Ad. Zad 2.  Ad. Zad 1. Zestaw 1A.

Zestaw 1A.

Zad 1.

^{z(1i 3)7 Wyznaczyć z i argz tzn. moduł i argument liczby z}

Zad 2. Znaleźć zbiór rozwiązań w ciele liczb zespolonych

^{z2 (2i)z2i0}

Zad 3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie.

 

 



 

 7 3

5 2 gdzie A A

A

AX ^T

Zad 4. Rozwiązać układ równań liniowych.

 



 

























2 3

0 2

1 2

z y x

z y

y x

z y x

Zad 5. Rozwiązać układ równań w zależności od parametru a.

 



















i ay

ix

i iy ax

1 1

Ad. Zad 1.

Zad 1.

^{z(1i 3)7 Wyznaczyć z i argz tzn. moduł i argument liczby z}

Rozwiązanie

Niech

^{w1i 3xyi}

. Wtedy

^{w 1i 3  12}

 

^{32 2}

. To dla   arg

w

mamy

^{cos } _w^{x  1}₂ ^{, sin} _w^{y } ₂^{3 }

3

 



^



 



 





 sin 3

cos 3 2 3

1  

i i

w

 

_^



 



 



 

 





 

 





 



 



 



 



 



 





 ^{1 i 37 2(cos}₃ ^isin₃ ⁷



^{27 cos7}₃^{ isin7}₃^{ 128 cos }₃ ^{2 isin }₃ ^2

z

twMoivrea



 



 

sin3 cos3

128  

i

. Z jednoznaczności przedstawienia trygonometrycznego liczby

zespolonej mamy

3

128 



 Argz

z

Ad. Zad 2.

Zad 2. Znaleźć zbiór rozwiązań w ciele liczb zespolonych

^{z2 (2i)z2i0}

Rozwiązanie

i i

i i

i) 4( 2) 4 1 4 8 3 4 2

(  ²       





 

 







 

 



 















y x y x xy

y i x xyi y x Ry xyi

x 2

3 4

2 43 3 2 ,

2 2 2

2 2

2



 



 





 



 



 





 



 

 









 



 







y x x y x x y x

xx y x x x

2 2 1

53 lub 2

2 4 53 2

043 2

4 3 ₂

2 2 1 24 2 2

1 i

2 

 y

x lub ^{x2 i y 1} to  2i lub  2i 2 2

2 2

1 i i

z i i i

z      2

2 2

2

0 ) )(

2 ( 2 ) 2

2 ( i z i z zi 

z .

Ad. Zad 3.

Zad 3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie.

 

 



 

 7 3

5 2 gdzie A A

A

AX ^T

Rozwiązanie

Ponieważ

detA1

to

A istnieje. Zatem^1

) (

)

( ¹

1 T

A A A AX

A^  ^ 

AT

A A A X A

A ¹ ) ^{1 1}

( ^  ^  ^

Wykorzystaliśmy łączność mnożenia i rozdzielność względem dodawania.

AT

A J X

J₂  ₂  ^1 AT

A J

X  ₂  ^1

 _



 







 



 









 





 









 



2 3 5 7 2 5 3 7 1 1 2 5 3 7 1 1 det

1 1

TT

A TD

A A

 

 





 



 





 



 



 



 



 



 







 



 



 

4 4 14 12 5 4 14 11 1 0 0 1 7 5 3 2 2 3 5 7 1 0 X 0 1

Ad. Zad 4.

Zad 4. Rozwiązać układ równań liniowych.

 



 

























2 3

0 2

1 2

z y x

z y

y x

z y x

Rozwiązanie

Nie jest to układ równań liniowych Cramera zatem



 

 





 

 







 

 





 

 







 

 





 

 







 

 





 

 







 

 





 

 





 









1 0 0 0 11 3 0 0 3 1 1 0 1 1 2 1

10 3 0 0 11 3 0 0 3 1 1 0 1 1 2 1

1 0 3- 0 1- 1- 4- 0 3 1 1 0 1 1 2 1

1 0 3- 0 3 1 1 0 1- 1- 4- 0 1 1 2 1

2 1 1 1 3 1 1 0 0 0 2- 1 1 1 2 1

, 43 4 , 32 3

, 42 432 , 12 2

, 14 4

4 3 www

www wwwww www

BA www

Ostatnie równanie układu równoważnego jest postaci ^{0x0y0z1}

które daje zbiór rozwiązań pusty a więc układ równań liniowych jest sprzeczny.

Ad. Zad 5.

Zad 5. Rozwiązać układ równań w zależności od parametru a.

 



















i ay

ix

i iy ax

1 1

Rozwiązanie

Macierz główna układu jest postaci





 



  ai A ia

- -

której wyznacznik

detA a² 1

. Jeżeli

i a oraz i a a

A 10  

det ²

to układ równań jest układem Cramera. Zatem

dla:

1

^o

a



i

oraz

a

 

i

ia i iaia iai a

iiia a

ai ii

x 

 



 



 



  1

))((

))(1(

1 )1()1(

1 1- - -1

2

2

ia i iaia iai a

iiia a

ii ia

y 

 



 



 



  1

))((

))(1(

1 )1()1(

1 1- -

- 1

2 2

2

^o

a

 i

 ^{ } 1

0 0 0 1 1 1

, 12 2

iii iii iii BA iii

www 



 



  



 







 



. Układ ten jest równoważny układowi ^{ixiy1i} to wszystkie

rozwiązania są postaci

t C

t y

i i t

i i it i i

it x i

 

 









 





 



 

) 1

( ) )(

1(

1

3

^o

a

  i

 _



 



  



 







 

 2i-2- 0 0

1 1

1

, 12 2

iii iii

BA iii

www

Układ sprzeczny.