1. Niech H 6 G. Udowodni¢, »e H 6 N(H) 6 G.

ALGEBRA 1B, Lista 6

Niech n, m ∈ N >0 oraz G i H b¦d¡ grupami.

1. Niech H 6 G. Udowodni¢, »e H 6 N(H) 6 G.

2. Niech ϕ : G → Aut(H) b¦dzie dziaªaniem. Udowodni¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) H o _ϕ G jest przemienna.

(b) H i G s¡ przemienne oraz dziaªanie ϕ jest trywialne.

3. Niech H 1 P H, G ₁ P G . Udowodni¢, »e H 1 × G ₁ P H × G oraz (H × G)/(H ₁ × G ₁ ) ∼ = (H/H ₁ ) × (G/G ₁ ).

4. Udowodni¢, »e je±li n i m s¡ wzgl¦dnie pierwsze, to Z n × Z _m ∼ = Z _nm . 5. Zaªó»my, »e |G| = pq, gdzie p, q s¡ pierwsze i p < q. Udowodni¢, »e:

(a) G ∼ = Z q o Z _p .

(b) Je±li p nie dzieli q − 1, to G ∼ = Z pq .

(c) Je±li p dzieli q − 1, to istnieje nieprzemienna grupa rz¦du pq.

6. Niech Ψ : G → H b¦dzie epimorzmem. Zaªó»my, »e istnieje ci¦cie Ψ, tzn. homomorzm s : H → G taki, »e Ψ ◦ s = id H . Udowodni¢, »e G ∼ = ker(Ψ) o H .

7. Znale¹¢ wszystkie p-podgrupy Sylowa S p , gdzie p jest liczb¡ pierwsz¡.

Wywnioskowa¢, »e (p − 1)! ≡ −1( mod p).

8. Niech A b¦dzie podgrup¡ Z. Udowodni¢, »e A = {0} lub A ∼ = Z . 9. Znale¹¢ produkt grup cyklicznych, z którym izomorczna jest grupa

Z ³ /h(10, 11, 8), (4, 7, 4), (4, 4, 4)i.

10. Zaªó»my, »e mamy a 1 , b ₁ , . . . , a _k , b _k ∈ N takie, »e

Z ^a _p

× Z ^a _p

× . . . × Z ^a _p

∼ = Z ^b _p

× Z ^b _p

× . . . × Z ^b _p

. Udowodni¢, »e a 1 = b ₁ , . . . , a _k = b _k .

11. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce grupy s¡ izomorczne:

(a) Z ₂₄ × Z ₃₆ i Z 48 × Z ₁₈ , (b) Z ₂₁ × Z ₄₀ i Z 168 × Z ₅ ,

(c) Z ₃ × Z ₃ × Z ₅ × Z ₇ i Z 315 .

12* Opisa¢ z dokªadno±ci¡ do izomorzmu grupy rz¦du mniejszego od 12.

1