Uklady ortogonalne i ortonormalne, rzut ortogonalny.
1. Niech H bedzie przestrzeni a Hilberta i H = M ⊕ N, gdzie M⊥ = N i N⊥ = M. Niech PM : H → M, PN : H → N bed a odpowiednimi rzutami ortogonalnymi. Sprawdzi´ c, ˙ze ker PM = N i ker PN = M.
2. Niech X = c0, M =
(xk)∞k=1 ∈ c0; ∞
k=1 xk
2k = 0 .
(i) Sprawdzi´c, ˙ze M jest podprzestrzenia liniow a domkni et a przestrzeni X. (ii) Wykaza´c, ˙ze je´sli x∈ X \ M, to ||x − y|| > d(x, M) dla ka˙zdego y ∈ M.
(Wsk. Wykaza´c, ˙ze d(x, M ) =∞k=1xk
2k.)
3. Pokaza´c, ˙ze M jest podprzestrzenia liniow a domkni et a oraz znale´ z´c M⊥ i rozklad, je´sli:
(i) M =
x∈ L2R(0, 1) : 1
0 x(t) dt = 0
, (ii) M =
x∈ L2(−1, 1) : 1
−1x(t) dt = 0 =1
−1tx(t) dt
,
(iii) M ={x ∈ L2(−1, 1) : x(t) = x(−t) prawie wszedzie na ( −1, 1)} .
4. Wykaza´c, ˙ze wektory jednostkowe ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), i ∈ {1, . . . , n} tworza uklad ortonormalny w przestrzeni unitarnej l2n.
5. Wykaza´c, ˙ze wektory jednostkowe ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), i ∈ N tworza uklad ortonor- malny w przestrzeni unitarnej l2.
6. Wykaza´c, ˙ze w przestrzeni unitarnej L2(0, 2π) funkcje
1, cost, sint, cos2t, sin2t, . . . , cosnt, sinnt, . . . tworza uklad ortogonalny, a funkcje
√1
2π, cost
√π, sint
√π, . . . ,cosnt
√π , sinnt
√π , . . .
uklad ortonormalny.
7. Wykaza´c, ˙ze w zespolonej przestrzeni unitarnej L2(0, 2π) funkcje
eint, n = 0,±1, ±2, . . .
tworza uklad ortogonalny, a funkcje
√1
2πeint, n = 0,±1, ±2, . . . uklad ortonormalny.
Arkusz 17
8. W przestrzeni L2(−1, 1) zortogonalizowa´c i zortonormalizowa´c uklad funkcji 1, ex, e−x, . . . .
9. Udowodni´c, ˙ze wielomiany Legendre’a Pn(x) = 1
2nn! ·dn((x2 − 1)n)
dxn , n = 0, 1, 2, . . . tworza uklad ortogonalny w przestrzeni L 2(−1, 1) oraz, ˙ze
Pn2 = 2
2n + 1, n = 0, 1, 2, . . .
10. Wykaza´c, ˙ze wzory
Tn(x) =
x +√
x2− 1 n +
x−√
x2− 1 n
2n ,
Tn(x) = 21−ncos (n arccos x) okre´slaja te same ci agi wielomian´ ow stopnia n zmiennej x.
11. Sprawdzi´c, ˙ze 1
−1
Tm(x)Tn(x) 1
√1− x2dx = 0, n= m
oraz, ˙ze 1
−1
[Tn(x)]2 1
√1− x2 dx = π
22n−1, n = 0, 1, 2, . . . , gdzie Tm(x) jest okre´slone w zadaniu powy˙zej.
12. Wykaza´c, ˙ze uklad Rademachera (rn)∞n=0 jest ortonormalny w przestrzeni L2(0, 1).
13. Niech {xj} , j = 1, 2, . . . , n bedzie sko´ nczonym ciagiem liniowo niezale˙znych wektor´ ow w przestrzeni unitarnej X. Niech
yk+1 =
x1, x1 . . . x1, xk x1 . . . . . . . . . . . .
xk, x1 . . . xk, xk xk
xk+1, x1 . . . xk+1, xk xk+1
G(x1, x2, . . . , xk) ,
gdzie k = 1, 2, . . . , n− 1, a wyra˙zenie w liczniku nale˙zy traktowa´c jako wyznacznik rozlo˙zony wzgledem element´ ow ostatniej kolumny, otrzymujac kombinacj e liniow a wektor´ ow x1, . . . , xk+1,
Arkusz 18
i G(x1, . . . , xk) oznacza wyznacznik Gramma wektor´ow x1, . . . , xk. Wykaza´c, ˙ze
(i) G(y1, . . . , yk) = G(x1, . . . , xk) dla ka˙zdego k = 1, . . . , n, (ii) yk+1 =
G(x1,... ,xk,xk+1)
G(x1,... ,xk) = d (xk+1, Mk) dla ka˙zdego k = 1, . . . , n− 1, (iii) uklad{yk}nk=1 jest ortogonalny.
14. Wykaza´c, ˙ze uklad wielomian´ow Hermite’a Hn(t) = (−1)net2 dn
dtn
e−t2
, n = 1, 2, . . .
jest ortogonalny z waga p(t) = e −t2 w przedziale I = (−∞, ∞) w przestrzeni L2(I).
15. Poda´c przyklady baz ortogonalnych w przestrzeniach ln2, l2, L2(0, 2π), odpowiednio.
16. Pokaza´c, ˙ze uklad
e0(t) = 1
√π, en(t) =
2
πcosnt, n = 1, 2, . . . jest ortonormalny zupelny w przestrzeni L2(0, π).
17. Pokaza´c, ˙ze uklad
en(t) =
2
πsinnt, n = 1, 2, . . . jest ortonormalny zupelny w przestrzeni L2(0, π).
18. Wypisa´c nier´owno´s´c Bessela dla ukladu trygonometrycznego w przestrzeni L2(−π, π).
19. Zbada´c, kt´ore z podanych uklad´ow tworza baz e ortogonaln a w l 2, a kt´ore nie:
(i) (1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, . . . ), . . . ,
(ii) (1,−1, 0, 0, . . . ), (1, 1, 0, 0, . . . ), (0, 0, 1, −1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 1, 0, 0, . . .) . . . .
20. W przestrzeni L2(0, 2π) wyznaczy´c rzut ortogonalny funkcji f (t) = t2 na podprzestrze´n liniowa rozpi et a na funkcjach
1, cost, sint, cos2t, sin2t, . . . i obliczy´c norme tego rzutu.
21. W przestrzeni L2(−1, 1) wyznaczy´c rzut ortogonalny funkcji f(t) = e−t na podprzestrze´n liniowa rozpi et a na funkcjach
1, t, t2, . . . i obliczy´c norme tego rzutu.
Arkusz 19
22. W przestrzeni L2(0, 1) wyznaczy´c rzut ortogonalny funkcji f (t) = t na podprzestrze´n liniowa rozpi et a na funkcjach ukladu Rademachera i obliczy´ c norme tego rzutu.
23. Niech f ∈ L2(−π, π). Znale´z´c rzut ortogonalny f na podprzestrze´n M = lin {e−int, . . . , eint} , n∈N i znale´z´c odleglo´s´c f od M.
(Wsk. Wykaza´c, ˙ze wektory
eint 2π
n
k=−n sa ortonormalne.)
24. Zastosowa´c w przestrzeni L2([0, 2]) ortonormalizacje Grama-Schmidta do wektor´ ow f1(x) = x+ 1 oraz f2(x) = x−3 i znale´z´c wektor g z przestrzeni F rozpietej na wektorach f 1, f2 najbli˙zej polo˙zony wektora f (x) = x2.
Arkusz 20
