5. Asymptotyczna normalnośc i asymptotyczna efektywność estymatorów Zadanie 1. Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą prostą z rozkładu Cauchy’ego C(0, θ). Zbadaj asymptotyczną normalność estymatora
T (X1, . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
1(a,∞)(Xi)
funkcji g(θ) = Pθ(X1 > a), gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą.
Zadanie 2. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu P oiss(λ). Uzasadnij, że 2√
n(p ¯Xn−√
λ) ma w przybliżeniu rozkład standardowy normalny.
Zadanie 3. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego E(λ). Uza- sadnij, że estymator parametru e−λ postaci
T (X1, . . . , Xn) = exp
− 1 X¯n
jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.
Zadanie 4. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu N (0, θ). Uzasadnij asymp- totyczną normalność estymatora parametru θ postaci
T (X1 . . . , Xn) = 1 n
n
X
i=1
Xi2.
Czy jest on estymatorem asymptotycznie efektywnym?
Zadanie 5. Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą prostą z rozkładu 0-1 z parametrem p. Pokaż, że estymator
T (X1, . . . , Xn) =
n
P
i=1
Xi+ 3 n + 5
parametru p jest asymptotycznie normalny i wyznacz jego asymptotyczną wariancję.
1
