Część 1
1.1. Niech f∶ R → R, f (x) = x3− x2+ x − 1. Znaleźć przeciwobraz f−1([0, ∞)).
1.2. Niech f∶ R → R, f (x) = x2+ x + 1. Znaleźć przeciwobraz f−1((−1, 0) ∪ {2}).
1.3. Wyznaczyć przeciwobraz zbioru A= [0, 4] za pomocą funkcji f ∶ [0, 3] → R, jeśli
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
x+ 1, x∈ [0, 1], 3x− 6, x ∈ (1, 3] .
1.4. Niech f∶ R → R będzie określona wzorem: f (x) = 3x − 5.
(i) Sprawdzić, czy f jest suriekcją (czyli odwzorowaniem „na”).
(ii) Sprawdzić, czy f jest iniekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym).
(iii) Jeżeli na powyższe pytania odpowiedź jest pozytywna (tzn. f jest bijekcją), to wyznaczyć funkcję f−1odwrotną do f .
1.5. Niech f∶ [−π, π] → [π, π2+ π] będzie określona wzorem f (x) = x2+ π. Czy f jest bijekcją?
1.6. Niech funkcja f∶ R → R będzie dana wzorem:
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
2x+1x+2, x/= −2, 2, x= −2.
(i) Czy f jest bijekcją?
(ii) Jeżeli na powyższe pytanie odpowiedź jest pozytywna (tzn. f jest bijekcją), to wyznaczyć funkcję f−1odwrotną do f .
1.7. Czy istnieje funkcja odwrotna do funkcji sin? Co należy zrobić, aby taka funkcja istniała? (podobne rozu- mowanie przeprowadzić dla funkcji cos, tg i ctg).
1.8. Niech f , g będą dane wzorami:
(i) f(x) = x − 2, g(x) = 5x +√ x, (ii) f(x) = x2− 1, g(x) = 3x + 5.
Jeśli to możliwe znaleźć g○ f oraz f ○ g.
1.9. Podać wzór funkcji f ○ g oraz g ○ f (jeśli to możliwe) będących złożeniem funkcji f i g, jeśli (i)
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
x+ 1, x< 1,
x2+ x, x ≥ 1 , g(x) = x x2+ 1. (ii)
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪0, x≤ 0,, g(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪0, x≤ 0,
(iii)
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
2x, x∈ [0,1/2], 1, x∈ (1/2, 1] , g(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
1, x∈ [0,1/2],
−2x + 2, x ∈ (1/2, 1].
Część 2
2.1. Pokazać, że√
3 jest liczbą niewymierną.
2.2. Uzasadnić, że√
6 jest liczbą niewymierną.
2.3. Pokazać, że√ 2+√
3 jest liczbą niewymierną.
2.4. Podać przykład dwóch liczb niewymiernych, których suma jest liczbą wymierną.
2.5. Uzasadnić, że log23 jest liczbą niewymierną.
2.6. Pokazać, że liczba
√3
5√
2+ 7 −√3 5√
2− 7 jest wymierna.
2.7. Uzasadnić, że cosπ/8jest liczbą niewymierną.
Część 3
3.1. Rozstrzygnąć, które z poniższych zbiorów są ograniczone:
1. A= {√ 2,√
2+√ 2,
√ 2+√
2+√ 2, . . .};
2. B= {x sin x ∶ x ≥ 0};
3. C= {1 +√12+ . . . +√1n ∶ n ∈ N};
4. D= {4nm +9nm ∶ m, n ∈ N};
5. E= {log x ∶ 0 < x ≤ 1};
6. F = {2 − ∣x∣ ∶ x ∈ R};
7. G= {n22+n+4n+82 ∶ n ∈ N};
8. H= {∑nk=1 1
k+n ∶ n ∈ N};
9. I= {∑nk=1 1
k2 ∶ n ∈ N}.
Część 4
4.1. Policzyć kresy poniższych zbiorów. Czy w podanych zbiorach jest element największy lub najmniejszy?
1. A= {n1 ∶ n ∈ N};
2. B= {n1 +21n +31n ∶ n ∈ N};
3. C= {sinx1 ∶ x ∈ R ∖ {0}};
4. D= {x ∈ Q ∶ x2≥√ 3};
5. E= {√k2−√l3∶ k, l ∈ N}.
4.2. Niech A, B⊂ R, A, B /= ∅ oraz
A+ B = {a + b ∶ a ∈ A, b ∈ B}.
Pokazać, że sup(A + B) = sup A + sup B.
4.3. Niech A, B⊂ R i A, B /= ∅. Udowodnić, że
inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}.
Część 5
5.1. Znając kilka początkowych wyrazów ciągu, wyznaczyć jego wzór ogólny:
(i) 1, 3, 7, 15, 31, . . .;
(ii) 0, 1, 0,−1, 0, 1, 0, −1, . . .
5.2. Napisać wyraz danego ciągu o wskazanym numerze:
(i) an= (2n + 1)!, a100; (ii) bn= (n!)n+1, b3n.
5.3. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągów, których wyraz ogólny dany jest następującym wzorem:
(i) an= 2nn;
(ii) bn=√n+ 2 −√ n;
(iii) cn= (1 +n1)n; (iv) dn= (1 +n1)n+1;
(v) en= n2−6n+101
5.4. Niech c> 2 oraz niech {an} będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:
a1= c2, an+1= (an− c)2, n≥ 1.
Wykazać, że{an} jest ściśle rosnący.
Część 6
6.1. Opierając się na definicji uzasadnić, że (i) limn→∞3−n
n+4 = −1;
(ii) limn→∞2n= ∞.
6.2. Obliczyć granicę limn→∞an, jeśli:
(i) an= 1+n+2n5n+3n22; (ii) an= 3−n1+n2; (iii) an=√
n4+ n2−√ n4− n2; (iv) an= 1+2+...+nn2 ;
(v) an= 4⋅35⋅2nn+1++42⋅4n+2n; (vi) an= n sin n!n2+1 ; (vii) an=√n
3n+ 4n+ 5n; (viii) an=√n n.
6.3. Uzasadnić, że dla dowolnej liczby wymiernej α, granica limn→∞sin(n!απ) istnieje.
6.4. Udowodnić, że nie istnieje granica limn→∞sin n.
6.5. Niech limn→∞∣aan+1n ∣ = q, q < 1. Uzasadnić, że wówczas
n→∞lim an= 0.
6.6. Obliczyć granice (i) limn→∞100n
n! ; (ii) limn→∞(3n+13n+2)6n; (iii) limn→∞(nn2−21)2n2−3; (iv) limn→∞(2n+1n )n+1.
6.7. Sprawdzić, czy istnieje granica ciągu danego rekurencyjnie a1=√
c, an=√c+ an−1, n≥ 2, c > 0.
6.8. Obliczyć granice górną i dolną ciągu(an). Stwierdzić, czy ciąg (an) jest zbieżny, jeśli (i) an= (−1)n;
(ii) an= (−1)n(2 +n3).
6.9. Znaleźć punkty skupienia ciągu
an= (1− (−1)n)2n+ 1 2n+ 3 .
6.10. Niech an= (−1)n(1 −n1). Uzasadnić, że ciąg (an) nie jest zbieżny, ale zbieżny jest ciąg (a2n).
6.11. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym
an=∑n
k=1
cos(k!) 2k jest zbieżny. (Pokazać, że{an} spełnia warunek Cauchy’ego.)
Część 7
7.1. Uzasadnić, że (i) ∑∞n=1 1
n(n+1)= 1;
(ii) 0, 6(6) =23.
7.2. Stwierdzić, że szereg
∞
∑
k=1
k 2k+ 1 jest rozbieżny.
7.3. Uzasadnić, że szereg
∞
∑i=1
1 i jest rozbieżny.
7.4. Czy szereg
∞
∑n=1[ 1
n(n + 1)+ 1 3n−1] jest zbieżny?
Część 8
8.1. Korzystając z odpowiedniego kryterium rozstrzygnąć zbieżność poniższych szeregów o wyrazach nieujem- nych:
(i)
∞
∑n=1
1 2+ 5n, (ii)
∞
∑n=1
3n2+ 5n 2n(n2+ 1), (iii)
∞
∑n=1
√n+ 1 −√n
n ,
(iv)
∞
∑n=1cos 1 n , (v)
∞
∑n=1
3n n3, (vi)
∞
∑n=1
(2n)!
n2n , (vii)
∞
∑n=1
πn(n− 1 n )
n2
,
(viii)
∞
∑n=2
1 n(ln n)α.
8.2. Korzystając z kryterium Rabbego uzasadnić, że szereg
∞
∑n=1
√1n
jest rozbieżny.
8.3. Korzystając z kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu rozstrzygnąć zbieżność szeregu
∞
∑n=1
1 nα w zależności od wartości parametru α, α∈ R.
8.4. Uzasadnić, że jeśli an≥ 0, to ze zbieżności szeregu ∑∞n=1anwynika zbieżność szeregu∑∞n=1a2n. 8.5. Korzystając z odpowiedniego kryterium rozstrzygnąć zbieżność poniższych szeregów:
(i)
∞
∑n=1
(−1)n n , (ii)
∞
∑n=1(−1)n−1 2n 4n− 3, (iii)
∞
∑n=1(−1)narc tg n√n ,
(iv)
∞
∑n=1
(−1)nn n− 1 .
8.6. Zbadać zbieżność oraz bezwzględną zbieżność poniższych szeregów:
(i)
∞
∑n=1(−1)nsinαn, α∈ (0,π/2),
(ii)
∞
∑n=1
(−1)n n− ln n, (iii)
∞
∑n=1(−1)n(n−1)/2n100 2n , (iv)
∞
∑n=1(−1)n3n n!.
8.7. Uzasadnić, że
n→∞lim (n − 1)!
nn+1 = 0.
8.8. Przestawić wyrazy szeregu zbieżnego
∞
∑n=1
(−1)√nn−1
tak, aby otrzymać szereg rozbieżny.
8.9. Obliczyć sumę
∞
∑n=1
n 2n−1
Część 9
9.1. Udowodnić, że
limx→2
x2= 4.
9.2. Udowodnić, że
limx→1
1
(1 − x)2 = ∞.
9.3. Udowodnić, że
limx→1
x− 1 x2− 1= 1
2.
9.4. Pokazać, że nie istnieje granica funkcji:
1. limx→1sinx−11 ; 2. limx→021/x.
(i)
f(x) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2x, −2 < x < 1, 1, x= 1,
x+ 1, 1 < x < 2, x0= 21, x0= 1, x0= 1, 001.
(ii) f(x) = cos x+4 tg x 2−x−x4 , x0= 0;
(iii) xx22−−12x+205x+6 , x0= 2;
(iv) xx22−−12x+205x+6 , x0= 10;
(v)
√1+x−1 x , x0= 0;
(vi) sin 2x2 , x0= 0.
9.6. Obliczyć
limx→0
sin 2x x .
9.7. Obliczyć
x→∞lim(2x+ 3 2x+ 1)x+1.
9.8. Uzasadnić, że nie istnieje granica
x→∞lim x sin x.
9.9. Obliczyć granicę lewostronną (prawostronną) funkcji f w punkcie x0: (i) f(x) = x1, x0= 0;
(ii) f(x) = 1−x12, x0= 1.
9.10. Czy f jest funkcja ciągłą (i)
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
1+211/x, x /= 0,
0, x= 0;
(ii)
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
x sin2πx , x/= 0,
1, x= 0?
9.11. Zbadać ciągłość funkcji f(x) = x − [x], x ∈ R.
9.12. Czy można funkcję f rozszerzyć do funkcji ciągłej na R?
(i) f(x) = 1−x1+x2; (ii) f(x) = tg x;
(iii) f(x) = ∣x∣, ∣x∣ > 1.
9.13. Dla jakich parametrów a, b∈ R funkcja f jest ciągła na R?
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
x2+ ax + b, ∣x∣ < 2, x√x2− 4, ∣x∣ ≥ 2.
9.14. Uzasadnić ciągłość funkcji f(x) = x(∣x∣ + 1)−1, x∈ R.
9.15. Uzasadnić, że równanie 4x = x2+ 2 ma jedno rozwiązanie w przedziale (0, 1).
9.16. Udowodnić tzw. twierdzenie Brouwera o punkcie stałym: jeśli f∶ [0, 1] → [0, 1] jest funkcją ciągłą, to istnieje taki punkt x0∈ [0, 1], że f (x0) = x0.
9.17. Uzasadnić, że każdy wielomian stopnia trzeciego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
9.18. Uzasadnić, że wśród wszystkich prostokątów wpisanych w koło o promieniu R jest taki o największym polu.
9.19. Uzasadnić, że wśród wszystkich walców wpisanych w stożek o promieniu podstawy R i wysokości H istnieje taki o największej objętości.
Część 10
10.1. Kinetyczne równanie ruchu ma postać
h(t) = h0− g t2 2 ,
gdzie h0 oznacza wysokość, z jakiej spada ciało, a t oznacza czas. Stała g, nazywana przyspieszeniem ziemskim, wynosi w przybliżeniu 9, 81ms2. Z wysokości 1000 metrów upuszczono metalową kulkę. Obliczyć, z jaką prędkością porusza się kulka będąc 155 metrów nad ziemią. Dla uproszczenia rachunków można przyjąć g= 10ms2.
10.2. W firmie obliczono, że zysk generowany przez maszynę produkującą pewien produkt zależy w następujący sposób od czasu pracy (podanego w godzinach) tej maszyny:
x↦ −x4+ 6x3− 9x2+ 4x, x > 0.
Jaki czas pracy maszyny generuje najwyższy zysk?
10.3. Podać równanie stycznej do funkcji f(x) = x3+ 1 w punkcie (2, 9).
10.4. Korzystając z definicji znaleźć pochodną f′następujących funkcji f . (i) f(x) = c, c ∈ R,
(ii) f(x) =√ x2+ 1, (iii) f(x) = ∣x∣.
10.5. Uzasadnić, że jeśli f′(x) oraz g′(x) istnieją, to
(ii) (f g)′(x) = f′(x)g(x) + f (x)g′(x).
10.6. Znaleźć pochodną funkcji f , jeśli (i) f(x) = x sin x,
(ii) f(x) = x2ex.
10.7. Znaleźć równanie prostej stycznej do funkcji f(x) = (x + x1)5w punkcie x0= 1.
10.8. Określić parametry a, b, c tak, aby funkcja f miała pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych
f(x) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
4x, x≤ 0,
ax2+ bx + c, 0 < x < 1, 3− 2x, x≥ 1.
10.9. Obliczyć sumę∑nk=0kek x.
10.10. Znaleźć punkty, w których ekstrema lokalne ma funkcja f∶ R → R dana wzorem f(x) = x4− 2x2.
10.11. Podać wartość największą i najmniejszą funkcji
f(x) = x4− 2x2 na przedziale[−12, 2].
10.12. Wskazać ekstrema funkcji f(x) = 2 sin x + cos 2x.
10.13. Wskazać ekstrema funkcji f(x) = x3+ 1.
10.14. Zbadać istnienie punktów ekstremalnych funkcji
f(x) = x4− 4x3+ 16x + 4.
10.15. W kulę o promieniu R wpisano walec o największej możliwej objętości. Znaleźć jego wymiary.
10.16. Znaleźć przedziały, w których funkcja f∶ R ∖ {±1} → R dana wzorem f (x) = xx2−21jest wklęsła (wypukła).
10.17. Zbadać przebieg zmienności oraz naszkicować wykres funkcji f∶ R ∖ {2} → R danej wzorem
f(x) = x2− 3 x− 2.
10.18. Zbadać przebieg zmienności funkcji f∶ [−2π, 2π] → R danej wzorem f (x) = x − sin x. Następnie naszki- cować jej wykres.
10.19. Napisać formułę Taylora z resztą dla funkcji f(x) = ln x dla n = 3 i x0= 1.
10.20. Znaleźć wartość przybliżoną cos 61○oraz zbadać błąd przybliżenia.
10.21. Uzasadnić, że jeśli f jest wielomianem stopnia n danym wzorem f(x) = a0+ a1xn+ . . . + an−1xn−1+ anxn, wówczas wzór Maclaurina stopnia n dla funkcji f jest równy wielomianowi f .
10.22. Podać wzór Taylora funkcji f(x) = ex, dowolnego n∈ N i x0= 0.
10.23. Człowiek porusza się po prostej ścieżce z prędkością 1m/s. Jego kroki śledzone są przez reflektor umiesz- czony na poziomie gruntu w odległości 20 m od ścieżki. Z jaką kątową prędkością obraca się reflektor w momencie, gdy człowiek jest w odległości 10 m od miejsca, w którym reflektor jest najbliżej ścieżki?
10.24. Zbiornik na wodę ma kształt stożka skierowanego wierzchołkiem ku dołowi. Jego wysokość wynosi 12 m, promień podstawy zaś 6 m. Woda pompowana jest z prędkością 10l/min. W przybliżeniu określić prędkość z jaką podnosi się poziom wody w zbiorniku, wówczas gdy ma on 3 m.
10.25. Niech f∶ [a, b] → R będzie funkcją różniczkowalną na (a, b) i ciągłą na [a, b]. Pokazać, że jeśli ∣f (x) − f(y)∣ ≤ (x − y)2dla dowolnych x, y∈ [a, b], to f jest funkcją stałą.
10.26. Uzasadnić, że jeśli funkcja f∶ [a, b] → R ma ograniczoną pochodną, to spełnia warunek Lipschitza. Podać przykład funkcji, która nie ma ograniczonej pochodnej na(a, b).
10.27. Uzasadnić następującą nierówność x
x+ 1< ln(1 + x) < x, x > 0.
10.28. Uzasadnić, że
∣ arc tg x − arc tg y∣ ≤ ∣x − y∣
dla dowolnych x, y∈ R.
10.29. Nie obliczając pochodnej stwierdzić, czy istnieje w przedziale[−1, 1] punkt stacjonarny funkcji f (x) = 13x12+ 21x2+ 1.
10.30. Uzasadnić, że równanie x13+ 7x3+ x − 5 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
10.31. Czy funkcja
f(x) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
x2e−x2, ∣x∣ ≤ 1,
e1, ∣x∣ > 1 jest różniczkowalna na R.
10.32. Wiedząc, że równanie
y4+ 3y − 4x3= 5x + 1,
można rozwikłać (ze względu na zmienną x), znaleźć pochodną funkcji y= f (x).
10.33. Podać równanie stycznej do wykresy funkcji
y4+ 3y − 4x3= 5x + 1, w punkcie(x, y), dla którego x = 1 a f (1) = −2.
10.34. Podać wzór funkcji opisującej współczynnik nachylenia stycznej do okręgu. Uzasadnić, że półprosta nary- sowana z początku układu współrzędnych przechodząca przez punkt P przecina prostą styczną do okręgu w punkcie P pod kątem prostym.
Część 11
11.1. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji (i) f(x) = x2 na przedziale[0, ∞);
(ii) f(x) = x2 na przedziale(0, 1);
(iii) f(x) = (12)x na przedziale(0, ∞);
(iv) f(x) = (12)x na przedziale(0, 1);
(v) f(x) = sinx1 na przedziale(0, 1);
(vi) f(x) = x + sin x na przedziale (0, ∞).
11.2. Uzasadnić, że jeśli funkcja f spełnia warunek Lipschitza na przedziale[a, b], tzn.
∣f (x) − f (y)∣ ≤ L∣x − y∣, dla każdego x, y ∈ [a, b], to f jest jednostajnie ciągła na[a, b].
Część 12
12.1. Obliczyć limx→x0f(x), jeśli:
(i) f(x) = ln(x+1)x , x0= 0, (ii) f(x) = (x(e1x− 1)), x0= −∞, (iii) f(x) = x−11 −ln x1 , x0= 1, (iv) f(x) = xx, x0= 0+,
(v) f(x) = x2sin xsin1/x, x0= 0.
12.2. Pokazać, że granica
x→∞lim sin x
x istnieje, ale nie istnieje granica
x→∞lim (sin x)′
x′ .
Część 13
13.1. Uzasadnić, że funkcja d∶ R × R → [0, ∞) dana wzorem
d(x, y) =⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
1, x/= y, 0, x= y jest metryką na R. Narysować kule o promieniu 1 i 2.
13.2. Uzasadnić, że funkcja d∶ R2× R2→ [0, ∞) dana wzorem
d((x1, y1), (x2, y2)) = ∣x2− x1∣ + ∣y2− y1∣ jest metryką na R2. Narysować kulę o środku w 0 i promieniu 1.
13.3. Uzasadnić, że funkcja d∶ R2× R2→ [0, ∞) dana wzorem
d((x1, y1), (x2, y2)) = max{∣x2− x1∣, ∣y2− y1∣}
jest metryką na R2. Narysować kulę o środku w 0 i promieniu 1.
13.4. Rozwiązać równanie
cos x= x z dokładnością do 0,1.
