G. Plebanek Kombinatoryka (R) nr 3 (05.03)
Symbole Newtona
1. Znaleźć wzór na Pnk=0 nkrk iPnk=0(−1)k nk10k.
2. Używając argumentacji kombinatorycznej udowodnić tożsamość dla n 3 (w podanej formie) n
k
!
− n − 3 k
!
= n − 1 k − 1
!
+ n − 2 k − 1
!
+ n − 3 k − 1
! .
Wskazówka: Niech S będzie zbiorem z 3 wyróżnionymi elementami a, b i c. Zliczyć pewne k- kombinacje S.
3. Wyprowadzić wzór
1 n 1
! + 2 n
2
!
+ . . . + n n n
!
= n2n−1.
Wskazówka 1: zróżniczkować wzór na (1 + x)n. Wskazówka 2: Jesteś szefem zespołu n pracowni- ków. Oblicz na ile sposobów możesz dać pewnej liczbie osób podwyżkę i dodatkowo jedną z tych osób awansować.
4. Pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n zachodzi wzór n
1
!
− 2 n 2
! + 3 n
3
!
− 4 n 4
!
+ . . . + (−1)n−1n n n
!
= 0.
5. Za pomocą całkowania wzoru dwumianowego wyprowadzić wzór
1 +1 2
n 1
! +1
3 n 2
! +1
4 n 3
!
+ . . . + 1 n + 1
n n
!
= 2n+1− 1 n + 1 . 6. Przypomnijmy, że dla x ∈ R i naturalnej liczby k 1 definiujemy
x k
!
= x(x − 1) . . . (x − k + 1)
k! .
Dodatkowo, x0= 1 i −kx= 0. Udowodnić, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x i wszystkich liczb całkowitych k i m zachodzą wzory
x k
!
+ x
k + 1
!
= x + 1 k + 1
!
, −x
k
!
= (−1)k x + k − 1 k
!
, x
m
! m k
!
= x k
! x − k m − k
! .
7. Używając argumentacji kombinatorycznej pokazać, że dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych m1, m2 i n mamy
n
X
k=0
m1 k
! m2 n − k
!
= m1+ m2 n
! .
8. Znaleźć wzór na X
r, s, t 0 r + s + t = n
m1 r
! m2 s
! m3 t
! ,
gdzie sumowanie odbywa się względem wszystkich nieujemnych liczb całkowitych r, s i t spełnia- jącyh r + s + t = n.
9. Udowonić za pomocą wzoru Taylora, że dla |x| < 1 i dowolnej liczby α zachodzi wzór
(1 + x)α =
∞
X
n=0
α n
! xn.
10. Udowodnić przez indukcję, że dla dowolnej naturalnej liczby n mamy 1
(1 − z)n =
∞
X
k=0
n + k − 1 k
!
zk, |z| < 1.
11. Sprawdzić przez indukcję wzór
n
X
k=m
k m
!
= n + 1 m + 1
! .
12. Obliczyć sumę 12 + 22 + . . . + n2 korzystając ze wzoru m2 = 2 m2+ m1 oraz z poprzedniego zadania.
13. Znaleźć liczby całkowite a, b i c spełniające
m3 = a m 3
!
+ b m 2
!
+ c m 1
! .
Następnie znaleźć wzór na 13+ 23+ 33+ . . . + n3. Zbiory z powtórzeniami
14. Wyznaczyć liczbę 11 elementowych wariacji (z powtórzeniami) zbioru z powtórzeniami S = {3 · a, 4 · b, 5 · c}. Wyznaczyć też liczbę 10 elementowych takich wariacji.
15. Wyznaczyć liczbę wszystkich kombinacji (dowolnego rozmiaru) zbioru z powtórzeniami S = {n1· a1, . . . , nk· ak}.
16. Wyznaczyć liczbę r elementowych kombinacji zbioru {1 · a1, ∞ · a2, . . . , ∞ · ak}. Ogólniej, wyprowadzić wzór na liczbę r-kombinacji zbioru, w którym liczby powtórzeń są równe 1 lub ∞.
17. Znaleźć liczbę rozwiązań równania x1+ x2+ x3 = 14 w nieujemnych liczbach całkowitych.
18. Znaleźć liczbę rozwiązań równania x1+ x2+ x3+ x4 = 20 w liczbach całkowitych takich, że 1 ¬ x1, 0 ¬ x2, 4 ¬ x3 i 2 ¬ x4.
19. Sekretarka pracuje w budynku położonym 9 przecznic na wschód i 7 na północ od swojego domu.
Codziennie przechodząc do pracy przechodzi 16 odcinków ulic. Ile jest możliwych tras ? Załóżmy, że odcinek ulicy w kierunku wschodnim, zaczynający się 4 przecznice na wschód i 3 na północ, został zalany, a sekretarka nie umie (lub nie chce) pływać. Ile jest wtedy możliwych tras ? Zasada włączeń i wyłączeń
20. Niech A1, A2, A3 będą podzbiorami zbioru skończonego X. Sprawdzić, że
|A1∪ A2∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3| − |A1∩ A2| − |A1∩ A3| − |A2∩ A3| + |A1∩ A2∩ A3|.
21. Ile jest liczb całkowitych pomiędzy 1 i 10 000 (włącznie), niepodzielnych przez 4, 5 ani 6 ? 22. Ile jest liczb całkowitych pomiędzy 1 i 10 000 (włącznie), niepodzielnych przez 4, 6, 7 ani 10 ? 23. Ile jest liczb całkowitych pomiędzy 1 i 10 000 (włącznie), które nie są kwadratami ani sześcianami
liczb całkowitych ?
24. Znaleźć liczbę rozwiązań równania x1 + x2 + x3 = 14 w nieujemnych liczbach całkowitych nie przekraczających 8.
25. Znaleźć liczbę rozwiązań równania x1 + x2 + x3 + x4 = 20 w liczbach całkowitych takich, że 1 ¬ x1 ¬ 6, 0 ¬ x2¬ 7, 4 ¬ x3 ¬ 8 i 2 ¬ x4 ¬ 6.
