Wykład III Absorpcja i dyspersja

Wykład III

Absorpcja i dyspersja

ang. Light Menagement Methods

Widmo Słońca

Absorpcja światła

Kreacja par elektron - dziura Dryft/dyfuzja

nośników

Separacja nośników

Zbieranie nośników

𝜼 = 𝑬

𝑬

Wydajność konwersji energii słonecznej:

𝜼_{𝒄𝒂ł𝒌𝒐𝒘𝒊𝒕𝒆} = 𝜼_{𝒂𝒃𝒔𝒐𝒓𝒑𝒄𝒋𝒂} × 𝜼_{𝒌𝒓𝒆𝒂𝒄𝒋𝒂} × 𝜼_{𝒅𝒓𝒚𝒇𝒕/𝒅𝒚𝒇} × 𝜼_{𝒔𝒆𝒑𝒂𝒓} × 𝜼_{𝒛𝒃𝒊𝒆𝒓𝒂𝒏𝒊𝒂}

Równania Maxwella

prawo Gaussa

dla pola elektrycznego prawo Gaussa

dla pola

magnetycznego prawo indukcji

Faradaya

prawo Ampera-Maxwella

𝑟𝑜𝑡𝑬 = −𝑑𝑩 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑬 = 𝜌 𝜀𝜀₀

𝑑𝑖𝑣𝑩 = 0

𝑟𝑜𝑡𝑩 = 𝜇𝜇

Ԧ𝒋 + 𝜀𝜀

𝜇𝜇

𝑑𝑬

𝑑𝑡

z x y

E

B

Fala elektromagnetyczna w próżni

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸_𝑚cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥

𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝐵_𝑚cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 Z prawa Ampera – Maxwella w próżni (𝜀 = 1, 𝜇 = 1):

𝑟𝑜𝑡𝑩 = 𝜇𝜇

Ԧ𝒋 + 𝜀𝜀

𝜇𝜇

𝑑𝑬

𝑑𝑡 = 𝜀

𝜇

𝑑𝑬 𝑑𝑡

= 0

𝐸 = [0, 𝐸(𝑥, 𝑡), 0] 𝐵 = [0,0, 𝐵(𝑥, 𝑡)]

Dla

𝑟𝑜𝑡𝑩 =

Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧 0 0 𝐵(𝑥, 𝑡)

= −Ԧ𝒋 𝜕𝐵(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

z x y

E

B

t E x

B



 

 



0





 

0 0

E

sin t kx

   

 

 

m

sin

kB  t kx

  

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( , ) 1 1 1 1 1

( , )

m m

E x t E k

B x t B c

 

        

       

Fala elektromagnetyczna w próżni

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸_𝑚cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝐵_𝑚cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥

−Ԧ𝒋𝜕𝐵 𝑥, 𝑡

𝜕𝑥 = 𝜀₀𝜇₀ 𝑑𝑬

𝑑𝑡 = Ԧ𝒋𝜀₀𝜇₀ 𝜕𝐸(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

W ośrodku

m m

E

B 

0 0

1

  

( , ) ( , ) E x t

B x t  ^{= 𝑐}

𝑛 = 𝑣

Energia fali elektromagnetycznej

  ^,

u x t  

E

( , ) x t

Średnia gęstość energii po czasie równym okresowi fali:

2 2 2 2

0 0 0

( , ) cos ( ) 1

śr m

2

u   E x t   E  t  kx   E

2 0

1

śr

2

u B

 

Chwilowa gęstość energii pola elektromagnetycznego:

u_śr u(t)

t

lub:

(cos 𝑥)² = 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2

Wektor Poyntinga

dA

vdt

  ^{x , t }

S

0

( , ) ( , ) E x t B x t



  ^{2 0 2 2}

0 0 0

( , )

( , ) E x t ( , )

E x t u x t

v v v v





 

 

v u x t

  

dt dU dA 1 

dU  ^{u }  ^{dA vdt } 

energia

Szybkość przepływu energii przez jednostkę powierzchni jest opisywana przez wektor Poyntinga:

𝑺 = 𝒅𝑼

𝒅𝒕𝒅𝑨 Ԧ𝒋 = 𝒖 ∙ 𝒗

2

( , )

( , ) u x t   E x t

0

1

  

S E B

Pokażemy, że:

x

y z

Natężenie fali elektromagnetycznej

Natężenie fali I jest to średnia szybkość z jaką fala elektromagnetyczna przenosi energię przez powierzchnię prostopadłą do kierunku propagacji fali, dzielona przez powierzchnię, zatem jest to wartość średnia wektor Poyntinga po czasie równym okresowi fali:

dt

dU

I dA 



 



 

 1

śr sr

S v u

  

2 2

0 0

0 0

2 2

0 0

0 0

1 1 1

2 2

1 1

2 2

śr m m

m m

I v u v E E

E n E

 

 

 

 

     

 

𝝁 ≅ 𝟏 → 𝒏 = 𝜺 przy założeniu, że

𝑰~𝑬

Natężenie światła:

W próżni

v

0 0

1



 

 c

W ośrodku

0 0

1 c c

v ^   ^  ^ n

Prędkość fazowa fali em.

Oddziaływanie światła z materią

Przy założeniu, że współczynnik odbicia R od przedniej i tylnej ścianki jest taki sam przy przejściu przez ośrodek o grubości z, współczynnik transmisji T jest równy:

𝑻 = (𝟏 − 𝑹)^𝟐𝐞𝐱𝐩(−𝜶𝒛) 𝑰(𝒛) = 𝑰_𝟎𝒆^−𝜶𝒛

Prawo Lamberta-Beera:

Oddziaływanie światła z materią

Załamanie – zmniejszenie prędkości światła w ośrodku;

intensywność pozostaje bez zmian. Załamanie opisuje prawo Sneliusa.

Rozpraszanie światła - liczba fotonów nie ulega zmianie, ale intensywność światła w kierunku propagacji maleje

ponieważ część fotonów zmienia kierunek.

Rozpraszanie: elastyczne i nieelastyczne.

Jeśli intensywność światła jest bardzo duża, pojawiają się efekty nieliniowe.

Absorpcja – jeśli częstość światła jest bliska częstości

przejść optycznych w ośrodku; intensywność światła maleje.

Luminescencja – emisja światła przez wzbudzony ośrodek;

nie zawsze towarzyszy absorpcji, ponieważ zmagazynowana energia może zostać zamieniona na ciepło zanim nastąpi

emisja.

Przesunięcie Stokesa

Energia fotonu emitowanego jest mniejsza od energii fotonu zaabsorbowanego,

zatem częstość światła emitowanego jest mniejsza od częstości światła absorbowanego.

To zmniejszenie częstości światła emitowanego w stosunku do częstości światła absorbowanego nazywa się przesunięciem Stokesa.

Absorpcja i luminescencja

Rozpraszanie światła i absorpcja

Rozpraszanie ma miejsce, gdy światło natrafia na cząsteczki o rozmiarach

rzędu długości fali. Intensywność wiązki światła, która ulega rozproszeniu jest dana wzorem:

𝑰(𝒛) = 𝑰

𝒆

gdzie N koncentracja centrów rozpraszających, 𝝈_s – przekrój czynny na rozpraszanie. W krysztale mogą to być np. defekty, domieszki,

niejednorodności. Wzór podobny do wzoru opisującego absorpcję światła.

Dla rozpraszania elastycznego (Rayleigh’a):

𝝈_𝒔 𝝀 ~ 𝟏 𝝀^𝟒

Oddziaływanie światła z materią

Właściwości optyczne ośrodka absorbującego światło opisuje zespolona funkcja dielektryczna

෤𝜺 = 𝜺

+ 𝒊𝜺

𝒏 = ෤𝜺 ෥ 𝒏 = 𝒏 + 𝒊κ ෥

Ponieważ

gdzie κ to współczynnik ekstynkcji.

Po przekształceniu otrzymujemy:

𝒏

− κ

= 𝜺

𝒏 = 𝟏

𝟐(𝜺_𝟏 + 𝜺_𝟏^𝟐 + 𝜺_𝟐^𝟐 )^𝟏/𝟐 𝜿 = 𝟏

𝟐(−𝜺_𝟏 + 𝜺_𝟏^𝟐 + 𝜺_𝟐^𝟐 )^𝟏/𝟐 Małe κ - ośrodek

przezroczysty

𝒏 = 𝜺

𝜿 = 𝜺

𝟐𝒏

Pochłanianie światła (absorpcja)

Załóżmy, że na substancję pada płaska fala elektromagnetyczna monochromatyczna:

𝑬 = 𝑬

𝒆

= 𝑬

𝒆

= 𝑬

𝒆

= 𝑬

𝒆

𝒆

𝜶 =

𝒄

-

𝝎 = 𝟐𝝅

𝑻 nie zależy od długości fali, 𝜿 zależy od l, więc 𝜶 też zależy od l

zmiana fazy pochłanianie

𝑰 = 𝑰

𝒆

= 𝑰

𝒆

prawo Lamberta – Beera

𝑰~𝑬_𝒎^𝟐

Prędkość fazowa jest zdefiniowana przez część rzeczywistą wsp. załamania: 𝒗 = 𝒄/𝒏

𝒏 i 𝒌 oraz 𝑹 i 𝜶

Współczynnik absorpcji:

Pokażemy dalej, że współczynnik odbicia jest dany wzorem:

𝜶 = 𝟐𝝎κ 𝒄

Wszystkie wielkości charakteryzujące odpowiedź danego

ośrodka na pole elektromagnetyczne są funkcjami częstości  !

W ośrodkach przezroczystch pochłanianie jest bardzo słabe i 𝜿 jest bardzo małe. Stąd zwykle stabelaryzowane współczynniki załamania oraz funkcja dielektryczna dla tych ośrodków są rzeczywiste.

Zadania

1. Zespolona funkcja dielektryczna dla CdTe dla λ = 500𝑛𝑚 jest dana wzorem:

ǁ𝜀𝑟 = 8.92 + 𝑖2.29 Oblicz dla tej długości fali:

• prędkość fazową fali

• współczynnik absorpcji

• współczynnik odbicia. Skorzystaj z relacji

Odp.9.97 ∙ 10^{7 𝑚}

𝑠 ; 9.6 ∙ 10⁶𝑚⁻¹; 25,6%

2. Detektory (fotodiody) stosowane w sieciach światłowodowych pracujących przy λ = 850𝑛𝑚 są zwykle wykonane z krzemu. Współczynnik absorpcji krzemu dla tej długości fali jest równy 1.3 ∙ 10⁵𝑚⁻¹. Detektory są pokryte warstwą antyrefleksyjną, więc można pominąć odbicie światła. Oblicz jaka powinna być grubość aktywnego obszaru fotodiody aby zaabsorbowane zostało 90% padającego światła.

Odp. 18m

Oscylator harmoniczny w ciele stałym

Półprzewodnik lub izolator Oscylator - elektron związany

Molekuły polarne (NaCl, H₂O), kryształy jonowe, drgania sieci

Metal

Elektrony swobodne

Dielektryk w polu elektrycznym Wektor polaryzacji

𝒑 = −𝒆𝒅

Moment dipolowy

𝑷 = σ_𝒊𝒑_𝒊

𝑽 = χ𝜺_𝟎𝑬 Wektor polaryzacji

Oscylator Lorentza

𝜹 rozsunięcie ładunków 𝒒 i −𝒒 w atomie, głównie przesunięcie elektronu ze względu na fakt, że 𝒎_𝒋 ≫ 𝒎_𝟎.

𝝁-masa zredukowana, 𝒎_𝟎 masa elektronu, 𝒎_𝒋masa jądra

Dielektryki

Oscylator Lorentza z siłą tłumiącą, o częstości bliskiej 𝝎_𝟎

Rezonansowa polaryzacja indukowana światłem dla 𝑵 atomów/jedn.

objętości:

gdzie 𝒑(𝒕) – moment dipolowy.

𝐸 𝑡 = 𝐸₀𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝐸₀𝑅𝑒(𝑒^{−𝑖(𝜔𝑡+∅)})

Szukamy rozwiązania postaci:

Jeśli fazę uwzględnimy w zespolonych amplitudach 𝑋₀ i 𝐸₀, to ii

𝑥 𝑡 = 𝑋₀𝑅𝑒 𝑒^{−𝑖 𝜔𝑡+∅′} .

𝐸 𝑡 = 𝐸₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}

Dielektryki

Indukcja elektryczna 𝜺_𝟎 = 𝟖. 𝟖𝟓 ∙ 𝟏𝟎^−𝟏𝟐(^𝑭

𝒎) - przenikalność elektryczna próżni

𝜺_𝒓 - względna przenikalność elektryczna – funkcja dielektryczna

Z porównania powyższych wzorów otrzymujemy:

Funkcja dielektryczna w granicach

Statyczna funkcja dielektryczna 𝝎 ≪ 𝝎_𝟎

Dla bardzo dużych częstości 𝝎 ≫ 𝝎_𝟎

Ponieważ , to

W pobliżu rezonansu 𝝎 = 𝝎

+ ∆𝝎

𝜔 = 𝜔₀ + ∆𝜔

𝜀₁ ∆𝜔 = 1 + χ + 𝑁𝑒² 𝜀₀𝑚₀

𝜔₀² − (𝜔₀ + ∆𝜔)²

𝜔₀² − (𝜔₀ + ∆𝜔)^{2 2} + γ²(𝜔₀ + ∆𝜔)² W równaniu:

podstawiamy

𝜀₁ ∆𝜔 = 𝜀_∞ − (𝜀_𝑠𝑡 − 𝜀_∞) 2𝜔₀∆𝜔 4(∆𝜔)²+𝛾²

Po przekształceniach zakładając, że ∆𝜔^𝟐≅ 𝟎 oraz 𝝎 ≅ 𝝎_𝟎 ≫ 𝜸 otrzymujemy:

Tak samo postępujemy obliczając 𝜺_𝟐 ∆𝝎 i otrzymujemy:

𝜀₂ ∆𝜔 = (𝜀_𝑠𝑡 − 𝜀_∞) 𝛾𝜔₀ 4(∆𝜔)²+𝛾²

Funkcja dielektryczna

W pobliżu rezonansu:

𝜀₁ ∆𝜔 = 𝜀_∞ − (𝜀_𝑠𝑡 − 𝜀_∞) 2𝜔₀∆𝜔 4(∆𝜔)²+𝛾²

𝜀₂ ∆𝜔 = (𝜀_𝑠𝑡 − 𝜀_∞) 𝛾𝜔₀ 4(∆𝜔)²+𝛾²

Te równania opisują ostrą linię absorpcyjną przy częstości 𝝎_𝟎 o szerokości połówkowej 𝜸

Lorentzian

𝒏 i κ

𝒏 = 𝟏

𝟐(𝜺_𝟏 + 𝜺_𝟏^𝟐 + 𝜺_𝟐^𝟐 )^𝟏/𝟐 κ = 𝟏

𝟐(−𝜺_𝟏 + 𝜺_𝟏^𝟐 + 𝜺_𝟐^𝟐 )^𝟏/𝟐

Jak uwzględnić 𝑷

?

Gdy ośrodek posiada wiele częstości rezonansowych _0j:

) 1 (

)

(

0 0

2









 



j j

j e j

r

i

f m

Ne



 

 

Częstości rezonansowe _0j to częstości własne układu (istnieją niezależnie od tego, czy układ oddziałuje z polem fali świetlnej, czy nie).

Aby uwzględnić różny wkład od różnych oscylatorów

wprowadza się siłę oscylatora 𝒇_𝒋 podczerwień widzialne UV X

częstość (Hz)

drgania sieci, płytkie

domieszki przejścia elektronowe międzypasmowe

defekty, ekscytony

Zadanie

Rys. poniżej przedstawia współczynnik załamania dla NaCl. Rezonans jest

spowodowany drganiami dipoli 𝑁𝑎⁺𝐶𝑙⁻ . Liczby atomowe dla 𝑁𝑎 i 𝐶𝑙 są równe odpowiednio 23 i 35.5. Oszacuj:

a) 𝜀_𝑠𝑡 i 𝜀_∞.

a) Częstość rezonansową.

b) Siłę zwrotną dla jednostkowego przemieszczenia.

c) Koncentrację cząsteczek NaCl.

Odp. a) 5.9, 1.96; b) 5 ∙ 10¹²𝐻𝑧; c) 23N; d) 3 ∙ 10²⁸𝑚⁻³.

Refractive index –

współczynnik załamania