7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar
Ćw. 7.1 Niech Ω = N. Sprawdź, czy µ∗ : 2Ω → R+ określone wzorem:
1. µ∗(A) = sup A + inf A
2 ,
2. µ∗(A) = sup A − inf A
2 ,
jest miarą zewnętrzną (przyjmujemy, że sup ∅ = inf ∅ = 0).
Ćw. 7.2 Na 2N∪{0} określamy funkcję µ∗ wzorem:
µ∗(A) = sup A
(przyjmujemy, że sup ∅ = 0). Czy µ∗ jest miarą zewnętrzną i czy zbiory {0} oraz {1}
są mierzalne względem µ∗? Ćw. 7.3 Niech
Ω = {1, 2, 3}, C = {{1}, {2, 3}, {1, 3}, ∅}.
Definiujemy η : C → R+:
η({1}) = 2, η({2, 3}) = 4, η({1, 3}) = 3, η(∅) = 0.
Tworzymy miarę zewnętrzną wzorem:
η∗(A) = inf{
∞
X
n=1
η(Ci); A ⊂
∞
[
n=1
Ci, Ci ∈ C}.
Które zbiory należą do Fη∗?
Ćw. 7.4 Udowodnij, że jeżeli Λ1, Λ2 są λ-układami, to Λ1∩ Λ2 też jest λ-układem.
Ćw. 7.5 Uzasadnij, że każda σ-algebra jest λ-układem. Czy każda algebra jest λ-układem?
Ćw. 7.6 Czy jeśli λ-układ zawiera Ω, to jest σ-algebrą?
