Informacja Kwantowa 1/2

Informacja Kwantowa 1/2

Seria 2

do oddania na 07.03.2013

Otrzymujemy qubit przygotowany w jednym z dwóch nieortogonalnych stanów

|ψi = sin^θ₂ cos^θ₂



, |χi =− sin^θ₂ cos^θ₂



z prawdopodobie«stwami odpowiednio p oraz 1 − p. Qubit mierzymy za pomoc¡ urz¡dzenia, które posiada dwa mo»liwe wyniki pomiarów odpowiadaj¡ce identykacji stanów |ψi oraz |χi i opisane jest par¡ dodatnio okre±lonych operatorów ˆM_ψ, ˆM_χ ≥ 0, gdzie ˆM_ψ + ˆM_χ = ˆ₁1. Za poprawn¡ identykacj¦ stanu zyskujemy 1e, natomiast za bª¦dn¡ tracimy 1e.

a) Pokaza¢, »e wyra»enie na ±redni zysk w grze P mo»na zapisa¢ w postaci:

P =Tr[ ˆ∆ ˆM_ψ] + D,

gdzie operator ˆ∆ i staªa D zale»¡ od stanow |ψi i |χi oraz prawdopodobie«stwa p.

b) Rozwa»y¢ rozkªad operatora ˆ∆na warto±ci wªasne i znormalizowane wektory wªasne:

∆ = λˆ ₁|u₁ihu₁| + λ₁|u₁ihu₁|

i przedyskutowa¢, jak wybór operatora ˆM_ψ maksymalizuj¡cy P zale»y od znaków warto±ci wªasnych λ₁, λ₂.

c) Obliczy¢ maksymaln¡ warto±¢ P dla stanów |ψi i |χi przygotowywanych z prawdopodobie«stwami p oraz 1 − p.