Gdy badamy określone doświadczenie losowe, możemy podać częstość wystąpienia danego wyniku. Możemy również przed wykonaniem doświadczenia ocenić teoretycznie, jaką szansę wystąpienia ma ten wynik.
Przykład 1
Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie zwykłą sześcienną kostką.
Doświadczenie powtórzono razy. Wyniki przedstawiono w poniższej tabeli.
Interesuje nas, z jaką częstością wypadła nieparzysta liczba oczek. Rozpatrzmy, jaką odpowiedź otrzymamy, jeśli:
100
a) przeanalizujemy wyniki tego doświadczenia,
b) weźmiemy pod uwagę teoretyczne szanse wystąpienia nieparzystej liczby oczek.
Temat: Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego.
Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego nazywamy stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego.
Prawdopodobieństwo zdarzenia „przy jednokrotnym rzucie kostką wypadła nieparzysta liczba oczek” jest równe , co możemy zapisać: .
rozwiązanie
a) Na rzutów wyniki: , lub otrzymano odpowiednio: , i razy, czyli w sumie razy. Nieparzysta liczba oczek wypadła z częstością
.
100 1 3 5 17 14 21
52
= 0,52 ≈ 0,5
52 100
b) Przy jednokrotnym rzucie sześcienną kostką zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych składa się z sześciu elementów: , , , , , . Zdarzeniu
„wypadła nieparzysta liczba oczek” sprzyjają trzy zdarzenia elementarne: , , , czyli . Teoretyczna szansa, że zajdzie zdarzenie , wynosi
.
Zauważmy, że częstość obliczona na podstawie wyników doświadczenia ( ) różni się – choć niewiele – od teoretycznej szansy ( ).
1 2 3 4 5 6 A 1 3 5
A = 1, 3, 5 A
= = 0,5
3 6
1
2
0,52
0,5
P A
0,5 A P(A) = 0,5
1. Z trzynastu kart do gry tego samego koloru losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania figury, czyli: waleta, damy, króla lub asa.
2. Ze słowa wybieramy losowo jedną literę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to:
MATEMATY KA
a) litera ,
A
b) litera
M
, c) litera ,Y
d) litera
W
, e) samogłoska,f) spółgłoska,
g) dowolna litera alfabetu?
3. Spośród liczb naturalnych od do włącznie losujemy jedną liczbę. Oceń prawdziwość
zdań.
5 30
I. Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie liczby złożonej niż liczby pierwszej.
II. Prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby wynosi .1
V. Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego
III. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez wynosi
5
. 13 IV. Bardziej prawdopodobne jest wylosowanie niż .4 0
4. Spośród liczb naturalnych od do włącznie losujemy jedną liczbę. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie liczby podzielnej przez czy liczby podzielnej przez ?
51 80
6 9
Przykład 2
W urnie umieszczono kule białe, kule czarne i kul zielonych. Losujemy jedną kulę.
Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia:
2 3 5
a)
A
– wylosowana kula jest zielona,b)
B
– wylosowana kula jest biała lub zielona, c)C
– wylosowana kula jest żółta,d)
D
– wylosowana kula jest biała, czarna lub zielona.rozwiązanie
a) W urnie znajduje się
10
kul. Połowa z nich to kule zielone:P(A) =
5=
. 101 2 b) Białych i zielonych kul jest łącznie . Szansa, że wylosujemy jedną z tych kul
spośród wszystkich kul, wynosi . A zatem .
Prawdopodobieństwa zdarzeń i są większe od , ale mniejsze od .
7 7
10
710
P(B) =
7A B 0
101
c) W urnie nie ma kuli żółtej. Zdarzenie, że wylosowana kula będzie żółta, jest zdarzeniem niemożliwym:
P(C) =
0= 0
.10
d) Zdarzenie, że wylosowana kula będzie biała, czarna lub zielona, jest zdarzeniem pewnym. A zatem
P(D) =
10= 1
.10
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe .
0
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe .
1
Prawdopodobieństwo zdarzenia :
i
A
P(A) ⩾ 0 P(A) ⩽ 1
5. Do pudełka zawierającego zielonych koralików wrzucono dodatkowo czerwonych, żółte i niebieskie, a następnie wylosowano jeden koralik. Zapisz pary: kolor koralika oraz literę odpowiadającą prawdopodobieństwu jego wylosowania.
12 6 4
2
A. 1 12 B.
0,25
C.
0,55
D.
0,5
E. 1 6
6. W klasie jest dziewcząt i chłopców. Wiemy, że % dziewcząt i % chłopców ma niebieskie oczy. Losujemy jedną osobę spośród tych, które mają niebieskie oczy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to chłopiec?
15 16 60 25
7. Bartek i Kuba grają w grę polegającą na rzutach sześcienną kostką, której jedna ścianka jest czerwona, a pozostałe ścianki są białe. Gdy wypadnie ścianka czerwona – wygrywa Bartek, gdy biała – wygrywa Kuba.
a) Ile razy szansa wygranej Bartka jest mniejsza od szansy wygranej Kuby?
b) Przy ilu ściankach czerwonych teoretyczne szanse wygranej obu graczy byłyby jednakowe?
c) Przy ilu ściankach czerwonych teoretyczna szansa wygranej Bartka byłaby dwa razy mniejsza od teoretycznej szansy wygranej Kuby?
Przykład 3
W pudełku znajdują się orzechy: laskowych, włoskich i ziemnych. Losujemy jeden spośród wszystkich orzechów. Obliczmy prawdopodobieństwa wylosowania orzecha każdego rodzaju.
8 12 20
V. Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego
W pudełku jest razem orzechów. Przyjmijmy oznaczenia: – zdarzenie polegające na wylosowaniu orzecha laskowego, – włoskiego, – ziemnego.
Orzechów laskowych jest . Zatem .
Orzechów włoskich jest . Zatem .
Orzechów ziemnych jest . Zatem .
Na drzewie ilustrującym to doświadczenie możemy zaznaczyć prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń.
Aby porównać szansę otrzymania poszczególnych wyników, wygodnie jest wyrazić ją za pomocą procentów. Wystarczy wówczas otrzymaną wartość ułamkową zamienić na procenty. W tym przypadku szansa wylosowania orzecha laskowego wynosi %, włoskiego %, a ziemnego %.
40 L
W Z
8 P(L) =
8=
40 1 5
12 P(W) =
12=
40 3 10
20 P(Z) =
20=
40 1 2
30 50 20
8. W pudełku jest
10
kul: czerwone, zielone i niebieskie. Losujemy jedną kulę.4 3 3
a) Oblicz prawdopodobieństwa wylosowania każdej z kul: czerwonej, zielonej i niebieskiej.
b) Narysuj drzewo opisujące to losowanie i zaznacz na nim obliczone prawdopodobieństwa.
c) Wyraź w procentach teoretyczną szansę otrzymania poszczególnych wyników.
9. Za pomocą drzewa przedstawiono doświadczenie losowe polegające na rzucie kostką sześcienną, której ścianki są w różnych kolorach. Opisz tę kostkę.
