41, s. 181-186, Gliwice 2011
SYMULACJA NUMERYCZNA OPŁYWU MODELI BUDYNKÓW METODĄ DEKOMPOZYCJI POLA PRĘDKOŚCI
ZBIGNIEW KOSMA, PRZEMYSŁAW MOTYL
Instytut Mechaniki Stosowanej i Energetyki, Politechnika Radomska e-mail: zbigniew.kosma@pr.radom.pl, p.motyl@pr.radom.pl
Streszczenie. Do symulacji numerycznej płaskiego opływu modeli budynków wykorzystano metodę dekompozycji pola prędkości z zaimplementowanymi własnymi algorytmami obliczeniowymi. Najpierw wykonano obliczenia testowe ruchu cieczy lepkiej w kanale z uskokiem jednej ścianki, a następnie symulacje numeryczne opływów modeli: budynku odosobnionego i dwóch budynków usytuowanych blisko siebie. Otrzymane rozkłady składowych prędkości porównano z ich analogicznymi rozkładami obliczonymi za pomocą programu Fluent.
1. WSTĘP
Sposób zabudowy i konfiguracja otwartych przestrzeni może w różnym stopniu wpływać na komfort wiatrowy przechodniów. Jest to szczególnie istotne w obszarach o wysokiej zabudowie oraz dużym zagęszczeniu budynków, w których tworzą się lokalne warunki mikroklimatyczne spowodowane występowaniem strumieni powietrza o dużej intensywności.
Zwiększona prędkość wiatru w bliskim sąsiedztwie budynków jest niekorzystną cechą i musi być analizowana na etapie projektu zabudowy. W tym celu niezbędny jest zestaw danych aerodynamicznych określających obszary o zwiększonych prędkościach wiatru, który można uzyskać na drodze badań modelowych w tunelach aerodynamicznych oraz metodami CFD.
Podstawowymi wadami badań eksperymentalnych są ich wysoki koszt oraz czasochłonność.
Alternatywą są analizy numeryczne CFD umożliwiające wykonywanie wielokrotnych obliczeń dla różnorodnego zakresu danych wejściowych w całym badanym obszarze, a nie tylko w wybranych punktach pomiarowych.
W badaniach modelowych opływu budynków spełnienie kryterium równości liczby Reynoldsa ma znaczenie drugorzędne [1], gdyż w przypadku przekrojów z ostrymi krawędziami punkty oderwania strug powietrza ustalone są przez kształty ich przekrojów, a współczynniki aerodynamiczne w dużym zakresie Re nie zależą od ich wartości.
Ze względu na niezbyt duże prędkości wiatru powietrze traktowane jest jako płyn lepki i nieściśliwy (ciecz lepka). Jako równania wyjściowe opisujące opływ modeli budynków przyjęto więc układ równań składający się z równania ciągłości i równania Naviera-Stokesa, zapisany w zachowawczej postaci bezwymiarowej. Jedną z metod umożliwiających obliczanie opływów modeli budynków jest metoda dekompozycji pola prędkości, często wykorzystywana do symulacji numerycznej zagadnień dynamiki cieczy lepkiej w szerokim zakresie liczb Reynoldsa.
2. METODA DEKOMPOZYCJI POLA PRĘDKOŚCI
Ogólna idea algorytmu metody dekompozycji pola prędkości [2, 3] polega na wykonywaniu obliczeń na każdej, nowej warstwie czasowej w dwóch etapach. W pierwszym etapie obliczeń - w przedziale czasu od t do tn ~ - rozwiązywane jest zagadnienie początkowo-brzegowe dla pomocniczego pola prędkości ~,
V określonego uproszczonymi i
równaniami Naviera-Stokesa dla znanego gradientu ciśnienia obliczeniowego p~
i j j i
n j i j
i V
x x x
V p x V t
V ~
Re
~ 1
~
~ ~
∂∂
∂∂
∂ +
−∂
∂∂ =
∂ +
∂ (1)
- przy założeniu, że na granicach obszaru ∂Ω i w chwili czasowej t= pole prędkości tn pomocniczej jest identyczne z polem prędkości fizycznej:
.
n i n i i
i V V V
V = ∂ =
∂
, ~
~
Ω Ω (2) W drugim etapie obliczeń - dla każdego kroku czasowego Δt=tn+1−tn w przedziale czasu od t~do tn+1 - korygowane są wartości składowe prędkości pomocniczej z zależności
,
~
~ 2
~ 1
1 ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
∂
−∂
∂
− ∂
= +
+
i n
i n i
n
i x
p x p V t
V Δ
otrzymanych po scałkowaniu równań sprzęgających pola prędkości fizycznej i pomocniczej z gradientem ciśnienia obliczeniowego - po uprzednim rozwiązaniu zagadnienia Neumanna dla ciśnienia obliczeniowego p~ na warstwie czasowej tn+1
j n j
j j n j
j x
V p t
x p x
x
x ∂
+ ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂ +
2 ~
~
~ 1
Δ (3)
z jednorodnymi warunkami brzegowymi.
3. WYNIKI SYMULACJI NUMERYCZNYCH
Do rozwiązywania zagadnienia (1) w pierwszym etapie obliczeń zastosowano metodę prostych, polegającą na jego sprowadzeniu do układu równań różniczkowych zwyczajnych, przy zachowaniu czasu jako zmiennej niezależnej ciągłej. Pochodne względem zmiennych przestrzennych aproksymowano klasycznymi, trzypunktowymi ilorazami różnicowymi drugiego rzędu dokładności. Zagadnienia początkowe całkowano metodą Heuna drugiego rzędu. Do rozwiązania zagadnienia Neumanna dla równania Poissona (3) zastosowano metodę różnic skończonych z aproksymacją pochodnych względem zmiennych przestrzennych klasycznymi ilorazami różnicowymi drugiego rzędu dokładności. Otrzymane układy algebraicznych równań liniowych rozwiązywano metodą Gaussa-Seidela. Opisane algorytmy numeryczne szczegółowo analizowano w pracach [4, 5].
Metodą dekompozycji pola prędkości z wykorzystaniem proponowanych algorytmów numerycznych wykonano najpierw obliczenia ruchu cieczy lepkiej w kanale z uskokiem jednej ścianki (rys. 1a), które są często wykonywane w celu weryfikacji algorytmów obliczeniowych [6 ÷ 8]. Otrzymane wyniki symulacji numerycznych dla Re = 800 (rys. 2) porównano z rezultatami obliczeń prezentowanymi w pracy [7]. Uzyskano bardzo dobrą zgodność rozkładów składowej prędkości u w wybranych przekrojach (rys. 3).
Po weryfikacji kodu obliczeniowego wyznaczono opływ modelu pojedynczego budynku (rys. 1b). Uzyskano rozwiązania stacjonarne w zakresie Re ≤ 2000 na siatce równomiernej o kroku h==1/100 (rys. 4 ÷ 6). Obliczenia powtórzono dla zagadnienia opływu modeli dwóch budynków usytuowanych blisko siebie (rys. 1c) - przyjmując, że model drugiego budynku jest dwukrotnie wyższy od modelu budynku pierwszego. W tym przypadku uzyskanie rozwiązań stacjonarnych okazało się możliwe w mniejszym zakresie Re ≤ 1400 (rys. 8 ÷ 10). Na rysunkach 7 i 11 dokonano porównań rozkładów składowej prędkości u w trzech wybranych przekrojach z rozwiązaniami uzyskanymi za pomocą pakietu Fluent - rozkłady te są identyczne.
a) b) c)
Rys. 1. Zagadnienia obliczeniowe: a) kanał z uskokiem jednej ścianki, b) kanał z modelem jednego budynku, c) kanał z modelami dwóch budynków
Rys. 2. Linie prądu w kanale z uskokiem jednej ścianki: Re = 800, siatka 1000 × 50
Rys. 3. Rozkłady składowej prędkości u na liniach x = 7 i x = 15 w kanale z uskokiem jednej ścianki: Re = 800, siatka 1000 × 50
Rys. 4. Linie prądu w kanale z modelem jednego budynku: Re = 2000, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, W = 0.1, H = 0.1
Rys. 5. Linie prądu w kanale z modelem jednego budynku: Re = 2000, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, W = 0.1, H = 0.1
Rys. 6. Rozkład ciśnienia w kanale z modelem jednego budynku: Re = 2000, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, W = 0.1, H = 0.1
Rys. 7. Porównanie rozkładów prędkości w kanale z modelem jednego budynku w przekrojach x = 1, 5, 10: Re = 2000, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, W = 0.1, H = 0.1
Rys. 8. Linie prądu w kanale z modelami dwóch budynków: Re = 1400, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, L2 = 2, W1 = 0.1, W2 = 0.1, H1 = 0.1, H2 = 0.2
Rys. 9. Linie prądu w kanale z modelami dwóch budynków: Re = 1400, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, L2 = 2, W1 = 0.1, W2 = 0.1, H1 = 0.1, H2 = 0.2
Rys. 10. Rozkład ciśnienia w kanale z modelami dwóch budynków: Re = 1400, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, L2 = 2, W1 = 0.1, W2 = 0.1, H1 = 0.1, H2 = 0.2
Rys. 11. Porównanie rozkładów prędkości w kanale z modelami dwóch budynków w przekrojach x = 1, 2, 10: Re = 2000, h = 1/100, L = 10, L1 = 1, L2 = 2,
W1 = 0.1, W2 = 0.1, H1 = 0.1, H2 = 0.2
4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
Stwierdzono bardzo dobrą zgodność obrazów linii prądu z wynikami analogicznych obliczeń prezentowanymi w publikacjach [9, 10]. Główną zaletą opracowanych algorytmów jest ich prostota i łatwość implementacji komputerowej, połączona z możliwością osiągnięcia wysokiej dokładności rozwiązań. Przetestowane algorytmy obliczeniowe mogą być wykorzystane do wyznaczania opływów innych konfiguracji modeli budynków - zarówno płaskich, jak i przestrzennych.
LITERATURA
1. Flaga A.: Inżynieria wiatrowa - podstawy i zastosowania. Warszawa : Wyd. „Arkady”, 2008.
2. Chorin A.J.: Numerical solution of the Navier-Stokes equations. “Math. Comput.” 1968, Vol. 22, 104, p. 745-762.
3. Huser A.D., Biringen S.: Calculation of two-dimensional shear-driven cavity flows at high Reynolds numbers. “Int. J. Numer. Meth. Fluids” 1992, Vol. 14, p. 1087-1109.
4. Kosma Z., Motyl P.: Optymalizacja algorytmów wyznaczania ruchu cieczy lepkiej metodą dekompozycji pola prędkości. „Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, t. 5, s.
181-186.
5. Kosma Z., Motyl P.: Szybkie algorytmy wyznaczania ruchu cieczy lepkiej. Monografie.
WPR, Radom, 130/2009.
6. Armaly B.F., Durst F., Pereira J.C.F., Schönung B.: Experimental and theoretical investigation of backward-facing step. “J. Fluid Mech.” 1983, 127, , p. 476-496.
7. Gartling D.K.: A test problem for outflow boundary conditions-flow over a backward- facing step. “Int. J. Numer. Meth. Fluids” 1990, Vol. 11, p. 953-967.
8. Keskar J. , Lyn D.A.: Computations of laminar backward-facing step flow at Re = 800 with a spectral domain decomposition method. “Int. J. Numer. Meth. Fluids” 1999, 21, p. 411- 427.
9. Fragos V.P., Psychoudaki S.P., Malamataris N.A.: Computer-aided analysis of flow past a surface-mounted obstacle. “Int. J. Numer. Meth. Fluids” 1997, 25, p. 495-512.
10. So E.S.P., Chan A.T.Y., Wong A.Y.T.: Large-eddy simulations of wind flow and pol- lutant dispersion in a street canyon. “Atmospheric Environment” 2005, Vol. 39, p. 3573- 3582.
NUMERICAL SIMULATION OF FLOWS OVER MODELS OF BUILDINGS USING A VELOCITY CORRECTION METHOD
Summary. In this work, simulations of flows over models of buildings are based on the numerical solution of the governing fluid flow equations by means of a velocity correction method in which novel improved algorithms have been adopted. Test calculations were firstly carried out for viscous liquid plane flow over the backward-facing geometry. Then, numerical simulations of flow over one isolated model of building and models of two buildings located close to each other were performed.
