P = ∙ 14 ∙ 1210 32 P = ∙ 14 ∙ sin120 ° 1210 P = a∙b∙sinγ 12 P = 1404 P = ∙ ∙ 12 1401 12 P = ∙ 140 ∙ 12 12 P = ∙ 14 ∙ sin30 ° 1210 P = a∙b∙sinγ 12

Temat: Pole trójkąta. 06.05

Zad. 7.23/186

a) Zróbmy rysunek. W zadaniu nic nie pisze jaki mamy rodzaj trójkąta, więc rysujemy różnoboczny.

Korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki (lekcja poprzednia, 04.05), które pasują do każdego rodzaju trójkąta. Zobaczcie: mamy dane dwa boki trójkąta i kąt między nimi, zatem idealny będzie drugi wzór:

P= 1

2 a ∙ b ∙ sinγ

, -to kąt między naszymi bokami

P= 1

2 10 ∙14 ∙sin 30 °

czytamy wartość 30⁰z tablic matematycznych ze strony 15

P= 1

2 ∙ 140∙ 1 2

P= 1

2 ∙ 140 1 ∙ 1

2

P= 140

4

P=35 cm² b)

Znów korzystamy z tego samego wzoru na pole trójkąta:

P= 1

2 a ∙ b ∙ sinγ

P= 1

2 10 ∙14 ∙sin 120 °

P= 1

2 10 ∙14 ∙ √ ³

2

P= 1

2 ∙ 140∙ √ ³

2

P= 1 2 ∙ 140

1 ∙ √ ³

2 P= 140 √ ³

4

P=35 √ ³

^cm2

Uwaga!

sin120⁰= sin(90⁰+30⁰)=cos30⁰=

√ ³

2

Zad. 7.24

Zróbmy rysunek

Mamy dwa boki trójkąta, jego pole, a szukamy kąta ostrego między bokami. Znów korzystamy z tego samego wzoru:

P= 1

2 a ∙ b ∙ sinγ

27= 1

2 ∙ 18 ∙6 ∙ sinγ

27= 1

2 ∙ 18 1 ∙ 6

1 ∙ sinγ

27= 108

2 ∙ sinγ

27=54 ∙ sinγ

54 ∙ sinγ =27

/:54

sinγ = 27

54 = 1

2

w tabeli na str. 15 w tablicach matematycznych mamy taką wartość dla kata 30⁰

=30⁰.

Zad. 7.27

Spójrzcie: kąty w trójkącie mogą mieć miary z zakresu (0⁰, 180⁰) .

cosinus jednego z kątów wynosi -0,8 . Dla jakich kątów trójkąta cosinus jest ujemny? Dla kątów z zakresu (90⁰, 180⁰) – II ćwiartka układu współrzędnych. Wiemy więc, że nasz kąt jest rozwarty. Musi to być kąt między ramionami naszego trójkąta.

Zróbmy rysunek:

Znów mamy dwa boki trójkąta i kąt między nimi więc po raz kolejny skorzystamy ze wzoru:

P= 1

2 a ∙ b ∙ sinγ

Pole jest równe 7,5cm²,więc podstawmy

7,5= 1

2 ∙ x ∙ x ∙ sinγ

Troszkę mało danych… ALE! Mamy przecież że cos= -0,8. Skorzystamy z „jedynki trygonometrycznej” i obliczymy potrzebnego nam do wzoru na pole sinusa tego kąta.

sin²α+ cos²α=1 nie ma znaczenia że we wzorze jest symbol kąta α a w zadaniu 

sin

²

α+(−0,8)

²

=1

sin

²

α+0,64=1

sin²α=1−0,64

sin

²

α=0,36

sinα =0,6 lub sinα=−0,6 wybieramy dodatni wynik, bo dla kąta ostrego wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie

Wróćmy więc do naszego wzoru na pole trójkąta i uzupełnijmy w nim wartość sinusa:

7,5= 1

2 ∙ x ∙ x ∙ 0,6

7,5=0,3 ∙ x ∙ x 7,5=0,3 ∙ x²

0,3 ∙ x

²

=7,5

^{/: 0,3}

x

²

= 7,5

0,3

x²=25

x=5 wersji ujemnej nie biorę pod uwagę, bo x to długość boku trójkąta

Temat: Ćwiczenia w obliczaniu pola trójkąta. (07.05) Zad. 7.26

Mamy dwa boki trójkąta, jego pole, a szukamy kąta między bokami. Znów korzystamy z tego samego wzoru:

P= 1

2 a ∙ b ∙ sinγ

30= 1

2 ∙ 10 ∙12 ∙ sinγ

30= 1

2 ∙ 10 1 ∙ 12

1 ∙ sinγ 30= 120

2 ∙ sinγ

30=60 ∙ sinγ 60 ∙ sinγ=30 /:60

sinγ = 30 60 sinγ = 1

2

Sinus jakiego kąta to

1

2

? Oczywiście powiecie , na podstawie tabeli ze str. 15 z tablic

matematycznych, że nasz kat ma miarę 30⁰. Tak. Ale ponieważ w zadaniu autor nic nie mówił, że nasz kąt musi być kątem ostrym, to sprawdźmy, czy jest jakiś kąt rozwarty, którego sinus wynosi

1

2

^. Popatrzcie na wzory redukcyjne, a konkretnie na wzór:

sin(180⁰-α)=sinα Gdybyśmy rozpisali:

sin150⁰= sin(180⁰-30⁰)=sin30⁰ to też wyjdzie nam, że sin150⁰=

1

2

. Zatem kąt, którego sinus jest równy

1

2

^{to kąt 300 lub 1500}

Zad. 7.34

a) Zróbmy rysunek:

Nie jest to ani trójkąt prostokątny ani równoboczny, więc spoglądamy na wzory z pomarańczowej tabeli (w tablicach str. 8 „wzory na pole trójkąta” )

a) szukamy promienia okręgu wpisanego w trójkąt – czyli r. Jest taki symbol „r” we wzorze:

P

_{∆ ABC}

=r ∙ p

Gdzie P_{∆ ABC} oznacza pole trójkąta, r – promień okręgu wpisanego w trójkąt, a p – to połowa obwodu trójkąta (zobaczcie, przed pomarańczową ramką – w tablicach jest to str 8 u samej góry – pisze, że 2p to obwód trójkąta. Zatem jedno p to połowa obwodu trójkąta)

Więc żeby obliczyć r musimy mieć pole trójkąta i p, czyli połowę jego obwodu.

Obw=32+20+20=72cm p=36cm

Pole trójkąta możemy policzyć na dwa sposoby:

sposób I

dorysować wysokość w trójkącie, obliczyć ją z Tw. Pitagorasa a później skorzystać ze wzoru na pole trójkąta P=

1

2

^ah

sposób II

Jeśli mam boki trójkąta (które są bez pierwiastków) to mogę skorzystać ze wzoru na pole z pomarańczowej ramki (lekcja 04.05):

P_{∆ ABC}=

√

^p

⁽

^p−a

⁾⁽

^p−b

⁾

^(p−c) , gdzie p - to połowa obwodu, a,b,c -boki trójkąta

P

_{∆ ABC}

= √ 36 (36−32)(36−20)(36−20)

P

_{∆ ABC}

= √ 36 ∙ 4 ∙ 16 ∙16 P

_{∆ ABC}

= √ ³⁶⁸⁶⁴

P

_{∆ ABC}

=192

_cm²

Wracamy się do poszukiwania naszego r

P

_{∆ ABC}

=r ∙ p

192=r∙36 36r=192 /:36 r=

192

36 = 16 3 =5 1

3

^cm

b)

Żeby obliczyć odległość środka naszego okręgu (wpisanego w trójkąt) od wierzchołków tego trójkąta, musimy policzyć odcinki na rysunku oznaczone jako x oraz y.

Zacznijmy od obliczenia x. Korzystamy z Tw. Pitagorasa:

r²+16²=x²

( ^{5 1} 3 )

²

^{+ 16}

²

^{= x}

²

( ¹⁶ 3 )

²

⁺¹⁶

²

^{= x}

²

256

9 +256=x

² _/∙9

9 ∙ 256

9 +9 ∙ 256=9∙ x

² skracamy mianownik ułamka 256+2304=9 ∙ x²

2560=9∙ x

² 9 ∙ x²=2560 /:9

x

²

= 2560

9

^/√

x= √ ^{2560 9 = √ 256 ∙10 3 = 16 √ 3 10}

^cm

Żeby obliczyć „y” musimy mieć wysokość trójkąta, od której później odejmiemy r.

h²+16²=20² h²+256=400 h²=400-256 h²=144 /√

h=12 cm y=h-r y=12-

5 1

3

y=

12

1 − 16 3

y=

36

3 − 16 3 = 20

3 =6 2 3

^cm

Temat: Ćwiczenia w obliczaniu pola trójkąta (07.05)

Zad 7.41

a) W zadaniu nie pisze co to za trójkąt, nie jest on ani równoboczny, ani prostokątny, ani

równoramienny, więc korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki z lekcji z 04.05 (tablice str 8

„wzory na pole trójkąta”).

Narysowanie wysokości w tym trójkącie nic mi nie da, bo spodek wysokości na pewno nie dzieli podstawy na pół. Zostaje więc wzór na pole, w którym mogę wykorzystać wszystkie boki trójkąta, mianowicie:

P

_{∆ ABC}

= √ p ( p−a )( p−b)( p−c)

, gdzie a, b, c – boki trójkąta, p- połowa obwodu trójkąta

Obliczmy obwód:

Obw=25+39+56=120cm p=60cm

Zatem:

P

_{∆ ABC}

= √ p ( p−a )( p−b)( p−c)

P_{∆ ABC}=

√

⁶⁰

⁽

⁶⁰⁻²⁵

⁾⁽

⁶⁰⁻³⁹

⁾

^(60−56)

P

_{∆ ABC}

= √ 60 ∙35 ∙ 21∙ 4 P

_{∆ ABC}

= √ ¹⁷⁶⁴⁰⁰

P_{∆ ABC}=420 _cm²

b) Ponieważ korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki (tablice str 8 „wzory na pole trójkąta”), to jak spojrzycie, wysokości są używane we wzorach na pole

P= 1

2 a h

_a , gdzie a-to bok trójkąta na który opada wysokość ha

P= 1

2 b h

_b , gdzie b-to bok trójkąta na który opada wysokość hb

P= 1

2 a h

_c , gdzie c-to bok trójkąta na który opada wysokość hc

420= 1

2 ∙25 ∙ h

_a

420= 25

2 ∙ h

_a

25

2 ∙ h

_a

= 420

_/:

25 2 h

_a

=420 : 25

2 = 420 1 ∙ 2

25 = 840

25 =33,6

_cm

420= 1

2 ∙39 ∙ h

_b

420= 39

2 ∙ h

_b

39

2 ∙ h

_b

= 420

_/:

39 2 h

_b

=420 : 39

2 = 420 1 ∙ 2

39 = 840 39 = 280

13 =21 7

13

^cm

420= 1

2 ∙56 ∙ h

_c

420= 56

2 ∙ h

_b

56

2 ∙ h

_b

= 420

_/:

56 2

h_b=420 _:

56

2 = 420 1 ∙ 2

56 = 840

56 =15

cm Zad 7.42

a) W zadaniu nie pisze co to za trójkąt, nie jest on ani równoboczny, ani prostokątny, ani

równoramienny, więc korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki (tablice str 8 „wzory na pole trójkąta”). Korzystamy ze wzoru:

P

_{∆ ABC}

= √ p ( p−a )( p−b)( p−c)

, gdzie a, b, c – boki trójkąta, p- połowa obwodu trójkąta Obw= 21+17+10=48cm

p=24cm

P_{∆ ABC}=

√

²⁴

⁽

²⁴⁻²¹

^{) (}

²⁴⁻¹⁷

⁾

^(24−10)

P

_{∆ ABC}

= √ 24 ∙ 3 ∙7 ∙ 14 P

_{∆ ABC}

= √ ⁷⁰⁵⁶

P_{∆ ABC}=84 _cm²

b) Korzystamy ze wzoru z pomarańczowej ramki P_{∆ ABC}=r ∙ p

84=r∙24 24r=84 /:24 r=3,5 cm

c) Korzystamy ze wzoru z pomarańczowej ramki

P

_{∆ ABC}

= a bc

4 R 84= 21∙ 17 ∙10

4 R

84= 3570

4 R

^/∙4R 84∙4R=3570

336R=3570 /:336 R=10,625 cm

Zad.7.39 do domu