1 Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej
De…nicja: Funkcja f : R ! R jest ci ¾ag÷a w punkcie x, gdy
">08 9
>0 8
y2R(jx yj < =) jf(x) f (y)j < ")
Twierdzenie 1. Funkcja f : R ! R jest ci ¾ag÷a w punkcie x wtedy i tylko wtedygdy dla dowolnego ci ¾agu (xn) zbie·znego do x
nlim!1f (xn) = f (x) .
Twierdzenie 2. Je·zeli funkcja f : R ! R jest ci ¾ag÷a w punkcie x oraz f (x) > 0, to istnieje liczba dodatnia taka, ·ze f (y) > 0 dla wszystkich y 2 (x ; x + ).
Twierdzenie 3. Je·zeli funkcje f : R ! R i g : R ! R s ¾a ci ¾ag÷e w punkcie x to
funkcja f + g jest ci ¾ag÷a w x,
dla dowolnej liczby funkcja f jest ci ¾ag÷a w x, funkcja f g jest ci ¾ag÷a w x,
funkcja fg jest ci ¾ag÷a w x o ile g(x) 6= 0.
De…nicja: Funkcja f : R ! R jest ci ¾ag÷a, gdy
x2R8 ">08 9
>0 8
y2R(jx yj < =) jf(x) f (y)j < ")
De…nicja: Funkcja f : R ! R jest jednostajnie ci ¾ag÷a, gdy
">08 9
>0 8
x2R 8
y2R(jx yj < =) jf(x) f (y)j < ")
Twierdzenie 4. Funkcja f : R ! R jest ci ¾ag÷a wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego zbioru otwartego U , f 1(U ) jest otwarty.
Twierdzenie 5. Funkcja ci ¾ag÷a f : ha; bi ! R jest jednostajnie ci ¾ag÷a.
Twierdzenie 6. Funkcja ci ¾ag÷a f : ha; bi ! R jest ograniczona.
1
Twierdzenie 7 (Twierdzenie Weierstrassa o osi ¾aganiu kresów). Funkcja ci ¾ag÷a f : ha; bi ! R osi ¾aga swoje kresy.
Twierdzenie 8 (Twierdzenie Darboux) Niech f : ha; bi ! R b ¾edzie funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a. Je´sli f (a) f (b) < 0 to istnieje c 2 (a; b) taki, ·ze f (c) = 0.
Twierdzenie 9. Je·zeli funkcje f : R ! R i g : R ! R s ¾a ci ¾ag÷e to funkcja f + g jest ci ¾ag÷a,
dla dowolnej liczby funkcja f jest ci ¾ag÷a, funkcja f g jest ci ¾ag÷a,
funkcja fg jest ci ¾ag÷a.
2 Funkcje ci ¾ ag÷ e w przestrzeniach metrycznych
Za÷ó·zmy, ·ze (X; d) oraz (Y; ) s ¾a przestrzeniami metrycznymi.
De…nicja: Funkcja f : X ! Y jest ci ¾ag÷a w punkcie x, gdy
">08 9
>0 8
y2R(d (x; y) < =) (f(x); f(y)) < ")
Twierdzenie 1m. Funkcja f : X ! Y jest ci ¾ag÷a w punkcie x wtedy i tylko wtedygdy dla dowolnego ci ¾agu (xn) zbie·znego do x
nlim!1f (xn) = f (x) .
Twierdzenie 2m. Je·zeli funkcja f : X ! Y jest ci ¾ag÷a w punkcie x oraz f (x) nale·zy do pewnego zbioru otwartego U , to istnieje liczba dodatnia taka, ze f (y) 2 U dla wszystkich y 2 (x· ; x + ).
De…nicja: Funkcja f : R ! R jest ci ¾ag÷a, gdy
x82R">08 9
>0 8
y2R(d (x; y) < =) (f(x); f(y)) < ") De…nicja: Funkcja f : R ! R jest jednostajnie ci ¾ag÷a, gdy
">08 >09 x8
2Ry8
2R(d (x; y) < =) (f(x); f(y)) < ")
Twierdzenie 4m. Funkcja f : X ! X jest ci ¾ag÷a wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego zbioru otwartego U , f 1(U ) jest otwarty.
2
3 Rzeczywiste funkcje ci ¾ ag÷ e okre´slone na przestrzeni- ach metrycznych
Za÷ó·zmy, ·ze (X; d) jest przestrzeni ¾a metryczn ¾a. W zbiorze R rozwa·zamy metryk¾e euklidesow ¾a.
Twierdzenie 9m. Je·zeli funkcje f : (X; d) ! R i g : (X; d) ! R s ¾a ci ¾ag÷e to
funkcja f + g jest ci ¾ag÷a,
dla dowolnej liczby funkcja f jest ci ¾ag÷a, funkcja f g jest ci ¾ag÷a,
funkcja fg jest ci ¾ag÷a.
Twierdzenie 5m. Je´sli A jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X; d) to ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f : A ! R jest jednostajnie ci ¾ag÷a.
Twierdzenie 6m. Je´sli A jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X; d) to ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f : A ! R jest ograniczona.
Twierdzenie 7m (Twierdzenie Weierstrassa o osi ¾aganiu kresów).
Je´sli A jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X; d) to ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f : A ! R osi ¾aga swoje kresy.
3
