• Nie Znaleziono Wyników

2. Niech ϕ : G → H b¦dzie homomorzmem. Udowodni¢, »e ker(ϕ) 6 G oraz im(ϕ) 6 H.

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "2. Niech ϕ : G → H b¦dzie homomorzmem. Udowodni¢, »e ker(ϕ) 6 G oraz im(ϕ) 6 H."

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

ALGEBRA 1B, Lista 5

Zadania 14.  16. s¡ przeznaczone na konwersatorium.

Niech G i H b¦d¡ grupami i n ∈ N >1 .

1. Niech g ∈ G b¦dzie rz¦du n. Udowodni¢, »e dla ka»dego m ∈ Z mamy g m = e wtedy i tylko wtedy, gdy n|m.

2. Niech ϕ : G → H b¦dzie homomorzmem. Udowodni¢, »e ker(ϕ) 6 G oraz im(ϕ) 6 H.

3. Udowodni¢, »e je±li H 6 G oraz [G : H] = 2, to H P G.

4. Udowodni¢, »e T n (R) nie jest dzielnikiem normalnym w GL n (R).

5. Udowodni¢, »e (R ∗ , ·)/{1, −1} ∼ = (R >0 , ·) . 6. Udowodni¢, »e (C, +)/Z ∼ = (C ∗ , ·) .

7. Udowodni¢, »e (C ∗ , ·)/he

2πin

i ∼ = (C ∗ , ·) .

8. Poda¢ przykªad G i N P H P G, takich »e N R G.

9. Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡ i zaªó»my, »e |G| = p 2 . Udowodni¢, »e G ∼ = Z p

2

lub G ∼ = Z p × Z p .

10. Niech ϕ : Z 2 → Aut(Z n ) b¦dzie dziaªaniem z zad. 3 listy 4. Udowod- ni¢, »e D n ∼ = Z n o ϕ Z 2 .

11. Udowodni¢, »e A 4 ∼ = (Z 2 × Z 2 ) o Z 3 .

12. Niech |G| = 6. Udowodni¢, »e G ∼ = Z 6 lub G ∼ = S 3 . 13. Udowodni¢, »e Aut(Z 2 × Z 2 ) ∼ = S 3 .

14. Niech G b¦dzie podgrup¡ S R skªadaj¡c¡ si¦ z bijekcji anicznych, tzn.

postaci x 7→ ax + b. Udowodni¢, »e G ∼ = ( R, +) o (R ∗ , ·).

15. Sformuªowa¢ i udowodni¢ uogólnienie poprzedniego zadania z przy- padku R do przypadku R n .

16. Udowodni¢, »e A 4 nie zawiera podgrupy rz¦du 6.

1

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 123.15 KB )

Powiązane dokumenty

Przypomnijmy, »e przy odpowiednich zaªo»eniach∫ f (ϕ(x))ϕ′(x)dx = F (ϕ(x

Przeanalizuj twierdzenie o caªkowaniu przez podstawienie dla caªek nieoznaczonych i u»ycie ró»niczek.. Powy»sze równanie mo»na zapisa¢

Niech G b¦dzie grup¡, g ∈ G, k, m ∈ N

Materiaª teoretyczny: Warstwy lewostronne i warstwy prawostronne podgrupy H grupy G..

Niech G b¦dzie grup¡ i n ∈ N >0 . 1. Udowodni¢, »e (Q, +) (Q, +) 2 .

[r]

1. Udowodni¢, »e T n (R) nie jest dzielnikiem normalnym w GL n (R) . 2. Udowodni¢, »e je±li H 6 G i [G : H] = 2, to H P G.

Zaªó»my, »e istnieje ci¦cie

Niech G b¦dzie grup¡

Niech A b¦dzie

1. Niech H 6 G. Udowodni¢, »e H 6 N(H) 6 G.

Zaªó»my, »e istnieje ci¦cie

1. Niech H 6 G. Udowodni¢, »e H P N (H ) 6 G, gdzie N (H) := {g ∈ G | gH = Hg}.

Opisa¢ z dokªadno±ci¡ do izomorzmu grupy rz¦du mniejszego od

1. Niech H i T b¦d¡ dzielnikami normalnymi w G. Udowodni¢, »e [H, T ] jest te» dzielnikiem normalnym.

Obejrze¢ teledysk o pewnej grupie prostej (nie jest to