Topologia II: ¢wiczenia 7
1. Czy prawdziwe jest stwierdzenie: Je»eli X jest przestrzeni a zwart a, a Y przestrzeni a niezwart a, to X i Y nie mog a by¢ homotpijnie równowa»ne.
2. Poka», »e je»eli A jest retraktem deformacyjnym przestrzeni X, a B jest retraktem deformacyjnym przestrzeni A, to B jest retraktem de- formacyjnym przestrzeni X.
3. Podzbiór A ⊂ Rn nazywamy gwia¹dzi±cie wypukªym, je»eli dla pew- nego punktu a0 ∈ A odcinek ª acz acy a0 z dowolnym punktem a ∈ A zawiera si e w A.
(a) Podaj przykªad zbioru gwia¹dzi±cie wypukªego, który nie jest wy- pukªy.
(b) Poka», »e je»eli A jest gwia¹dzi±cie wypukªy, to A jest jednospójny.
4. Niech α b edzie drog a od x0 do x1 w przestrzeni topologicznej X, za±
β drog a od x1 do x2 w tej przestrzeni. Poka», »e je»eli γ = α ∗ β, to uγ = uβ◦ uα.
5. Niech X b edzie przestrzeni a ªukowo spójn a, x0, x1 ∈ X. Poka», »e grupa π1(X, x0)jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary dróg α, β od x0 do x1, uα = uβ.
6. Poka», »e je»eli r : X → A jest retrakcj a, to dla a0 ∈ A odwzorowanie r∗ : π1(X, a0) → π1(A, a0)
jest surjekcj a.
7. Niech p : E → B b edzie nakryciem. Niech α, β b ed a drogami w B takimi, »e α(1) = β(0). Niech ˜α, ˜β b ed a podniesieniami odpowiednio α, β takimi, »e ˜α(1) = ˜β(0). Poka», »e ˜α ∗ ˜β jest podniesieniem α ∗ β.
8. Niech p : E → B b edzie nakryciem, B - przestrzeni a spójn a. Poka»,
»e je»eli p−1(b0) ma k elementów dla pewnego b0 ∈ B, to p−1(b) ma k elementów dla ka»dego b ∈ B.
9. Poka», »e nakrycie p : E → B jest odwzorowaniem otwartym.
10. Niech p : E → B b edzie nakryciem, E - przestrzeni a ªukowo spójn a.
Poka», »e je»eli B jest przestrzeni a jednospójn a, to p jest homeomor - zmem.
1
11. Wska» grup e podstawow a przestrzeni (a) B2× S1
(b) T \ {pt}
(c) S1× I (d) S1× R
(e) X = {x ∈ R2||x| > 1}
(f) X = {x ∈ R2||x| ≥ 1}
(g) X = {x ∈ R2||x| < 1}
(h) X = S1∪ (R+× {0}) (i) X = S1∪ (R × {0}) (j) X = S1∪ (R+× R).
2
