Zadania z gwiazdką
* Zadanie 1. Znaleźć ostatnie 1000 cyfr liczby
1 + 40 + 402+ 403+ . . . + 40998+ 40999.
* Zadanie 2. Wyprowadzić nierówność Cauchy’ego z nierówności Bernoulliego, oraz nierówność Bernoulliego z nierówności Cauchy’ego.
* Zadanie 3. Wysyłamy listy do n osób, mamy n zapisanych kartek i n zaadresowanych kopert. Ale ktoś pomieszał kartki i powkładał je do kopert przypadkowo (po jednej kartce do każdej koperty). Ile jest sposobów włożenia kartek do kopert tak, żeby przynajmniej jeden list był dobrze zaadresowany?
* Zadanie 4. Obliczyć (dokładnie!) 3
q
20 + 14√ 2 + 3
q
20 − 14√ 2.
* Zadanie 5. Niech f (x) = anxn+ . . . + a1x + a0. Jeśli istnieje liczba pierwsza p taka, że p dzieli współczynniki a0, a1, . . . , an−1, nie dzieli an oraz p2 nie dzieli a0, to f (x) nie rozkłada się na iloczyn wielomianów stopni 1 o współczynnikach całkowitych.
* Zadanie 6. Załóżmy, że wielomian f (x) o wspólczynnikach całkowitych ma tę wła- sność, że największy wspólny dzielnik jego współczynników jest równy 1. Pokazać, że jeśli wielomian f (x) ma rozkład na wielomiany (stopni 1) o współczynnikach wymiernych, to ma również rozkład na wielomiany o współczynnikach całkowitych.
* Zadanie 7. Wielomian w(x) stponia 2 o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych x wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian w(x) jest kwadratem pewnego wielomianu.
* Zadanie 8. Rozpatrzmy ciąg pierwszych cyfr kolejnych potęg dwójki, czyli an to pierwsza cyfra liczby 2n. Czy 7 pojawi się w ciągu an? Co będzie pojawiać się częściej: 7 czy 8?
* Zadanie 9. Niech an będzie ciągiem nieograniczonym z góry ani z dołu i spełniającym lim(an−an+1) = 0. Pokazać, że dowolna liczba rzeczywista jest granicą pewnego podciągu w tym ciągu.
* Zadanie 10. Udowodnić twierdzenie Riemanna z wykładu: permutując wyrazy szeregu zbieżnego warunkowo można uzyskać szereg zbieżny do dowolnej liczby rzeczywistej.
* Zadanie 11. Udowodnić, że a ∈ R jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu w(x) wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie jest pierwiastkiem w(x) i w0(x). Wykazać, że wie- lomian vn(x) = 1 + 1!x + x2!2 + . . . + xn!n nie ma pierwiastków wielokrotnych dla żadnego n ∈ N.
1
