GAL II* – zadania, które były na ćwiczeniach
(1) 24.02.20
Zadanie 1.
Wykaż, że jeśli A jest macierzą m × n i B jest macierzą n × m oraz m > n, to det AB = 0.
Zadanie 2.
Znajdź warunek (równania) na to, żeby (x1, x2, x3, x4) ∈ lin((1, 2, 3, 4), (2, 1, 1, 1)). Ogólniej, jak za pomocą minorów wyrazić to, że pewna macierz ma mieć zadany rząd?
Zadanie 3.
Jednostronna odwrotna macierzy jest odwrotną: jeśli AB = I, to BA = I. (Zakładając, że nie wiemy, że istnieje macierz odwrotna.)
Zadanie 4.
Oblicz wyznacznik macierzy Vandermonde’a:
1 x1 x21 x31 . . . xn−11 1 x2 x22 x32 . . . xn−12 ... ... ... ... . . . ... 1 xn x2n x3n . . . xn−1n
(Na zajęciach używaliśmy własności wielomianów, w szczególności twierdzenia Bezouta. Można też wykonać odpowiednie oeracje i zastosować indukcję.)
Zadanie 5.
Oblicz wyznacznik
1 2 2 2 . . . 2 2 2 2 2 . . . 2 2 2 3 2 . . . 2 ... ... ... ... . . . ... 2 2 2 2 . . . n
Zadanie 6.
Oblicz wyznacznik
0 1 2 3 4 . . . n
1 0 1 2 3 . . . n − 1
2 1 0 1 2 . . . n − 2
... ... ... ... ... . . . ... n n − 1 n − 2 n − 3 n − 4 . . . 0
(2) 26.02.20
Zadanie 7.
Oblicz wyznacznik
0 1 1 1 . . . 1 1 a1 0 0 . . . 0 1 0 a2 0 . . . 0 ... ... ... ... . . . ... 1 0 0 0 . . . an
Zadanie 8.
Niech X będzie zbiorem. Definiujemy kategorię C następująco: Ob(C) to zbiór wszystkich podzbiorów X, a
C(A, B) jest jednoelementowy złożony z włożenia A w B, jeśli A ⊂ B, albo pusty w przeciwnym przypad- ku. Składanie morfizmów to składanie funkcji na zbiorach. Wykaż, że C jest kategorią. (Zadanie okazało się szczególnym przypadkiem przykładu z wykładu: dla dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego)
Zadanie 9.
Sprawdź, że przekrój jest monomorfizmem. Podaj przykład monomorfizmu, który nie jest przekrojem. Czy istnieją kategorie, w których każdy monomorfizm jest przekrojem?
Zadanie 10.
Sprawdzić, czy przypisanie przetrzeni liniowej V zbioru jej niezerowych wektorów jest funktorem z Vect w Set.
(Przypomnieliśmy też przykład z wykładu, że przypisanie przestrzeni liniowej zbioru jej wszystkich wektorów jest funktorem.)
1. seria zadań domowych, na 4.03.20
Zadanie 11. ♦
Niech A będzie macierzą kwadratową nad k taką, że AT = −A.
1. Niech k = C. Wyznacz wszystkie wartości, jakie może przyjmować det A, w zależności od n.
2. Niech k = R i n będzie parzyste. Czy det A może przyjąć dowolną wartość dodatnią?
3. Co się dzieje, jeśli n jest nieparzyste i weźmiemy ciało k charakterystyki 2?
Zadanie 12. ♦
1. Wykaż, że w kategorii FinVectk skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem k monomor- fizmy (wg kategoryjnej definicji) to różnowartościowe przekształcenia liniowe.
2. Wyznacz wszystkie morfizmy w kategorii zbiorów Set, które są epimorfizmami (tzn. spełniają kategoryjną definicję epimorfizmu).
Zadanie 13.
Niech A będzie macierzą kwadratową n × n. Wykaż, że jeśli dla każdej macierzy B kwadratowej n × n zachodzi AB = BA, to A = cI dla pewnego c.
Zadanie 14.
Weźmy diagram A−→ Bf −→ C. Wykaż, że jeśli f, g są monomorfizmami, to gf również. Wykaż, że jeśli gf jestg monomorfizmem, to f też, a g niekoniecznie. Jak brzmią analogiczne własności dla epimorfizmów?
Zadanie 15.
Oblicz wyznacznik
1 1 1 . . . 1
1 21 3 1
. . . n1 1 32 4
2
. . . n+12 ... ... ... ... . . . 1 n−1n n+1
n−1
. . . 2n−2n−1
(3) 2.03.20
Zadanie 16.
Wykaż, że maksymalne minory Pij, 1 ¬ i < j ¬ 4, macierzy 2 × 4 spełniają tożsamość Pl¨uckera P12P34− P13P24+ P14P23= 0.
(Można utworzyć macierz 4 × 4 zapisując dwie kopie danej macierzy i obliczając wyznacznik, np. z wzoru permutacyjnego.)
Zadanie 17.
Sprawdź, że Hom : Vectop× Vect → Vect jest funktorem.
Zadanie 18.
Wykaż, że kategora skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałem k jest równoważna kategorii macierzy Mk, której obiektami są 0, 1, 2, . . ., a morfizmami Mk(m, n) są macierze Mm×n(k).
Zadanie 19.
Wykaż, że złożenie równoważności kategorii jest równoważnością kategorii.
(Przy okazji udowodniliśmy wałsność wartą zapamiętania: funktory zachowują izomorfizmy.)
(4) 4.03.20
Zadanie 20.
Używając definicji kategoryjnej wykaż, że V ⊕ W ' W ⊕ V , gdzie V, W są skończenie wymiarowymi przestrze- niami liniowymi.
Zadanie 21.
Wykaż, że (ko)granica jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.
Zadanie 22.
Opisz produkt i koprodukt w Set i poróœnaj z Vect.
Zadanie 23.
Oblicz granicę prostą i odwrotną diagramu
R
R2 R
(1 0) (0 1)
2. seria zadań domowych, na 11.03.20
Zadanie 24. ♦
Oblicz granicę prostą i odwrotną diagramu w Vect:
R2
R R2
(1 1)T
(0 1)T
Zadanie 25. ♦ Sprawdź, czy macierz
A =
8 0 3
9 −1 3
−18 0 −7
jest diagonalizowalna. Jeśli tak, znajdź jej postać diagonalną.
Zadanie 26.
Niech A, B ∈ M2×2(C) będą takie, że ABAB = 0. Czy BABA = 0?
Zadanie 27.
Niech f : R2→ R2będzie zadane macierzą 1. A =
1 2 3 4
, 2. B =
1 2 2 4
.
W obu przypadkach znajdź granicę prostą i odwrotną diagramu
. . .−→ Rf 2 f−→ R2 f−→ R2 f−→ R2 f−→ . . .
Zadanie 28.
1. Wyznacz granicę prostą i odwrotną diagramu V → W w Vect.
2. Wyznacz granicę prostą i odwrotną diagramu R (12)
T
−−−→ R2 A, gdzie A =
−1 1
2 0
.
(5) 9.03.20
Zadanie 29.
Niech f : R2→ R2będzie zadane macierzą
2 −1 4 −2
. Znajdź granicę prostą i odwrotną diagramu
. . .−→ Rf 2 f−→ R2 f−→ R2 f−→ R2 f−→ . . .
Zadanie 30.
Czy macierze
A =
0 1 2 2
B =
−58 24
−140 58
są diagonalizowalne?
Zadanie 31.
Czy macierze
A =
2 0 0 0
9 −1 0 3
0 0 2 0
0 0 0 2
B =
5 −1 0 1
9 −1 0 3
−3 1 2 −1
−9 3 0 −1
są macierzami tego samego endomorfizmu w różnych bazach?
Zadanie 32.
Dla jakich wartości a ∈ C macierz
1 − a a
−a 1 + a
jest diagonalizowalna?
Zadanie 33.
Wykaż, że jeśli z ∈ C jest wartością własną macierzy A ∈ Mn×n(R), to z również. Czy to zachodzi dla każdej macierzy z Mn×n(C)?
Zadanie 34.
Niech A ∈ M2×2(C), pokaż, że det(A) = 12((T r(A))2− T r(A2)).
Zadanie 35.
Niech A, B ∈ M2×2(C), pokaż, że
det(A + xB) = det(A) + (T r(A)T r(B) − T r(AB))x + det(B)x2.
Zadanie 36.
Czy istnieją macierze A, B ∈ M2×2(Z) takie, że det(A + 2B) = 3 i det(A + 5B) = 7?
(6) 11.03.20
(Tu przez koronawirusa pojawia się opóźnienie w omawianiu rozwiązań...) Zadanie 37.Czy istnieją macierze kwadratowe A, B takie, że AB − BA = I?
Zadanie 38.
Jakie macierze A ∈ Mn×n(k) spełniają An = I dla pewnego n ∈ N?
Zadanie 39.
1. Sprawdź, że FP : Set → Set, FP(X) = P(X) (zbiór potęgowy), jest funktorem. Częścią zadania jest wymyślenie, jak powinno wyglądać przekształcenie na zbiorach morfizmów.
2. Sprawdź, że operacja brania singletona sing(x) = {x} zadaje transformację naturalną funktora idSet i funktora zbioru potęgowego.
Zadanie 40.
Sprowadź macierze do postaci Jordana (nad C):
A =
−6 5 7
5 2 −3
−6 −2 5
, B =
3 0 0 2
23 −1 2 10
−6 0 −1 −3
−8 0 0 −5
.
Zadanie 41.
Wykaż, że każdy wielomian stopnia n o najwyższym współczynniku (−1)njest wielomianem charakterystycznym pewnej macierzy stopnia n.
Zadanie 42. *
Oblicz wyznacznik macierzy cyklicznej
a1 a2 a3 . . . an
an a1 a2 . . . an−1
an−1 an a1 . . . an−2
... ... ... ... . . . a2 a3 a4 . . . a1
3. seria zadań domowych, na 18.03.20
Zadanie 43. ♦
Wykaż, że jeśli A ∈ Mn×n(k) ma dokładnie jedną wartość własną i jest diagonalizowalna, to jest diagonalna.
Zadanie 44. ♦ Czy macierz
A =
6 2 −2
−2 2 2
2 2 2
może być macierzą endomorfizmu ϕ(x, y, z) = (6x + 2y + 2z, −2x + 2y, 2z) w pewnej bazie?
Zadanie 45.
Czy macierze
A =
0 1 0
−4 4 0
−2 1 2
i B =
5 −3 0 3 −1 1
0 0 2
są podobne?
Zadanie 46.
Niech R[x]¬3 oznacza przestrzeń liniową wielomianów stopnia nie większego niż 3 nad R. Wyznacz wektory i wartości własne dla ϕ : R[x]¬3→ R[x]¬3, ϕ(w) = ((x + 3)w)0 (tak, na końcu różniczkujemy).
Zadanie 47.
Wykaż, że jeśli A ∈ Mn×n(k) i dla pewnego m ∈ N zachodzi Am = 0, to An = 0. (Można założyć, że ciało k jest algebraicznie domknięte, albo nawet myśleć wyłącznie o k = C.)
(7) 16.03.20
Zadanie 48.
Wykaż, że automorfizm ϕ : kn → kn jest rzutem (czyli ϕ2= ϕ, gdzie ϕ2 to dwukrotne złożenie) wtedy i tylko wtedy, gdy jest diagonalizowalny i jego wartości własne pochodzą ze zbioru {0, 1}.
Zadanie 49.
Sprowadź macierz A do postaci Jordana:
A =
1 0 0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 1 1 1 . . . 0 ... ... ... ... . . . 1 1 1 . . . 1
Zadanie 50.
Znajdż postać i bazę Jordana endomorfizmu zadanego macierzą
B =
−2 0 0 0
−1 −2 0 0
2 −2 0 1
−7 4 −4 −4
Zadanie 51.
Niech At, t ∈ C, będzie takim endomorfizmem przestrzeni liniowej C[x, y] wielomianów dwóch zmiennych, że At(x) = t2x, At(y) = t3y oraz At(vw) = At(v)At(w) dla dowolnych wielomianów v, w ∈ C[x, y]. Znajdź wszystkie podprzestrzenie C[x, y], które są niezmiennicze ze względu na wszystkie Atjednocześnie.
Zadanie 52.
Niech Aε, ε ∈ {1, ζ5, ζ52, ζ53, ζ54} (gdzie ζ5 to pierwiastek pierwotny stopnia 5 z 1), będzie takim endomorfizmem przestrzeni liniowej C[x, y] wielomianów dwóch zmiennych, że Aε(x) = ε2x, Aε(y) = ε3y. Znajdź wszystkie podprzestrzenie C[x, y], które są niezmiennicze ze względu na wszystkie Aε jednocześnie.
Zadanie 53. *
Niech A, B ∈ M2×2(C) takie, że AB = 0. Wykaż, że dla n 1
det(A + B)n = det(An+ Bn).
(8) 18.03.20
Zadanie 54.
Wielomian charakterystyczny macierzy A o współczynnikach rzeczywistych jest równy (x − 5)5(x − 1)2. Ponadto wiadomo, że dim ker(A − 5I) = 2, dim ker(A − 5I)2 = 4 oraz ker(A − I) ∩ im(A − I) 6= {0}. Znaleźć postać Jordana A.
Zadanie 55.
Załóżmy, że dwie macierze nad Q są sprzężone nad R. Czy są sprzężone nad Q?
Zadanie 56.
Załóżmy, że dwie macierze nad R są sprzężone nad C. Czy są sprzężone nad R?
Zadanie 57.
Znaleźć A597 dla 1. A =
k 1 0 0 k 1 0 0 k
, gdzie k ∈ C,
2. A =
−1 1 0 2 4
0 1 0 0 0
−2 −2 0 2 −1
0 −2 0 −3 0
−1 0 0 0 −5
.
Zadanie 58. *
Wykaż, że jeśli macierze A, B ∈ Mn×n(C) są przemienne (AB = BA), to istnieje baza {v1, . . . , vn} przestrzeni Cn taka, że każdy z wektorów vi jest jednocześnie wektorem własnym dla A i dla B.
4. seria zadań domowych, na 25.03.20
Zadanie 59. ♦
Znajdź postać i bazę Jordana macierzy
A =
−1 −1 2 0
0 −1 −3 −1
0 0 −1 0
0 0 2 −1
.
Zadanie 60. ♦
Niech V będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad R. Niech ϕ : V → V będzie endomorfizmem takim, że ϕ2= −id (gdzie ϕ2 to dwukrotne złożenie). Wykaż, że wymiar przestrzeni V jest parzysty.
Zadanie 61.
Oblicz B2020dla
B =
−3 −1 −1 0 1
−1 −2 0 0 1
0 0 −2 0 0
1 0 0 −2 −1
−1 −1 −1 0 −1
.
Zadanie 62.
Wykaż, że dowolna macierz A ∈ Mn×n(C) jest podobna do swojej transponowanej AT. Zadanie 63.
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem k takim, że char k = 0 lub char k > dim V . Niech A będzie macierzą endomorfizmu V . Wykaż, że jeśli tr(Ak) = 0 dla k = 1, 2, . . . , dim V , to A jest nilpotentna (czyli dla pewnego m zachodzi Am= 0).
(9) 23.03.20
Zadanie 64.
Znajdź rzeczywistą postać Jordana macierzy
A =
0 0 0 −8
1 0 0 16 0 1 0 −14
0 0 1 6
.
Zadanie 65.
Wykaż, że dla każdej macierzy kwadratowej A o współczynnikach rzeczywistych istnieje macierz B o współ- czynnikach rzeczywistych taka, że ABA = A.
Zadanie 66.
Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wykaż, że dla dowolnej macierzy kwadratowej nad ciałem k jej wielomian minimalny i wielomian charakterystyczny mają ten sam zbiór pierwiastków.
Zadanie 67.
1. Zaproponuj algorytm znajdowania wielomianu minimalnego macierzy. (Mało precyzyjne sformułowanie, ale zgodnie z zamierzeniem. Trochę więcej szczegółów pojawi się we wskazówce.)
2. Znajdź wielomian minimalny macierzy
A =
0 4 1 −2
−1 4 0 −1
0 0 1 0
−1 3 0 0
.
Zadanie 68. **
Niech A ∈ Mn×n(k). Wykaż, że A jest diagonalizowalna nad ciałem k wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian minimalny rozkłada się nad k na parami różne czynniki liniowe.
(10) 25.03.20
Zadanie 69.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje macierz A ∈ Mn×n(R) taka, że A3 = A + I. Wykaż, że dla każdej takiej macierzy det A > 0.
Zadanie 70.
Niech A, B ∈ M2×2(C) oraz C = AB − BA. Wykaż, że jeśli C i A są przemienne, to C jest nilpotentna.
Zadanie 71.
Jakie macierze A ∈ Mn×n(C) mają pierwiastek kwadratowy? Pierwiastek kwadratowy z A to macierz B taka, że B2= A.
Zadanie 72.
Niech V = R3. W V weżmy wektory α1= (1, 3, 1), α2 = (1, 3, 0), α3= (0, 1, −1) (zapis w bazie standardowej odpowiadającej współrzędnym x1, x2, x3). Niech funkcjonał ϕ ∈ V∗ będzie zadany wzorem ϕ(x1, x2, x3) = 3x1+ x2− 2x3.
1. Znajdź współrzędne ϕ w bazie α∗1, α∗2, α3∗.
2. Znajdź wzory na α∗1, α∗2, α∗3 we współrzędnych x1, x2, x3. Zadanie 73. *
Dla jakich n ∈ N i jakich ciał algebraicznie domkniętych k w Mn×n(k) istnieją dwie macierze przemienne, dla których nie istnieje wspólna baza Jordana?
(11) 30.03.20
Zadanie 74. (Charaketrystyka ciała)
Charakterystyką ciała k nazywamy najmniejszą taką liczbę całkowitą dodatnią n = char k, że suma n jedynek jest zerowa: 1 + 1 + 1 + . . . + 1
| {z }
n
= 0. Jeśli takie n nie istnieje, to mówimy, że char k = 0.
1. Wykaż, że charakterystyka ciała jest 0 lub liczbą pierwszą.
2. Wykaż, że reszty z dzielenia przez liczbę pierwszą p z operacjami arytmetycznymi modulo p tworzą ciało o p elementach. To ciało będziemy oznaczać Zp.
3. Wykaż, że Zpjest najmniejszym ciałem charakterystyki p, tzn. jest zawarte w każdym ciele charakterystyki p.
4. Jakie jest najmniejsze ciało charakterystyki 0?
5. Znajdź tabelki operacji dodawania i mnożenia na zbiorze czteroelementowym zadające strukturę ciała.
6. Udowodnij, że jeśli ciało skończone ma charakterystykę p, to ma pn elementów dla pewnego n ∈ N. (Dla chętnych: zastanów się, jak skonstruować ciało o pn elementach.)
7. Dla jakich ciał jest prawdą, że jeśli kwadrat sumy dwóch liczb jest równy sumie ich kwadratów, to jedna z tych liczb musi być zerem?
Zadanie 75. (Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu diagonalizowalnego)
Wykaż, że jeśli endomorfizm ϕ : kn → kn jest diagonalizowalny, to dowolna jegp podprzestrzeń niezmiennicza V ⊆ kn jest rozpięta przez wektory własne.
Zadanie 76.
Niech f : k5→ k5będzie przekształceniem zadanym przez macierz
−2 1 1 0 0
1 2 −1 0 0
−2 2 1 0 0
−6 −6 5 −1 1
−2 2 2 0 −1
.
Znajdź bazę Jordana f , odpowiedź uzależnij od charakterystyki ciała k.
Zadanie 77.
Niech V = W = R2.
1. Zapisz α = (1, 1) ⊗ (1, 4) + (1, −2) ⊗ (−1, 2) w bazie V ⊗ W pochodzącej od baz standardowych V i W . 2. Niech f : V → R3 i g : W → R będą zadane odpowiednio macierzami Af =
1 1
−2 3 0 −1
i Ag = 0 −4 w bazach standardowych. Znajdź macierz przekształcenia f ⊗ g w wybranych bazach.
3. Oblicz f ⊗ g(α).
Zadanie 78.
Dane są wektory v1, . . . , vk ∈ V , o których zakładamy, że są liniowo niezależne, oraz w1, . . . , wk ∈ W . Wykaż, że jeśliPk
i=1vi⊗ wi= 0, to w1= . . . = wk. Zadanie 79.
Niech V, W ∈ Vectk, załóżmy ponadto, że W jest skończenie wymiarowa. Wykaż, że przekształcenie Φ : V∗⊗ W → Hom(V, W )
zadane wzorem Φ(ϕ ⊗ β)(α) = ϕ(α)β jest izomorfizmem. Opisz element V∗⊗ W odpowiadający ustalomenu przekształceniu liniowemu F ∈ Hom(V, W ) (można przyjąć, że znamy macierz F w pewnej bazie).
(12) 1.04.20
Zadanie 80.
Niech f, g będą endomorfizmami skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych. Wyznacz ślad tr(f ⊗ g) w zależności od tr(f ) i tr(g).
Zadanie 81.
Niech f, g będą endomorfizmami skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych. Wyznacz wyznacznik det f ⊗ g w zależności od det f i det g. Wyznacz wielomian charakterystyczny f ⊗ g w zależności od wielomianów charakterystycznych f, g.
Zadanie 82. *
Niech A ∈ M2×2(Q) spełnia An= I dla pewnego n ∈ N. Wykaż, że A12= I.
W kolejnych zadaniach będziemy badać eksponentę macierzy : niech A ∈ Mm×m(C), definiujmy eA∈ Mm×m(C) jako
eA= I + A +A2 2! +A3
3! +A4
4! + . . . =
∞
X
n=0
An n!.
Zadanie 83.
1. Wykaż, że szereg definiujący eA jest zbieżny (czyli macierz eA jest dobrze zdefiniowana dla dowolnego A ∈ Mm×m(C)).
2. Załóżmy, że A, B są podobne. Znajdź zależność pomiędzy eAi eB. Zadanie 84.
Oblicz eA dla A =
3 0 0 1 3 0 0 0 i
.
Zadanie 85.
1. Wykaż, że jeśli A, B są przemienne, to eA+B = eAeB.
2. Podaj przykład macierzy, dla których powyższa równość nie zachodzi.
Zadanie 86.
1. Oblicz eA dla dowolnej klatki Jordana.
2. Podaj sposob obliczania eAdla dowolnego A ∈ Mm×m(C).
5. seria zadań domowych, na 15.04.20
Zadanie 87. ♦
Znajdź rzeczywistą postać Jordana i odpowiadającą jej bazę dla macierzy
A =
1 1 0 0
−2 0 1 0
2 0 0 1
−2 −1 −1 −1
.
Zadanie 88. ♦
Niech A = {(0, 1, 0), (1, 2, 3), (0, 3, 1)} i B = {(4, 1, 2), (2, 3, 7), (1, 0, 0)} będą bazami R3. Przekształcenie φ : R3→ R3 jest dane macierzą
M (φ)BA=
1 0 1
−1 2 2
−1 −2 −4
.
Funkcjonał ψ ∈ (R3)∗ w bazie A∗ ma współrzędne (2, 3, 5).
1. Czy ψ ∈ im φ∗? 2. Czy ψ ∈ ker φ∗? Zadanie 89.
Znajdź wszystke macierze A ∈ M2×2(R) takie, że
A3=1 −2 2 −3
.
Zadanie 90.
Znajdź wszystke macierze A ∈ M2×2(Z5) takie, że
A5=4 2 4 1
.
Zadanie 91.
Niech V ∈ VectR (nie musi być skończenie wymiarowa), a ϕ1, . . . , ϕn: V → R będą funkcjonałami na V . Definiujemy Φ : V → Rn wzorem Φ(v) = (ϕ1(v), . . . , ϕn(v)). Wykaż, że następujące warunki są równoważne:
1. ϕ1, . . . , ϕn są liniowo niezależne.
2. Φ∗ jest monomorfizmem.
3. Φ jest epimorfizmem.
4. Dla każdego i = 1, . . . , n mamyT
j6=iker ϕj6⊂ ker ϕi.
(13) 6.04.20
Zadanie 92.
Czy istnieje przekształcenie dwuliniowe f : R2 × R3 → R takie, że f(e1, e1) = 0, f (e1+ e2, e1+ e2) = 1, f (e1, e2) = f (e2, e1) = −1?
Zadanie 93.
Czy R3 z funkcjonałem dwuliniowym
1. f ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y1+ x2y2+ x2y1+ x1y2+ x3y3, 2. f ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y2+ x2y1+ x3y3
jest przestrzenią euklidesową?
Zadanie 94.
Znajdź bazę ortonormalną R3 z iloczynem skalarnym zadanym macierzą
A =
2 1 0 1 2 0 0 0 1
(czyli iloczyn skalarny jest zadany przez hx, yi = xAyt), której pierwszy wektor α1należy do lin(2, 1, 2).
Przez rangę tensora rozumiemy minimalną liczbę tensorów prostych potrzebnych do jego zapisania.
Zadanie 95. * Znajdź rangę tensora
e1⊗f1+4e1⊗f2+2e1⊗f3+3e1⊗f4+2e2⊗f1+5e2⊗f2+3e2⊗f3+4e2⊗f4+e3⊗f1+7e3⊗f2+3e3⊗f3+5e3⊗f4
w R3⊗ R4 z bazami R3 i R4oznaczanymi e1, e2, e3i f1, f2, f3, f4 odpowiednio.
Zadanie 96. *
1. Wykaż, że mnożenie macierzy jest dwuliniowym odwzorowaniem Cab× Cbc→ Cac. 2. Przedstaw mnożenie macierzy jako tensor Ma,b,c∈ (Cab)∗⊗ (Cbc)∗⊗ Cac.
3. Wyjaśnij, jak rozkład tensora Ma,b,cna tensory proste odpowiada liczbie operacji mnożenia liczb potrzebnych do pomnożenia dwóch macierzy z Ma,b(C) i Mb,c(C). Wykaż, że ranga Ma,b,c jest nie większa niż abc.
Zadanie 97. * (Algorytm Strassena)
Wykaż, że ranga tensora M2,2,2 odpowiadającego mnożeniu dwóch macierzy 2 × 2 jest nie większa niż 7. Podaj zapis tego tensora w postaci sumy siedmiu tensorów prostych. (Na podstawie tej obserwacji można opracować algorytm mnożenia macierzy kwadratowych a × a wykonujący około alog27operacji mnożenia liczb zespolonych – to też można potraktować jako zadanie.)
(14) 15.04.20
Zadanie 98.
Jaki jest wymiar V × W , a jaki V ⊗ W ? Jaki jest obraz przekształcenia dwuliniowego µ : V × W → V ⊗ W ? Zadanie 99.
Wykaż, że iloczyn tensorowy V ⊗ W jest zdefiniowany jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.
Zadanie 100.
Udowodnij przemienność iloczynu tensorowego: V ⊗ W ' W ⊗ V . W tym celu
1. Opisz przekształcenie dwuliniowe ν : V × W → W ⊗ V , najlepiej takie, które jest złożeniem przekształcenia µW,V: W × V → W ⊗ V z definicji iloczynu tensorowego z odpowiednio dobranym przekształceniem.
2. Weź dowolną przestrzeń wektorową Y nad k i przekształcenie dwuliniowe f : V × W → Y . Narysuj diagram przedstawiający wymienione przekształcenia. Skonstruuj ˜f : W ⊗ V → Y liniowe i przemienne z innymi przekształceniami w diagramie. Można to zrobić konstruując najpierw przekształcenie f0: W × V → Y przemienne z resztą diagramu, a potem korzystając z własności uniwersalnej µW,V.
3. Wykaż, że ˜f jest zdefiniowane jednoznacznie (np. używając własności przekształceń w diagramie).
4. Zauważ, że własnie wykazaliśmy, że W ⊗ V spełnia własność uniwersalną iloczynu tensorowego V z W (w tej kolejności), więc z zadania 1 jest izomorficzne z V ⊗ W .
Zadanie 101.
Udowodnij łączność iloczynu tensorowego: V ⊗ (W ⊗ X) ' (V ⊗ W ) ⊗ X. (Stąd wynika w szczególności, że napis V ⊗ W ⊗ X ma dobrze określone znaczenie.)
Zadanie 102.
Udowodnij rozdzielność iloczynu tensorowego względem sumy prostej: V ⊗ (W ⊕ X) ' (V ⊗ W ) ⊕ (V ⊗ X).
Zadanie 103.
Kiedy (w zależności od wymiarów V, W ) w V ⊗ W istnieją tensory, które nie są proste (czyli postaci v ⊗ w)?
Zadanie 104.
Niech k = C. Rozpatrzmy następujące przestrzenie wektorowe nad R: iloczyn tensorowy C ⊗ V (gdzie C traktu- jemy jako dwuwymiarową przestrzeń wektorową nad R) i kompleksyfikację VC. Wykaż, że są one izomorficzne.
Zadanie 105.
Niech A, B będą odwracalnymi macierzami kwadratowymi. Znajdź macierz odwrotną do A ⊗ B.
Zadanie 106.
Jakim równaniem jest opisany zbión tensorów prostych dla dim V = dim W = 2?
(15) 20.04.20
Zadanie 107.
1. Znajdź bazę ortonormalną R3z iloczynem skalarnym
h(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)i = x1y1+ 2x1y2+ 2x2y1+ 7x2y2+ x2y3+ x3y2+ 10x3y3.
2. Podaj macierz Grama tego iloczynu skalarnego w bazie standardowej i w znalezionej bazie ortonormalnej oraz macierze przejścia między nimi.
Zadanie 108.
1. Dla jakich wartości parametru t ∈ R macierz
A =
4 0 1 2
0 3 t 0
1 t 1 −1
2 0 −1 5
zadaje iloczyn skalarny?
2. Znajdź równania podprzestrzeni prostopadłej V⊥ do V = lin{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0)} względem tego iloczynu skalarnego oraz bazę ortogonalną V⊥.
Zadanie 109.
Niech A ∈ Mn×n(R) będzie taką macierzą symetryczną, że tr(A2) = 0. Wykaż, że A = 0.
Zadanie 110.
Opisz wszystkie macierze A ∈ M2×2(C) takie, że AAT = −I.
Zadanie 111.
Udowodnij, że wielomian charakterystyczny pA(λ) macierzy ortogonalnej A spełnia λnpA
1 λ
= ±pA(λ).
Zadanie 112.
Udowodnij, że każdą macierz nieosobliwą A ∈ Mn×n(R) można zapisać jako iloczyn A = BC macierzy ortogo- nalnej B i macierzy górnotrójkątnej C.
(16) 22.04.20
Zadanie 113.
Niech P3= R[x]¬3 (wielomiany stopnia ¬ 3 nad R) z iloczynem skalarnym hf, gi =R1
−1f (t)g(t)dt. Znajdź:
1. podprzestrzeń prostopadłą do podprzestrzeni P1= R[x]¬1⊂ P3.
2. bazę ortonormalną w P3, stosując ortogonalizację Grama-Schmidta do bazy {1, t, t2, t3}.
Zadanie 114.
Rozważmy Rn ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech A = (α1, . . . , αn) ∈ Mn×n(R), gdzie αi to wier- sze A.
1. Załóżmy, że wiersze A są parami ortogonalne. Wykaż, że | det A| = kα1k · · · kαnk.
2. Udowodnij nierówność Hadamarda: | det A| ¬ kα1k · · · kαnk.
Zadanie 115.
W R3 znaleźć iloczyn wektorowy v × w, gdzie v = (1, 2, 1) i w = (2, 1, 3), dla 1. standardowego iloczynu skalarnego i orientacji,
2. iloczynu skalarnego zadanego macierzą
A =
1 0 1 0 1 1 1 1 3
i orientacji zadanej przez bazę {(1, 2, 3), (0, 1, 1), (1, 4, 0)}.
Zadanie 116.
Niech W ⊂ R4 będzie podprzestrzenią zadaną równaniem x1+ x2− x3+ x4= 0.
1. Znajdź rzut prostopadły wektora (4, 2, 3, 2) na W . 2. Znajdź ogólny wzór rzutu prostopadego R4 na W . 3. Znajdź wzór symetrii prostopadłej R4 względem W . Zadanie 117.
Niech V będzie przestrzenią euklidesową, a W jej podprzestrzenią liniową. Weźmy α ∈ V . Wykaż, że β ∈ W jest obrazem α przy rzucie prostopadłym na W wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego γ ∈ W zachodzi kα − βk ¬ kα − γk.
6. seria zadań domowych, na 6.05.20
Zadanie 118. ♦
1. Obliczyć długość rzutu wektora v = (1, 0, 0, 1) na W⊥, gdzie W = lin{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, −1)}.
2. Obliczyć odległość punktu (1, 0, 0, 1) od jego rzutu na W⊥. Zadanie 119. ♦
1. W R3 z bazą standardową {e1, e2, e3}, ze standardowym iloczynem skalarnym i standardową orientacją, oblicz (ei× ej) × ek w zależności od i, j, k ∈ {1, 2, 3}.
2. Udowodnij, że w przestrzeni euklidesowej zorientowanej wymiaru 3 dla dowolnych wektorów α, β, γ zachodzi (α × β) × γ = −hβ, γiα + hγ, αiβ.
Zadanie 120.
Niech u, v, w będą wektorami w R2(ze standardowym iloczynem skalarnym) o długości 1. Wyznacz maksymalną i minimalną wartość wyrażenia hu, vi + hv, wi + hw, ui.
Zadanie 121.
W przestrzeni macierzy Mn×n(R) zdefiniujmy hA, Bi = tr(BtA).
1. Wykaż, że h·, ·i jest iloczynem skalarnym.
2. Wykaż, że kABk ¬ kAkkBk.
Zadanie 122.
1. Dla iloczynu skalarnego na M2×2(R) z poprzedniego zadania, czyli hA, Bi = tr(BtA), znajdź podprzestrzeń prostopadłą do lin{1 0
0 −1
,0 1 1 0
}.
2. Sprawdź, czy hA, Bi = tr(AB) również definiuje iloczyn skalarny na Mn×n(R).
(17) 27.04.20
Zadanie 123.
Wykaż, że długość rzutu prostopadłego krawędzi n-wymiarowej regularnej kostki na dowolną z jej przekątnych jest równa n1 długości przekątnej.
Zadanie 124.
Wykaż, że wyznacznik Grama spełnia nierówność
G(α1, . . . , αk, β1, . . . , βm) ¬ G(α1, . . . , αk)G(β1, . . . , βm),
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy hαi, βji = 0 dla wszystkich 1 ¬ i ¬ k i 1 ¬ j ¬ m lub gdy co najmniej jeden z układów α1, . . . , αk i β1, . . . , βm jest liniowo zależny.
Zadanie 125.
Czy macierz
−1 1 0
0 5 0
4 −1 5
zadaje przekształcenie samosprzężone przestrzeni euklidesowej R3? Zadanie 126.
Niech ϕ : V → V będzie automorfizmem przestrzeni euklidesowej. Wykaż, że
1. ϕ jest symetrią prostopadłą wtedy i tylko wtedy, gdy jest samosprzężone i ϕ2= id.
2. ϕ jest rzutem prostopadłym wtedy i tylko wtedy, gdy jest samosprzężone i ϕ2= ϕ.
Zadanie 127.
Niech V będzie przestrzenią euklidesową, a w1, w2∈ V wektorami takimi, że kw1k = kw2k = 1 i hw1, w2i = 0.
Zdefiniujmy przekształcenie liniowe T : V → V wzorem
T (v) = v − 2hv, w1iw1− 2hv, w2iw2.
Czy T jest przekształceniem samosprzężonym?
Zadanie 128.
Niech f będzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej V spełniającym warunek hf (u), vi = −hu, f (v)i
dla dowolnych u, v ∈ V . Wykaż, że jeśli λ ∈ C jest wartością własną f , to re(λ) = 0.
Zadanie 129. *
Niech A ∈ Mn×n(R) będzie macierzą symetryczną. Wykaż, że rank(A) T r(A)2
T r(A2).
(18) 06.05.20
Zadanie 130.
Wykaż, że każde przekształcenie ortogonalne n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem co najwyżej n symetrii prostopadłych.
Zadanie 131.
Niech A ∈ Mn×n(R) będzie symetryczna i dodatnio określona. Wykaż, że jeśli dla pewnego v ∈ Rn zachodzi hAv, vi = 0 (standardowy iloczyn skalarny w Rn), to również Av = 0.
Zadanie 132.
Definiujemy ciało wartości W (f ) endomorfizmu f przestrzeni unitarnej V następująco:
W (f ) = {hf (x), xi : x ∈ V, kxk = 1}.
1. Wykaż, że W (f + cI) = W (f ) + c oraz W (cf ) = cW (f ) dla każdego c ∈ C.
2. Wykaż, że wartości własne f należą do W (f ).
Zadanie 133.
Opisać W (f ) (z poprzedniego zadania) dla
1. A =0 1 0 0
, 2. B =0 0
1 1
, 3. C =1 0
0 1 + i
.
Zadanie 134.
Dla przestrzeni afinicznej af({(1, 1, 1, −1), (0, 0, 6, −7), (2, 3, 6, −7), (3, 4, 1, −1)}) znaleźć wymiar, układ równań ją opisujący, bazę punktową i bazę wektorową.
Zadanie 135.
Znaleźć przecięcie af({(2, 1, 2), (2, 1, 0), (2, 0, 0)}) z af({(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}).
7. seria zadań domowych, na 20.05.20
Zadanie 136. ♦
Czy istnieje iloczyn skalarny na Rn taki, że dla każdego x ∈ Rn zachodziłaby równość hx, xi = ( max
i=1,...,n|xi|)2?
Zadanie 137. ♦
W n-wymiarowej przestrzeni afinicznej z ustaloną bazą punktową danych jest n + 1 punktów q0, . . . , qn. Przez ai,0, . . . , ai,noznaczamy współrzędne barycentryczne qiw danej bazie punktowej. Wykaż, że det(ai,j) 6= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy q0, . . . , qn są afinicznie niezależne.
Zadanie 138.
Przeksztacenie afiniczne f : R3 → R3 przeprowadza punkty (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0) odpowiednio na punkty (1, 0, 0), (−1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Znajdź f−1(−1, 1, 1).
Zadanie 139.
Niech V będzie przestrzenią wektorową wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych ograniczonych:
V = {(xi)i∈N\{0}: ∃c∈R∀i∈N\{0}xi∈ R and |xi| ¬ c}.
Zdefiniujmy iloczyn skalarny na V wzorem
h(xi), (yi)i =
∞
X
i=1
xiyi i2 .
Znajdź właściwą podprzestrzeń U ( V taką, że U⊥ = {0}.
Zadanie 140.
Niech f będzie endomorfizmem przestrzeni unitarnej V z formą hermitowską h·, ·i. Wykaż, że dla każdego wektora jednostkowego x ∈ V zachodzi nierówność
hf (x), xihx, f (x)i ¬ hf (x), f (x)i.
(19) 11.05.20
Zadanie 141.
W przestrzeni Rn dane są podprzestrzenie L = (2, 1, 0) + lin(1, 0, −1) oraz M = {(x1, x2, x3) ∈ R3: x1+ 2x2− x3= 2}. Znajdź
1. wzór na przekształcenie f : R3→ R3, które jest rzutem na L wzdłuż W = lin((1, 1, 1), (0, 1, 3)), 2. parametryzację obrazu M w jednokładności o środku (0, 0, 1) i skali 2.
Zadanie 142.
Niech H1, H2będą przestrzeniami afinicznymi.
1. Wykaż, że przekształcenie f : H1 → H2 jest afiniczne wtedy i tylko wtedy gdy zachowuje kombinacje afi- niczne.
2. Wykaż, że dla ciała charakterystyki 6= 2, żeby f było afiniczne, wystarczy, że zachowuje kombinacje afiniczne par punktów.
Zadanie 143.
W R3mamy dane dwie proste: d1zadaną parametryzacją (λ + 2, 0, λ + 1) i d2zadaną układem równań x + z = 3, 2x + y + z = 3. Znajdź równanie płaszczyzny zawierającej d1 i równoległej do d2.
Zadanie 144.
Niech V0 = M2×2(R) będzie przestrzenią liniową z dodawaniem. Rozważmy jej podprzestrzenie afiniczne (F, W, +) i (G, V, +), gdzie
F = {A ∈ V0: tr(A) = 1} i G = {A ∈ V0: a11= 0, a21= 1}.
1. Znajdź W i V .
2. Znajdź wzór na rzut na F wzdłuż G.
3. Opisz F ∩ G.
Zadanie 145.
Niech A, B ∈ Mn×n(C). Oznaczmy A∗= At. Na Mn×n(C) rozpatrzmy formę hA, Bi = tr(B∗A).
1. Wykaż, że Mn×n(C) z powyższą formą jest przestrzenią unitarną.
2. Wykaż, że kABk ¬ kAkkBk.
3. Wykaż, że kAtA − AAtk ¬√ 2kAk2.
(20) 13.05.20
Zadanie 146.
Znajdź odległość (wg standardowego ilocznynu skalarnego) punktu p = (2, 1, −3, 4) od podprzestrzeni afinicznej zadanej równaniami
2x1− 4x2− 8x3+ 13x4+ 19 = 0, x1+ x2− x3+ 2x4− 1 = 0.
Zadanie 147.
W przestrzeni afinicznej nad ciałem k danych jest 6 punktów a, b, c, p, q, r. Punkty p, q, r leżą odpowiednio na prostych l(b, c), l(c, a), l(a, b): p = λb + (1 − λ)c, q = µc + (1 − µ)a, r = νa + (1 − ν)b. Załóżmy, że żadne dwie z tych prostych nie są równoległe. Znaleźć warunek na λ, µ, ν ∈ k na to, by proste l(a, p), l(b, q), l(c, r) przecinały się w jednym punkcie.
Zadanie 148.
Sprawdź, czy istnieje przekształcenie afiniczne R4, które przekształca punkty (2, −1, 3, −2), (3, 1, 6, −1), (5, 1, 4, 1) odpowiednio na (1, −2, 3, 5), (2, 1, 8, 7), (3, 2, 10, −6), a prostą P (t) = (2, 0, 4, −1) + t(0, 1, 2, 0) na prostą H(s) = (1, −1, 5, −2) + s(0, 2, 3, −3) (gdzie s, t ∈ R). Jeśli istnieje, sprawdź, czy jest wyznaczone jednoznacznie.
Zadanie 149.
Niech f : R2 → R2 będzie przekształceniem afinicznym, które przeprowadza punkty (2, 1), (1, 2), (1, 1) odpo- wiednio na punkty (4, 1), (3, 3), (2, 1). Wyznacz punkty stałe i proste niezmiennicze f . (Punkt x jest punktem stałym f , jeśli f (x) = x. Prosta l jest prostą niezmienniczą f , jeśli f (l) ⊂ l.)
Zadanie 150.
Niech A, B, C, D będą afinicznie niezależnymi punktami trojwymiarowej przestrzeni afinicznej nad ciałem k cha- rakterystyki 6= 2. Niech f będzie przekształceniem afinicznym tej przestrzeni zadanym przez f (A) = B, f (B) = C, f (C) = D, f (D) = A.
1. Znajdź macierzową prezentację f w bazie (A;−−→ AB,−→
AC,−−→ AD).
2. Wyznacz zbiory punktów stałych (czyli {x : f (x) = x}) przekształceń f i f ◦ f . Zadanie 151.
Niech tv oznacza translację (przesunięcie) o wektor v ∈ V w przestrzeni afinicznej (A, V, +). Wyznacz wszystkie przekształcenia afiniczne f tej przestrzeni, które są przemienne ze wszystkimi translacjami, tzn. dla każdego v ∈ V zachodzi tv◦ v = v ◦ tv.
(21) 18.05.20
Zadanie 152.
Znajdź odległość (wg standardowego ilocznynu skalarnego) podprzestrzeni afinicznych w R5:
P = {(x1, x2, x3, x4, x5) : x1+ x3+ x4− 2x5− 2 = 0, x2+ x3− x4− x5− 3 = 0, x1− x2+ 2x3− x5− 3 = 0}, R = (1, −2, 5, 8, 2) + lin((0, 1, 2, 1, 2), (2, 1, 2, −1, 2)).
Zadanie 153.
Wykaż, że n-wymiarowa kula B(0, 1) = {x ∈ Rn: |x| ¬ 1} jest zbiorem wypukłym.
Zadanie 154.
Wykaż, że suma Minkowskiego dwóch zbiorów wypukłych w Rn jest zbiorem wypukłym.
Zadanie 155.
Wykaż, że dowolne dwa wielościany W1, W2 w Rn można oddzielić hiperpłaszczyzną afiniczną, tzn. istnieje v ∈ Rn taki, że dla każdego w ∈ W1mamy hv, wi c i dla każdego w ∈ W2mamy hv, wi ¬ c dla pewnej stałej c ∈ R.
Niech S ∈ Rn będzie skończonym zbiorem punktów. Wypukłym stożkiem wielościennym nazwiemy zbiór
σ(S) = (
X
u∈S
λuu : λu 0 )
.
Stożkiem dualnym do σ(S) nazwiemy zbiór
σ(S)∨= {v ∈ Rn: hv, ui 0 ∀u ∈ σ(S)} .
Ścianą wypukłego stożka wielościennego σ(S) nazwiemy τ = σ(S) ∩ Hm, gdzie m ∈ σ(S)∨ i Hm = m⊥ jest hiperpłaszczyzną podpierającą stożek.
Zadanie 156.
1. Wykaż, że σ(S)∨ jest wypukłym stożkiem wielościennym.
2. Wykaż, że (σ(S)∨)∨= σ(S).
3. Wykaż, że σ(S) jest stożkiem nad pewnym wielościanem: istnieje wielościan W ⊂ Rntaki, że σ(S) = R0·W . Zadanie 157.
1. Udowodnij, że każda ściana σ(S) jest wypukłym stożkiem wielościennym.
2. Wykaż, że przecięcie dwóch ścian σ(S) również jest ścianą σ(S).
3. Udowodnij, że ściana ściany σ(S) również jest ścianą σ(S).
(22) 20.05.20
Zadanie 158.
Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego przestrzeni hermitowskiej V , a A∗macierzą przekształcenia sprzężonego z A, czyli takiego, że hAx, yi = hx, A∗yi dla dowolnych x, y ∈ V . Wykaż, że
1. (A∗)∗= A,
2. V = ker A∗⊕ im A = im A∗⊕ ker A.
Zadanie 159.
Niech macierze A, B ∈ Mn×n będą ortogonalne. Załóżmy, że det A = − det B. Wykaż, że A + B jest osobliwa.
Zadanie 160.
Wykaż, że w przestrzeni euklidesowej zorientowanej wymiaru 3 prawdziwe są tożsamości 1. ka × bk2+ ha, bi2= kak2· kbk2,
2. (a × b) × c + (c × a) × b + (b × c) × a = 0.
Zadanie 161.
Znajdź liczbę punktów n-wymiarowej przestrzeni rzutowej nad ciałem q-elementowym.
Zadanie 162.
Wykaż, że
1. dowolne przekształcenie rzutowe przestrzeni rzutowej nad C ma przynajmniej jeden punkt stały,
2. dowolne przekształcenie rzutowe przestrzeni rzutowej nad R parzystego wymiaru ma przynajmniej jeden punkt stały,
3. jeśli przekształcenie rzutowe przestrzeni rzutowej nad ciałem nieskończonym ma skończenie wiele punktów stałych, to jest ich co najwyżej n + 1.
Zadanie 163.
Znajdź dowolne przekształcenie rzutowe płaszczyzny rzutowej ze współrzędnymi jednorodnymi (x : y : z), które przeprowadza okrąg x2+ y2 = 1 (zadany w mapie afinicznej z 6= 0) na siebie oraz prostą x = 2 na prostą w nieskończoności (względem tej mapy, czyli zadaną równaniem z = 0 we współrzędnych jednorodnych).
(23) 25.05.20
Zadanie 164. *
Wykaż równoważność dwóch definicji wielościanu: uwypuklenie skończonego zbioru punktów i ograniczone prze- cięcie skończenie wielu półprzestrzeni.
Zadanie 165.
Wykaż, że istnieje przekształcenie rzutowe płaszczyzny rzutowej zachowujące okrąg i przeprowadzające dany punkt we wnętrzu tego okręgu na dowolny inny punkt wewnętrzny.
Zadanie 166.
Rozpatrzmy obraz przedstawiający aleję, wzdłuż której rosną drzewa, w rzeczywistości umieszczone w równych odległościach. Odległość od pierwszego drzewa do linii horyzontu jest równa b, a odległość między drzewami k i k + 1 jest równa ak. Wyraź
1. a3 za pomocą a1i a2, 2. a2 za pomocą b i a1. Zadanie 167. *
Udowodnij twierdzenie Pascala: punkty przecięcia przeciwległych boków sześciokąta wpisanego w okrąg leżą na jednej prostej.
Zadanie 168.
Które z podanych macierzy są kongruentne nad Q, które nad R, a które nad C?
A =1 2 2 1
B =1 0 0 −1
C =1 1 1 4
D =1 0 0 1
E =2 0 0 3
F =1 2 2 4
Zadanie 169.
Wykaż, że wszystkie macierze symetryczne i nieosobliwe z M3×3(Z2) są kongruentne nad Z2.
8. seria zadań domowych, na 3.06.20
Zadanie 170. ♦
W przestrzeni afinicznej R4podprzestrzeń H jest zadana równaniami x1+ x2+ x3− x4= 2 i x1+ x2= 1. Niech f będzie rzutem wzdłuż lin((1, 0, −1, 1), (0, 1, 1, 0)) na H.
1. Znajdź przeciwobraz prostej L = (1, 0, 1, 0) + lin((1, −1, 1, 1)) przy f .
2. Znajdź układ równań opisujący obraz płaszczyzny K = (1, 0, 1, 0) + lin((1, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)).
Zadanie 171. ♦
Znaleźć przekształcenie przestrzeni rzutowej CP3 przeprowadzające kwadrykę zadaną równaniem xy = z na kwadrykę zadaną równaniem x2+ y2− z2= 1.
Zadanie 172.
Przedstaw ośmiokąt o wierzchołkach (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (0, 2), (0, 1) jako 1. sumę Minkowskiego czterech odcinków,
2. sumę Minkowskiego dwóch trójkątów i jednego odcinka.
Zadanie 173.
Niech f : E → E będzie przekształceniem afinicznym. Kiedy f nie ma punktów stałych, kiedy ma dokładnie jeden, a kiedy nieskończenie wiele? (Warunki można wyrazić w terminach wartości własnych przekształcenia stycznego do f .)
Zadanie 174.
Wykaż, że istnieje przekształcenie rzutowe płaszczyzny rzutowej zachowujące dany trójkąt i przeprowadzające dany punkt wewnętrzny tego trójkąta na dowolny inny punkt wewnętrzny.
(24) 27.05.20
Zadanie 175.
Sprowadź formę kwadratową ax2+ bxy + cy2do sumy kwadratów. Jaka jest jej sygnatura w zależności od a, b, c?
Zadanie 176.
Sprowadź formę kwadratową 2x21+ 2x22+ 2x1x2+ 6x1x3+ 6x2x3+ 5x23= 0 do sumy kwadratów.
Zadanie 177.
Dane są macierze
A =
2 2 0 2 0 2 0 2 0
, B =
0 0 2 0 1 0 2 0 0
. Sprawdź, czy są kongruentne nad ciałami Q, Q(√
2), R, C. (Q(√
2) to najmniejsze ciało, które zawiera Q i√ 2.) Zadanie 178.
Niech ciało k będzie równe Z3lub Z5. Ile punktów ma kwadryka x21+ x22= 1 w k2w każdym z tych przypadków?
Wykaż, że na k2 istnieją nieproporcjonalne funkcje kwadratowe f1, f2 takie, że zbiór miejsc zerowych f1 jest zawarty w zbiorze miejsc zerowych f2.
Zadanie 179.
Niech A będzie nieosobliwą symetryczną macierzą kwadratową o wyrazach wymiernych. Wykaż, że macierze
A 0
0 −A
, I 0
0 −I
są kongruentne nad Q.
Zadanie 180. *
Niech A będzie macierzą symetryczną i z Mn×n(Z2). Wykaż, że A jest kongruentna nad Zn2 do jednej z nastę- pujących macierzy:
1. macierz z jednowymiarową klatką zawierającą 0:0 0 0 A0
, 2. macierz z jednowymiarową klatką zawierającą 1:1 0
0 A0
,
3. macierz z dwuwymiarową klatką antydiagonalną:
0 1 0
1 0 0
0 0 A0
.
Wywnioskuj, że jeśli A jest nieosobliwa i ma tylko zera na przekątnej, to A jest kongruentna z macierzą Jn, która ma na przekątnej n/2 bloków postaci 0 1
1 0
, a poza tym zera. W szczególności, w tym przypadku n musi być parzyste, a więc macierz nieosobliwa dla nieparzystego n musi mieć jedynkę na przekątnej.
Zadanie 181. *
Niech A będzie macierzą symetryczną i nieosobliwą z Mn×n(Z2), która ma przynajmniej jedną jedynkę na przekątnej. Wykaż, że A jest kongruentna nad Zn2 do macierzy identycznościowej. W tym celu:
