Niech G b¦dzie grup¡ i n ∈ N >0 . 1. Udowodni¢, »e (Q, +) (Q, +) 2 .

ALGEBRA 1B, Lista 4

Niech G b¦dzie grup¡ i n ∈ N >0 . 1. Udowodni¢, »e (Q, +)  (Q, +) ² .

2. Zaªó»my, »e g jest jedynym elementem rz¦du 2 w G. Udowodni¢, »e dla ka»dego h ∈ G mamy gh = hg.

3. Niech (A, +) b¦dzie grup¡ przemienn¡. Udowodni¢, »e poni»szy wzór

∀a ∈ A 0 · a = a, 1 · a = −a

zadaje dziaªanie Z 2 na A poprzez automorzmy. Wskaza¢ odpowiada- j¡cy temu dziaªaniu homomorzm Ψ : Z 2 → Aut(A) . Kiedy Ψ jest monomorzmem?

4. Zaªó»my, »e istnieje g ∈ G taki, »e rz¡d(g) 6= 1, 2. Udowodni¢, »e Aut(G) 6= {id _G } .

5. Niech

Z ^∗ _n := {a ∈ Z _n | (∃b ∈ Z _n )(a · _n b = 1)}.

Udowodni¢, »e:

(a) Z ^∗ _n jest zamkni¦ty na dziaªanie · n i jest z tym dziaªaniem grup¡.

(b) Dla ka»dego k ∈ Z n funkcja

φ _k : Z _n → Z _n , φ _k (x) = k · _n x jest endomorzmem.

(c) Je±li φ : Z n → Z _n jest endomorzmem, to istnieje k ∈ Z n takie,

»e φ = φ k .

(d) Je±li k, l ∈ Z n , to φ k ◦ φ _l = φ _k·

_l . (e) Je±li k ∈ Z ^∗ n , to φ k ∈ Aut(Z _n ) . (f) Funkcja

Φ : Z ^∗ _n → Aut(Z _n ), Φ(k) = φ _k jest izomorzmem.

(g) Z ^∗ _n = {k ∈ Z _n | (k, n) = 1} .

6. Udowodni¢, »e je±li |G| 6 5, to G jest przemienna.

7. Wyznaczy¢ centrum S 3 i centrum D 4 .

8. Niech H 6 G. Udowodni¢, »e |G/H| = |H\G|.

1