ x 7→ ¹₂x ∈ X. Wtedy T jest kontrakcją, choć nie ma punktu stałego.

W powyższym twierdzeniu nie da się osłabić założenia kontrakcyjności poprzez szacowanie d(T x, T y) < d(x, y), co pokazuje poniższy

Przykład 1.2. Niech T : [1,∞) =: X ∋ x 7→ T x := x + ¹_x ∈ [1, ∞). Wtedy T nie ma punktu stałego.

8

Można osłabić założenie o kontrakcyjności, jednocześnie więcej wymagając od sa- mej przestrzeni.

Twierdzenie 1.2 (Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym). Niech X będzie przestrzenią Banacha, zaś C ⊂ X wypukły i zwarty oraz T : C → C ciągłe. Wtedy T ma punkt stały.

O tym, że nie można pominąć założenia zwartości, świadczą przykłady 1.1 i 1.2, zaś że istotna jest wypukłość pokazuje

Przykład 1.3. Niech X := l²₂, X ⊃ C := S((0, 0), 1) oraz T : C ∋ (x1, x2) 7→

(−x², x1) ∈ C. Wtedy oczywiście kT x − T yk = kx − yk , x, y ∈ C, zatem T jest ciągłe, jednak nie ma punktu stałego, a nawet minimalne przesunięcie jest większe od 0.

Twierdzenie 1.3 ([Kl]). Dla każdej przestrzeni Banacha X, dowolnego niepu- stego, domkniętego, wypukłego, ale nie zwartego podzbioru C ⊂ X istnieje odwzo- rowanie ciągłe T : C → C nie mające punktu stałego.

Twierdzenie 1.4 ([Brow], [Ki], [G1]). Niech X będzie jednostajnie wypukłą prze- strzenią Banacha, niech także C ⊂ X będzie niepusty, domknięty, wypukły i ogra- niczony, zaś T : C → C nierozszerzające. Wtedy T ma punkt stały.

Założenie ograniczoności C jest istotnie, co pokazuje

Przykład 1.4. Niech C := X := [0,∞) z normą euklidesową, zaś T : C ∋ x → x + 1 ∈ C. Wtedy T nie ma punktu stałego.

Punkt stały, o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nie musi być jedyny, o czym świadczy

9

Przykład 1.5. Wystarczy wziąć C := X := [0, 1] z normą euklidesową, oraz T x := x.

Nawet, jeśli punkt stały jest jedyny, to nie musi być wyznaczony jako granica ciągu iteracji T. Zresztą, granica ta nie musi wcale istnieć.

Przykład 1.6. Niech C := X := [0, 1] oraz T x = 1− x dla x ∈ C. Biorąc x⁰ = 0 ciąg {Tⁿx0}^∞n=1 nie ma granicy.

Założenia, że T jest nierozszerzające nie da się w twierdzeniu 1.4 osłabić, co po- kazuje

Przykład 1.7 ([CG, Prz. 1]). Niech 0¬ ε ¬ 1 oraz

T : l² ⊃ B ∋ x = (x1, x2, x3, ...)→ T x := (ε(1 − kxk), x1, x2, x3, ...)∈ S ⊂ B ⊂ l². Wtedy kT x − T yk ¬ √

1 + ε²kx − yk oraz T nie ma punktu stałego, choć T jest lipschitzowskie ze stałą dowolnie bliską 1, zaś d(T ) = 0.

Bez założenia jednostajnej wypukłości w 1.4 możemy uzyskać mniej.

Twierdzenie 1.5. Niech X będzie przestrzenią Banacha, C ⊂ X niepusty, do- mknięty, ograniczony i wypukły. Jeśli T : C → C jest nierozszerzające, to d(T ) = 0.

O tym, że nie można wymagać istnienia punktu stałego, świadczą poniższe przy- kłady.

Przykład 1.8. Niech

C[0, 1] =: X ⊃ C := {x : 0 = x(0) ¬ x(t) ¬ x(1) = 1}

10

oraz T : C → C niech będzie dana następująco (T x)(t) := x (min {2t, 1}) . Wtedy T jest izometrią, zatem jest nierozszerzające, d(T ) = 0, jednakże T nie ma punktu stałego.

O tym, że wypukłość jest istotna, świadczy przykład 1.3.

Przykład 1.9 (shift w prawo). Niech X := c0 oraz T : X → X niech będzie dana następująco

(T x)i :=





xi−1, i­ 1 1 i = 0 . Wtedy T również jest izometrią, bez punktu stałego.

Przykład 1.7 pokazuje, że klasa odwzorowań, dla których d(T ) = 0, jest szersza, niż tylko odwzorowania nierozszerzające, co jest intuicyjne.

Ponadto zachodzi następujące

Twierdzenie 1.6 ([LS]). Dla każdej przestrzeni Banacha X, dowolnego niepu- stego, domkniętego, ograniczonego, wypukłego, ale niezwartego podzbioru C ⊂ X oraz dowolnej k > 1 istnieje odwzorowanie T : C → C klasy L(k) takie, że d(T ) > 0.

Przykład 1.10 ([CG, Prz. 5]). Niech X = c₀, k ­ 1 oraz α : R ∋ t 7→ α(t) :=

min{|t| , 1} ∈ R. Niech

T : X ⊃ B ∋ x = (x1, x2, x3, ...) 7→ T x := (1, α(k |x1|), α(k |x2|), α(k |x3|), ...) ∈ B Wtedy T ∈ L(k) oraz kx − T xk ­ 1 − ¹_k.

Przykład 1.11 ([CG, Prz. 9]). Niech

C[0, 1] =: X ⊃ C := {x : 0 = x(0) ¬ x(t) ¬ x(1) = 1} .

11

Niech C ∋ α 6= id[0,1]. Niech Tα : C → C będzie dana następująco:

Tαx(t) := (α◦ x)(t).

Wtedy

kx − T^αxk = max {|x(t) − α(x(t))| , t ∈ [0, 1]}

= max{|s − α(s)| , s ∈ [0, 1]}

= id[0,1]− α = const > 0.

Dla α(t) := min {kt, 1} jest kx − T^αxk ­ 1 −_k¹.

Przykład 1.12 ([G4, Prz. 1]). Niech

C[0, 1]⊃ C := {x : 0 = x(0) ¬ x(t) ¬ x(1) = 1}

oraz T : C → C będzie dana następująco (T x)(t) := k· max



x(t) + 1 k − 1, 0



. Wtedy T ∈ L(k) oraz kx − T xk ­ 1 − ¹_k.

Przykład 1.13 ([G4, Prz. 2]). Niech

L¹(0, 1)⊃ C :=ⁿx∈ L¹ : 0¬ x(t), kxkL¹ = 1^o i niech tx := supⁿt : ^R₀^tx(s)ds = 1− ¹k

o. Określmy

(T x)(t) :=





0, t¬ t^x kx(t), t > tx

.

Wtedy T ∈ L(k) oraz kx − T xk ­ 1 − ¹_k.

Przykład 1.14 ([G4, Prz. 3]). Niech c0 ⊃ C := {(xⁱ)^∞_i=1 : x1 = 1, 0¬ xⁱ ¬ 1 } . Niech

(T x)i :=





1, i = 1

min{1, kxⁱ−1} , i > 1 . Wtedy T ∈ L(k) oraz kx − T xk ­ 1 − ¹k.

12

Przykład 1.15. Ustalmy k > 1. Niech

α : [−1.1] ∋ t 7→ α(t) :=











−1, −1 ¬ t ¬ −¹k

kt, −¹_k ¬ t ¬ ¹_k 1, ¹_k ¬ t ¬ 1

∈ [−1, 1]

oraz T : C[−1, 1] → C[−1, 1] będzie dana następująco

(T x)(t) := α(max{−1, min {1, x(t) + 2t}} . Wtedy kx − T xk ­ 1 − ¹_k.

Przykład 1.16. Niech (C[0, 1],k·k_∞) ⊃ C := {x : 0 = x(0) ¬ x(t) ¬ x(1) = 1}

oraz T : C → C niech będzie określona następująco (T x)(t) := (1

2x(t) +1 2)x (t) . Wtedy kx − T xk ­ ¹₈

Twierdzenie 1.7 ([GSz]). Niech T : C → C będzie odwzorowaniem lipschitzow- skim z d := d(T ) > 0. Wtedy ˜T : C ∋ x 7→ x + d ·_{kT x−xk}^{T x−x} ∈ C jest odwzorowaniem lipschitzowskim, dla którego x− ˜T x = d dla dowolnego x∈ C.

Twierdzenie 1.8 ([G4, Tw. 1]). Niech X będzie przestrzenią Banacha, C ⊂ X niepusty, domknięty, ograniczony i wypukły, k ­ 1. Niech teraz r(x, C) :=

sup{kx − yk , y ∈ C} oraz r(C) := inf {r(x, C), x ∈ C} . Niech T ∈ L(k, C).

Wtedy

d(T )¬ r(C)



1− 1 k



.

W kolejnych rozdziałach przytoczone będą istniejące i przedstawione nowe wyniki dotyczące osłabienia założeń niektórych wyżej wymienionych twierdzeń.

13

Uogólnione twierdzenie Banacha o punkcie stałym

Jak już wspomnieliśmy we wstępie, w tym rozdziale przedstawimy pewne uogól- nienie poniższego rezultatu:

Twierdzenie 2.1 (Uogólnione twierdzenie Banacha o punkcie stałym). Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Niech T : X → X będzie takie, że przy pewnych N ­ 1 oraz 0 < M < 1 zachodzi

min{d(T^jx, T^jy), 1¬ j ¬ N} ¬ Md(x, y) ∀x, y ∈ X.

Wtedy T ma dokładnie jeden punkt stały.

Motywację do rozważania stanowiły uwagi dotyczące Twierdzenia 2.1 z [G2, str.

21].

Głównym rezultatem niniejszej rozprawy jest następujące

Twierdzenie 2.2. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Niech T : X → X będzie takie, że

min{d(T^jx, T^jy), 1¬ j ¬ N} ¬ ϕ(d(x, y)) · d(x, y) ∀x, y ∈ X

14

przy pewnym N ­ 1 (niezależnym od x i y) oraz przy pewnej ciągłej funkcji ϕ : [0,∞) → [0, 1] takiej, że

• ϕ(t) = 1⇔ t = 0

• ∃t0 > 0, λ < 1 ∀t ­ t0 ϕ(t) ¬ λ.

Wtedy T ma dokładnie jeden punkt stały.

2.1 Przegląd istniejących wyników dotyczących Uogólnionego Twierdzenia Banacha o Punkcie

Stałym

Przytoczmy najpierw kilka faktów dotyczących etapów dowodu Tw. 2.1. W lite- raturze anglojęzycznej przyjęło się używać dla niego nazwy Generalized Banach Contraction Principle.

Dla N = 1 sprowadza się ono do klasycznego twierdzenia Banacha o punkcie stałym, w którym odwzorowanie T jest jednostajnie ciągłe.

W [JSS] udowodniono, że twierdzenie zachodzi w szczególnym przypadku, gdy N = 2, a także dla N = 3 przy dodatkowym założeniu, że T jest ciągłe. Wskazano także przykłady nieciągłych odwzorowań, które spełniają założenia twierdzenia przy N = 3.

W [G2, str. 22] oraz [JS] pokazano, że twierdzenie zachodzi przy dowolnym N ­ 1, przy dodatkowym założeniu, że T jest jednostajnie ciągłe.

W [S] udowodniono, że twierdzenie zachodzi przy dowolnym N ­ 1, o ile T jest silnie ciągłe.

15

W [MRS] pokazano, że twierdzenie zachodzi przy dowolnym N ­ 1, o ile T jest ciągłe, a także przy N = 3 bez dodatkowych założeń o T .

Ostatecznie w [A] oraz [MS] udowodniono Tw. 2.1 przy dowolnym N ­ 1 i usta- lonym 0 < M < 1.

2.2 Definicje

W dalszej części rozdziału przydatne będą następujące definicje:

Definicja 2.1. Skończony zbiór A = {n¹ < n2 < ... < nk} ⊂ N nazywamy S - syndetycznym przy pewnej stałej S ∈ N, jeśli ni+1 − nⁱ ¬ S dla 1 ¬ i ¬ k − 1.

Definicja 2.2. Nieskończony zbiór A ⊂ N nazywamy S - syndetycznym przy pewnej stałej S ∈ N, jeśli dla dowolnego l ∈ N zachodzi {i ∈ N : l + 1 ¬ i ¬ l + S} := [l + 1, l + S] ∩ A 6= ∅.

Definicja 2.3. Zbiór A nazywamy syndetycznym, jeśli A jest S - syndetyczny przy pewnej stałej S ∈ N.

Definicja 2.4. Nieskończony zbiór A⊂ N nazywamy kawałkami S - syndetycznym przy pewnej stałej S ∈ N, jeśli dla dowolnego N ∈ N istnieje B ⊂ A taki, że

#B ­ N oraz B jest S - syndetyczny.

Definicja 2.5. Zbiór A nazywamy kawałkami syndetycznym, jeśli A jest kawał- kami S - syndetyczny przy pewnej stałej S ∈ N.

2.3 Dowód uogólnionego twierdzenia Banacha o punkcie stałym (Tw. 2.2)

Przytoczmy najpierw następujący istotny dla naszych rozważań rezultat

Twierdzenie 2.3 ([F, Tw. 1.24]). Jeśli N ⊃ B = ∪^∞i=1Bi jest kawałkami synde- tyczny, to istnieje i ∈ N takie, że Bⁱ jest kawałkami syndetyczny.

Następnie przejdźmy dowodu Tw. 2.2. W tym celu udowodnimy trzy rezultaty.

Zacznijmy od:

Twierdzenie 2.4. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech T : X → X będzie takie, że

min{d(T^jx, T^jy), 1¬ j ¬ N} ¬ ϕ(d(x, y)) · d(x, y) ∀x, y ∈ X

przy pewnym N ­ 1 oraz przy pewnej ciągłej funkcji ϕ : [0, ∞) → [0, 1] takiej, że

• ϕ(t) = 1⇔ t = 0

• ∃t0 > 0, λ < 1 ∀t ­ t0 ϕ(t) ¬ λ.

Wtedy dla dowolnego x0 ∈ X istnieje {bⁿ}^∞n=1 ⊂ N - ciąg N-syndetyczny i rosnący taki, że ciąg {T^bnx0}^∞n=1 jest ograniczony oraz b1 = 0.

Dowód. Ustalmy x0 ∈ X. Niech C := max{d(x⁰, T^kx0), 1 ¬ k ¬ N}. Jeśli C = 0, to x0 jest punktem stałym T i wystarczy wziąć {bⁿ}^∞n=1 = N. W przeciwnym wypadku niech t₀ oraz λ będą ustalone na mocy założenia. Określmy

M := max{1 2, sup

t­Cϕ(t)}.

Oczywiście sup

t­Cϕ(t) = max{sup{ϕ(t), t ∈ [C, max{t0, C+1}]}, sup{ϕ(t), t ­ max{t0, C+1}}}.

Jednakże z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu przez funkcję ciągłą kresów na zbiorze zwartym wynika, że

sup{ϕ(t), t ∈ [C, max{t⁰, C + 1}]} = ϕ(a) < 1 przy pewnym a ∈ [C, max{t0, C + 1}].

Z drugiej strony z założenia sup{ϕ(t), t ­ max{t0, C + 1}} ¬ λ < 1, a zatem ostatecznie ¹₂ ¬ M < 1.

Wybierzemy taki ciąg {bⁿ}^∞n=1, że d(x0, T^bnx0)¬ _1−M^C . Niech b1 := 0. Zauważmy, że d(x0, T^Nx0)¬ C < _1−M^C . Określmy zatem b2 := N.

Mając już określony wyraz bn taki, że d(x0, T^bnx0) ¬ _1−M^C określimy wyraz bn+1. Z założenia istnieje jn ∈ {1, ..., N} takie, że

d(T^jnx₀, T^bn+jnx₀)¬ ϕ(d(x0, T^bnx₀))· d(x0, T^bnx₀).

Zatem

d(x0, T^bn+jnx0)¬ d(x⁰, T^jnx0) + d(T^jnx0, T^bn+jnx0)

¬ C + ϕ(d(x0, T^bnx0))· d(x0, T^bnx0) =: Pn

Jeśli d(x0, T^bnx0) < M_1−M^C , to Pn ¬ C + 1 · M_1−M^C = _1−M^C . Przeciwnie, jeśli d(x0, T^bnx0) ­ M_1−M^C , to d(x0, T^bnx0) ­ C, gdyż _1−M^M C ­ C dla ¹₂ ¬ M < 1, zatem ϕ(d(x0, T^bnx0))¬ supt­Cϕ(t) ¬ M. Z tego wynika, że Pⁿ ¬ C + M ·_1−M^C =

C

1−M. Określmy teraz bn+1 := bn+ jn. Oczywiście d(x0, T^bn+1x0)¬ _1−M^C .

Udowodnimy teraz twierdzenie, mówiące o istnieniu podorbity T , będącej ciągiem Cauchy’ego. Pomysł na konstrukcję tej podorbity został zaczerpnięty z [A] i dosto- sowany na potrzeby odwzorowania T , spełniającego słabsze założenie, niż warunek ze stałą M w Twierdzeniu 2.1. Następne twierdzenie stanowi kluczowy fragment dowodu Tw. 2.2.

Twierdzenie 2.5. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech T : X → X będzie takie, że przy pewnym N ­ 1 oraz przy pewnej funkcji ciągłej ϕ : [0, ∞) → [0, 1] takiej, że

• ϕ(t) = 1⇔ t = 0,

• ∃t0 > 0, λ < 1 ∀t ­ t0 ϕ(t) ¬ λ

zachodzi

min{d(T^jx, T^jy), 1¬ j ¬ N} ¬ ϕ(d(x, y))d(x, y) ∀x, y ∈ X. (2.1) Wtedy ∀x0 ∈ X ∃{bⁿ}^∞n=1 ⊂ N takie, że

• {bⁿ}^∞n=1 jest ciągiem kawałkami syndetycznym i różnowartościowym,

• {T^bnx0}^∞n=1 jest ciągiem Cauchy’ego

Dowód. Ustalmy dowolne x0 ∈ X. Na mocy twierdzenia (2.4) istnieje {kⁿ}^∞n=1⊂ N - rosnący, N-syndetyczny, taki, że{T^knx0}^∞n=1 jest ograniczony oraz k1 = 0. Niech C := sup{d(x0, T^knx0), n∈ N1} < ∞.

Dla j ∈ N1 definiujemy i^kn^j następująco: i^k₀^j := 0. Mając i^k₀^j, ..., i^kn^j definiujemy i^k_n+1^j := i^k_n^j + min{l ∈ {1, ..., N} : d(T^{ikjn +l}x0, T^{ikjn +kj+l}x0)¬

ϕ(d(T^ikjn x0, T^ikjn+kjx0))d(T^ikjn x0, T^{ikjn +kj}x0)} (2.2) Określmy również zn^kj := d(T^ikjn x0, T^ikjn+kjx0), n∈ N1, j ∈ N1.

Łatwo widać, że ciągi {i^knj}^∞n=0, j ∈ N¹ mają następujące własności:

• i^k1^j ¬ N, i^k2^j ¬ 2N, ..., i^knj ¬ nN, n ∈ N1, j ∈ N1

• {i^knj}^∞n=0 jest rosnący, różnowartościowy i N-syndetyczny

• z^nkj ¬ ϕ(zn^kj−1)zn^kj−1 ¬ ... ¬ ϕ(zn^kj−1)· ... · ϕ(z^k0^j)z^k₀^j, n∈ N1, j ∈ N1

Przedstawmy N1 w postaci nastąpującego rozbiciaN1 = ∪^∞l=0 ∪^Ns=1 {l · N + s}.

Oznaczmy

{k}^R :=ⁿ0¬ r ¬ k − 1 : k − r ∈ {k^j}^∞j=1 oraz r∈ {i^kn^−r}^∞n=0

o

Bez straty ogólności uporządkujmy {k}^R rosnąco. Warunek k − r ∈ {k^j}^∞j=1

gwarantuje, że ciąg {i^kn^−r}^∞n=0 istnieje. W praktyce więc {k}^R jest niepuste, gdy k ∈ {k^j}^∞j=1.

Dla liczb postaci l· N (l ∈ N) oznaczmy {l · N}^SR :=∪^Ns=1{l · N + s}^R. W dalszej części dowodu skorzystamy z następujących faktów.

Fakt 2.5.1. ∀l ∈ N min{l · N}^SR = 0.

Dowód. Ponieważ {kj}^∞j=1jest N-syndetyczny, zatem dla dowolnego l∈ N zachodzi {k^j}^∞j=1∩{lN +1, ..., lN +N} 6= ∅, czyli dla dowolnego l ∈ N istnieje s^l∈ {1, ..., N}

takie, że l · N + s^l ∈ {k^j}^∞j=1, zatem l · N + s^l = kj0 przy pewnym j0 ∈ N¹. Zauważmy, że min{k^j0}^R = 0, gdyż kj₀ − 0 ∈ {k^j}^∞j=1 oraz 0 ∈ {i^knj0}^∞n=0, zatem r = 0∈ {k^j0}^R. Oczywiście {k^j0}^R={l · N + s^l}^R ⊂ ∪^Ns=1{l · N + s}^R={l · N}^SR, a z tego 0¬ min{l · N}^SR ¬ min{l · N + s^l}^R= min{k^j0}^R= 0.

Fakt 2.5.2. {l · N}^SR jest 2N-syndetyczny dla l ­ 1.

Dowód. Niech m := max{l · N}^SR. Załóżmy dla dowodu niewprost, że istnieje p∈ N takie, że {p+1, ..., p+2N} ⊂ {1, ..., m} oraz {p+1, ..., p+2N}∩{l·N}^SR = ∅.

Ponieważ{k^j}^∞j=1jest N-syndetyczny, zatem{lN −p−N, ..., lN −p−1}∩{k^j}^∞j=1 6=

∅ (zauważmy tutaj, że lN − p − N ­ k¹. Istotnie, skoro p + 2N ¬ m ¬ lN + N, to p ¬ (l − 1)N, a z tego lN − p − N ­ lN − (l − 1)N − N = 0 = k¹). Zatem istnieje q ∈ {1, ..., N} takie, że lN −(p+q) ∈ {k^j}^∞j=1. Ponieważ{i^lNn ^−(p+q)}^∞n=0jest N-syndetyczny i i^lN₀ ^−(p+q) = 0, więc {p + q + 1, ..., p + q + N} ∩ {i^lNn ^−(p+q)}^∞n=0 6= ∅,

a z tego istnieje r ∈ {1, ..., N} takie, że p + q + r ∈ {i^lNn ^−(p+q)}^∞n=0, a to oznacza, że p + q + r ∈ {(lN − (p + q)) + (p + q + r)}^R = {l · N + r}^R ⊂ {l · N}^R. Ale z drugiej strony p + q + r ∈ {p + 2, ..., p + 2N}, co prowadzi do sprzeczności.

Fakt 2.5.3. max{l · N}^SR ­ (l − 1)N.

Dowód. Ponieważ {k^j}^∞j=1 jest N-syndetyczny oraz k1 = 0, zatem {1, ..., N} ∩ {k^j}^∞j=1 6= ∅, a z tego istnieje p ∈ {1, ..., N} takie, że p ∈ {k^j}^∞j=1. Ponieważ {i^pn}^∞n=0 jest N-syndetyczny, zatem {lN − p + 1, ..., lN − p + N} ∩ {i^pn}^∞n=0 6= ∅, a z tego istnieje q ∈ {1, ..., N} takie, że lN − p + q ∈ {i^pn}^∞n=0. Z tego wynika, że lN − p + q ∈ {(lN − p + q) + (p)}^R = {lN + q}^R ⊂ {l · N}^SR. Z drugiej strony skoro p¬ N, zaś q ­ 1, to lN − p + q ­ lN − N + 1 ­ lN − N.

Kontynuacja dowodu Twierdzenia 2.5. Określmy dla 1 ¬ s ¬ N, 0 ¬ l ciągi

{0, 1} ⊃ {b^l,sn }^∞n=0 :=





1, n∈ {lN + s}^R 0, n /∈ {lN + s}^R , czyli {lN + s}^R ={n ∈ N : b^l,sn = 1}.

Zatem{b^l,sn }^∞n=0 jest 0, 1 - kową reprezentacją ciągu{lN +s}, np. jeśli {lN +s}^R = {3, 7}, to {b^l,sn }^∞n=0 ={0, 0, 0, 1_|{z}

3

, 0, 0, 0, 1_|{z}

7

, 0, 0, ...}.

Dla ustalonego 1¬ s ¬ N stabilizując ciągi

{b^0,sn }^∞n=0 ={b^0,s0 , b^0,s₁ , b^0,s₂ , ...} {b^1,sn }^∞n=0 ={b^1,s0 , b^1,s₁ , b^1,s₂ , ...} {b^2,sn }^∞n=0 ={b^2,s0 , b^2,s₁ , b^2,s₂ , ...}

· · · · · · · · · · · · · · ·

na podciągach względem kolejnych współrzędnych istnieje l1 < l2 < ... oraz istnieje {b^∞,sn }^∞n=0 takie, że {b^ln^m,s}^∞n=0 → {b^∞,sn }^∞n=0, m → ∞, przy czym b^∞,sn wybieramy

równe 1, jeśli #{l : b^l,sn = 1} = ∞, w przeciwnym razie kładziemy b^∞,sn := 0.

Mamy tutaj na myśli zbieżność punktową, tzn. w następującym sensie

∀n ∈ N ∃m0 ∈ N ∀m ­ m0 : b^l_n^m,s = b^∞,s_n . (2.3) Określmy {∞ · N + s}^R:={n ∈ N : b^∞,sn = 1} i uporządkujmy rosnąco. Określmy {∞ · N}^SR :=∪^Ns=1{∞ · N + s}^R.

Fakt 2.5.4. {∞ · N}^SR jest 2N-syndetycznym podzbiorem N.

Dowód. Dla dowodu niewprost załóżmy, że istnieje p ∈ N takie, że {p + 1, ..., p + 2N} ∩ {∞ · N}^SR = ∅. Z (2.3) wynika, że

∀n ¬ p + 2N ∃m⁰ ∈ N ∀m ­ m⁰ : b^l_n^m,s = b^∞,s_n , zatem

∃m0 ∈ N ∀n ¬ p + 2N ∀m ­ m0 : b^l_n^m,s = b^∞,s_n , a z tego wynika, że

∃m0 ∈ N ∀n ¬ p + 2N ∀m ­ m0 n∈ {l^m· N + s}^R⇔ n ∈ {∞ · N + s}^R. Możemy tutaj wybrać m0 ∈ N takie, że l^m0 ­ p+3N oraz takie, które jest wspólne dla wszystkich 1¬ s ¬ N, to znaczy:

• lm0 ­ p + 3N,

• ∀n ∈ {1, ..., p + 2N} ∀m ­ m0 ∀s ∈ {1, ..., N} zachodzi

n∈ {l^m· N + s}^R ⇔ n ∈ {∞ · N + s}^R, (2.4)

Zauważmy, że na mocy poprzednich uwag:

• max{l^m0}^SR ­ l^m0N − N ­ p + 2N,

• min{l^m0N}^SR = 0,

• {l^m0N}^SR jest ciągiem 2N syndetycznym.

Z 2N-syndetyczności ciągu{l^m0N}^SR wynika, że{p + 1, ..., p + 2N} ∩ {l^m0N}^SR 6=

∅, zatem istnieje q ∈ {p + 1, ..., p + 2N} takie, że q ∈ {l^m0N}^SR. Stąd istnieje s ∈ {1, ..., N} takie, że q ∈ {l^m0N + s}^R. Z (2.4) wynika, że q ∈ {∞ · N + s}^R ⊂ {∞ · N}^SR, czyli {p + 1, ..., p + 2N} ∩ {∞ · N}^SR 6= ∅, co prowadzi do sprzeczności.

Fakt 2.5.5. {∞ · N}^SR jest nieskończony.

Dowód. Dla dowodu niewprost załóżmy, że {∞ · N}^SR jest skończony. Niech L :=

max{∞ · N}^SR. Zatem dla dowolnego 1 ¬ s ¬ N zachodzi szacowanie max{∞ · N + s}^R ¬ L. Z tego

∀ 1 ¬ s ¬ N ∃m⁰ ∈ N ∀m ­ m⁰ : {b^ln^m,s}^∞n=L+1={0}^∞n=L+1. Bez straty ogólności możemy wybrać m₀ tak, aby lm0N − N > L. Zatem

∃m0 ∈ N : lm0N − N > L oraz ∀ 1 ¬ s ¬ N {b^ln^m0,s}^∞n=L+1 ={0}^∞n=L+1. Z tego

∀1 ¬ s ¬ N max{l^m0 · N + s}^R ¬ L

⇒ max{l^m0 · N}^SR ¬ L.

Ale z drugiej strony max{l^m0·N}^SR­ l^m0N−N > L, co prowadzi do sprzeczności.

Kontynuacja dowodu Twierdzenia 2.5. Na mocy Twierdzenia (2.3) skoro {∞ · N}^SR jest nieskończony i 2N-syndetyczny, to któraś jego składowa jest kawałkami syndetyczna, tzn. istnieje 1¬ s ¬ N : {∞ · N + s}^R ⊂ N-kawałkami syndetyczny.

Ponieważ {∞ · N + s}^R jest rosnący, niech więc {bⁿ}^∞n=1 ={∞ · N + s}^R.

Wykażemy teraz, że {T^bnx0}^∞n=1 jest ciągiem Cauchy’ego. Dla dowodu niewprost załóżmy, że {T^bnx0}^∞n=1 nie jest ciągiem Cauchy’ego. Zatem

∃ε > 0 ∀q ∈ N ∃m^q > nq ­ q : d(T^bnqx0, T^bmqx0)­ ε. (2.5) Niech dla q ∈ N kolejno n^q, mq będą wybierane w ten sposób, że ciągi {m^q}^∞q=1

oraz {n^q}^∞q=1 są rosnące.

Możemy to zrobić na przykład następująco: mając dla pewnego q ∈ N wybrane n^q oraz mq, dla liczby max{n^q, mq} istnieją m > n ­ max{n^q, mq} takie, że zachodzi (2.5). Kolejno n i m wybierzmy jako najmniejsze spośród wszystkich możliwych i określmy mq+1 := m oraz nq+1 := n.

Dla bmq, bnq istnieje m^q₀ ∈ N takie, że b^mq, bnq ∈ {lm^q₀ · N + s}^R. Niech m^q₀ będzie wybrane jako najmniejsze możliwe. Wtedy dla dowolnego q ∈ N :

ε¬ d(T^bmqx0, T^bnqx0)¬ d(T^bmqx0, T^lmq0·N+sx0) + d(T^lmq0·N+sx0, T^bnqx0)

= d(T^bmqx0, T^{bmq+(lmq0·N+s−bmq)}x0) + d(T^bnqx0, T^{bnq+(lmq0·N+s−bnq)}x0) Wobec tego dla każdego q ∈ N zachodzi

d(T^bmqx0, T^{bmq+(lmq0·N+s−bmq)}x0)­ ε

2 lub d(T^bnqx0, T^{bnq+(lmq0·N+s−bnq)}x0)­ ε 2, a z tego istnieje {q^l}^∞l=1 ⊂ N - ciąg rosnący taki, że

∀l ∈ N1 d(T^bmqlx0, T^{bmql+(lmql0 ·N+s−bmql)}x0)­ ε

2 (2.6)

lub

∀l ∈ N¹ d(T^bnqlx0, T^{bnql+(lmql0 ·N+s−bnql)}x0)­ ε 2 Bez straty ogólności załóżmy, że zachodzi (2.6).

Ale bm_ql ∈ {lm^ql₀ · N + s}^R, więc z definicji {k}^R zachodzi l_m^ql

0 · N + s − b^m_ql ∈ {k^j}^∞j=1 (2.7) oraz bm_ql ∈ {i^{lnmql0 ·N+s−bmql}}^∞n=0, a to oznacza, że dla dowolnego l∈ N istnieje n^l∈ N takie, że

bm_ql = i

lmql

0 ·N+s−b_mql

nl . (2.8)

Zauważmy, że zachodzi

Fakt 2.5.6. liml→∞nl =∞.

Dowód. Istotnie, zauważmy najpierw, że dla j ∈ N i^k₁^j ¬ N, ..., i^kn^j ¬ n · N, ..., zatem

n­ inkj

N dla j ∈ N i n ∈ N. (2.9)

Ponadto

• Ciąg {b^m}^∞m=1 ⊂ N jest rosnący, zatem b^m ­ m dla m ∈ N,

• {m^q}^∞q=1 był tak utworzony, że mq­ q dla q ∈ N,

• {q^l}^∞l=1 jest ciągiem rosnącym, zatem ql ­ l dla l ∈ N.

Z tego oraz (2.8) i (2.9) wynika, że

nl ­ i

lmql

0 ·N+s−b_mql n_l

N = bm_ql

N ­ mql

N ­ ml

N ­ l N, co kończy dowód uwagi.

Kontynuacja dowodu Twierdzenia 2.5. Wobec tego z (2.6) dla l ∈ N zachodzi ε

2 ¬ d(Tⁱ

lmql 0

·N+s−bmql

nl x0, Tⁱ

lmql 0

·N+s−bmql

nl +(l_mql

0 ·N+s−b_mql)

x0) Oznaczmy

cl:= l_m^ql

0 · N + s − b^m_ql, l ∈ N oraz

d^l_p := d(T^iclpx₀, T^iclp+clx₀), p = 0, ..., nl.

Przy tych oznaczeniach ₂^ε ¬ d(T^iclnlx0, T^iclnl+clx0) = d^l_nl. Z (2.7) wynika, że cl ∈ {k^j}^∞j=1, l ∈ N.

Mamy ponadto ε

2 ¬ d^ln_l ¬ ϕ(d^ln_l−1)· d^ln_l−1 ¬ ... ¬ ϕ(d^ln_l−1)· ... · ϕ(d^l0)· d^l0. (2.10) Z drugiej zaś strony dla każdego l ∈ N zachodzi szacowanie

d^l₀ = d(x0, T^{lmql0 ·N+s−bmql}x0)¬ C, gdyż l_m^ql

0 ·N +s−b^mql ∈ {k^j}^∞j=0, zaś stała C wybrana była na mocy ograniczoności ciągu {T^kjx0}^∞j=1.

Z powyższych nierówności oraz faktu, że 0¬ ϕ(t) ¬ 1 wynika szacowanie ε

2 ¬ d^lp ¬ d^l0¬ C, p = 0, ..., n^l, (2.11) a z tego oraz z twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu przez funkcję ciągłą kresów na zbiorze zwartym wynika

ϕ(d^l_p)¬ sup

t∈[^ε₂,C]

ϕ(t) = ϕ(a) < 1 (2.12)

przy pewnym a ∈ [₂^ε, C] zależnym tylko od ε.

Z kolei z (2.10) oraz (2.12) wynika, że dla dowolnego l ∈ N d^l_nl¬ [ϕ(a)]^nl· d^l0 ¬ C · [ϕ(a)]^nl

Ponieważ liml→∞nl = ∞, więc biorąc l ∈ N takie, że [ϕ(a)]^nl < _4C^ε otrzymujemy d^l_nl ¬ ^ε₄, co przeczy (2.11) i kończy dowód.

Twierdzenie 2.6. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Niech T : X → X będzie takie, że przy pewnych N ­ 1 oraz M ∈ R zachodzi

min{d(T^jx, T^jy), 1¬ j ¬ N} ¬ Md(x, y) ∀x, y ∈ X. (2.13) Jeśli ponadto ∃x0 ∈ X ∃{bⁿ}^∞n=1 ⊂ N takie, że

• {bⁿ}^∞n=1 jest ciągiem kawałkami syndetycznym i różnowartościowym,

• {T^bnx0}^∞n=1 jest ciągiem Cauchy’ego, to T^r ma punkt stały przy pewnym r ∈ N.

Główną trudność w przeprowadzeniu dowodu stanowi brak założenia o ciągłości operatora T . Prostszy dowód przy założeniu ciągłości T będzie przedstawiony w następnym rozdziale.

Dowód. Niech, na podstawie twierdzenia 2.5, y0 := limn→∞T^bnx0 oraz niech K :=

max{3, N, S}, gdzie S jest najmniejszą stałą syndetyczności ciągu {bⁿ}^∞n=1. Ponie- waż K ­ N, więc T spełnia założenie (2.13) także ze stałą K zamiast N. Ponieważ K ­ S, więc {bⁿ}^∞n=1 jest kawałkami syndetyczny ze stałą K. Dla n∈ N określmy i⁰_n := 0. Dla k = 1, ..., K wybierzmy i^k_n∈ {1, ..., K} takie, że

d(T^{bn+i0n+...+ikn}x₀, T^i0n+...+ikny₀)¬ Md(T^{bn+i0n+...+ik−1n} x₀, T^{i0n+...+ik−1n} y₀)

Możemy dobrać takie i^k_n z założenia (2.13), przyjmując za x i y odpowiednio T^{bn+i0n+...+ik−1n} x0 oraz T^{i0n+...+ik−1n} y0.

Określmy B^k :={bⁿ+ i⁰_n+ ... + i^k_n}^∞n=1.

Fakt 2.6.1. Jeśli ∃k ∈ {0, ..., K} takie, że ∀n0 ∈ N ∃m, n ∈ N takie, że n0 ¬ n <

m oraz

bn+ i⁰_n+ ... + i^k_n = bm+ i⁰_m+ ... + i^k_m, to otrzymujemy tezę.

Dowód. Określmy P := {(n, m) ∈ N × N : m > n, bn + i⁰_n+ ... + i^k_n = bm + i⁰_m + ... + i^k_m} oraz R := {n ∈ N : (n, m) ∈ P przy pewnym m > n}. Z założenia uwagi #P = +∞, a zatem #R = +∞. Dla n ∈ R niech g(n) oznacza najmniejsze spośród {m ∈ N : m > n, (n, m) ∈ P }. Zatem dla n ∈ R jest (n, g(n)) ∈ P oraz

bn+ i⁰_n+ ... + i^k_n = b_g(n)+ i⁰_g(n)+ ... + i^k_g(n) (2.14)