Niech X ∼ B(p, p), p > 0. Na podstawie jednej obserwacji skonstruuj test jednostajnie najmocniejszy dla testowania hipotezy H : p = p0 przeciwko hipotezie K : p = p1 > p0 na poziomie istotności α ∈ (0, 1). Wyznacz funkcję mocy tego testu dla p ∈ {p0, p1}. Przed- staw test i jego funkcję mocy w takiej postaci, aby możliwie najmniej wartości trzeba było odczytywać z tablic. W rozwiązaniu przyjmij następujące oznaczenie: bp(x) – dystrybu- anta rozkładu B(p, p).
Wskazówka: Nie operuj zgaduj-zgadulą. Po prostu licz.
ROZWIĄZANIE:
Zgodnie z lematem Naymana-Pearsona obszar krytyczny testu jednostajnie najmocniej- szego w powyższym problemie jest wyznaczony przez warunek:
C1xp1−1(1 − x)p1−1
C0xp0−1(1 − x)p0−1 > k, x ∈ [0, 1]
dla pewnej stałej k > 0 (C0, C1 – stałe normujące dla odpowiednich rozkładów), co jest równoważne:
x(1 − x) >
kC0
C1
p1−p01
czyli C ≤ x ≤ 1 − C dla pewnego C ∈ (0,12). Test ma postać:
ϕ(X) = 1, C ≤ X ≤ 1 − C 0 w p. p.
Wyznaczamy C, pamiętając, że rozkład B(p, p) jest symetryczny względem 12:
Ep0ϕ(X) = Pp0(C ≤ X ≤ 1 − C) = 2Pp0
C ≤ X ≤ 1 2
= 2
bp0 1
2
− bp0(C)
=
= 2 1
2− bp0(C)
= 1 − 2bp0(C) = α ⇒ C = b−1p0 1 − α 2
Wyznaczamy funkcję mocy:
βϕ(p) = 1 − 2bp(C) = 1 − 2bp
b−1p0 1 − α 2
Ostatecznie
βϕ(p) =
α, p = p0
1 − 2bp1 b−1p
0
1−α
2 , p = p1
.
