7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar – zadania do samodzielnego rozwiązania

7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar – zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 7.1 Niech µ^∗ będzie miarą zewnętrzną na Ω i niech A, B ⊂ Ω oraz µ^∗(B) = 0.

Udowodnij, że

µ^∗(A ∪ B) = µ^∗(A \ B) = µ^∗(A).

Zad. 7.2 Udowodnij, że jeśli A, B ⊂ Ω, A ∩ B = ∅ oraz B jest µ^∗-mierzalny, to

∀_E∈Ω µ^∗(E ∩ (A ∪ B)) = µ^∗(E ∩ A) + µ^∗(E ∩ B).

Zad. 7.3 Niech Ω = {1, 2, 3}, C = {∅, {1}, {2, 3}}. Określamy:

η1(∅) = 0, η1({1}) = 0, η1({2, 3}) = a > 0;

η₂(∅) = 0, η₂({1}) = b > 0, η₂({2, 3}) = 0.

Tworzymy odpowiadające im miary zewnętrzne. Czy F_η^∗

1 = F_η^∗

2? Zad. 7.4 Niech µ^∗ będzie miarą zewnętrzną spełniającą warunek

∀_x∈Ω µ^∗({x}) = 0.

Udowodnij, że każdy zbiór jednopunktowy jest µ^∗-mierzalny i przeliczalna suma zbiorów jednopunktowych jest także µ^∗-mierzalna.