Fizyka 1

Fizyka 1

Wykład 11.

Zadanie

Rodzina wybrała się na lodowisko. Tata (o masie 75kg) jedzie z prędkością 8,2 m/s, dogania i chwyta mamę o masie 50 kg, jadącą początkowo z prędkością 3,3 m/s pod kątem 45 względem prędkości taty. Następnie ∘ oboje chwytają stojącą spokojnie córkę o masie 30 kg i poruszają się razem. Jaka jest ich wspólna prędkość?

przed m_t, v_t

m_m, v_m

m_c

45^o

po

m_t+m_m+m_c, u

v_m v_m,x v_m,y

45^o

Zadanie

Rodzina wybrała się na lodowisko. Tata (o masie 75kg) jedzie z prędkością 8,2 m/s, dogania i chwyta mamę o masie 50 kg, jadącą początkowo z prędkością 3,3 m/s pod kątem 45 względem prędkości taty. Następnie ∘ oboje chwytają stojącą spokojnie córkę o masie 30 kg i poruszają się razem. Jaka jest ich wspólna prędkość?

przed m_t, v_t

m_m, v_m

m_c

45^o

po

m_t+m_m+m_c, u

v_m v_m,x v_m,y

45^o

m_tv_t+m_mv_mx=(m_t+m_m+m_c)u v_mx=v_mcos(45 ) u=m_t v_t+m_mv_mcos(45 )

m +m +m =4,72 m s

Ruch obrotowy

Punkt materialny nie ma kształtu, więc może wykonywać jedynie ruch postępowy.

Ciało sztywne – obiekt, który nie ulega deformacji w czasie poruszania się.

Jednostajny ruch po okręgu jest ruchem po okręgu ze stałą wartością prędkości (szybkością). Jest to najprostszy

przypadek ruchu obrotowego.

Ruch obrotowy

θ – położenie kątowe

Cząstka porusza się po okręgu w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek

zegara, zakreślając łuk o

długości s. Jej wektor położenia tworzy dodatni kąt θ z osią x.

Kąt θ nazywamy położeniem kątowym cząstki.

Kąt θ, kątowe położenie cząstki, mierzony jest w radianach (rad).

Kąt 2π radianów odpowiada w mierze łukowej kątowi 360^o.

Ruch obrotowy

ω – prędkość kątowa

Wartość wektora prędkości kątowej, oznaczona jako ω, jest szybkością zmian

kąta θ, gdy cząstka porusza się po łuku.

Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s). Prędkość

kątowa może być również określana jako szybkość obrotów w radianach na sekundę. Aby wyznaczyć prędkość kątową, musimy pomnożyć liczbę obrotów

na sekundę przez 2π, ponieważ jeden pełny obrót oznacza przemieszczenie kątowe równe 2π radianów. Obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara będziemy uważali za dodatnie, a obroty w kierunku

zgodnym z ruchem wskazówek zegara za ujemne.

Ruch obrotowy

ω – prędkość kątowa

Związek prędkości kątowej z prędkością liniową

Różniczkujemy po czasie równanie na przesunięcie kątowe w postaci s=rq

promień okręgu jest wielkością stałą, stąd θ (dr/dt) = 0, otrzymujemy

Prędkość styczna cząstki w ruchu po okręgu jest iloczynem prędkości kątowej i promienia okręgu.

Z równania tego wynika, że przy stałej prędkości kątowej, prędkość styczna cząstki wzrasta wraz z

odległością od osi obrotu.

Ruch obrotowy

ω – prędkość kątowa

Wartość prędkości kątowej ω = dθ/dt jest wielkością skalarną. Wektor ω jest wektorem związanym z prędkością kątową i jest skierowany wzdłuż

osi obrotu. Kierunek wektora prędkości kątowej ω jest określany przez tak zwaną regułę prawej dłoni.

Jeżeli palce prawej dłoni zgięte są w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od osi X do osi Y (w kierunku, w którym wzrasta θ), to odgięty kciuk wskazuje kierunek dodatniej części osi Z. Wektor prędkości kątowej ω skierowany zgodnie z kierunkiem osi Z wskazuje na obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, podczas gdy wektor prędkości kątowej ω skierowany przeciwnie do kierunku osi Z wskazuje na obroty zgodne z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Ruch obrotowy

Wektor długości łuku jest

iloczynem wektorowym wektora kąta i wektora położenia.

Prędkość styczna jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i

wektora położenia.

obrót w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wskazówek zegara

obrót w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu wskazówek zegara

Ruch obrotowy

e – przyspieszenie kątowe

Chwilowe przyspieszenie kątowe jest pochodną prędkości kątowej po czasie:

Jednostką przyspieszenia kątowego jest (rad/s)/s czyli rad/s² . Związek przyspieszenia kątowego z przyspieszeniem liniowym

Różniczkujemy po czasie równanie na prędkość liniową w postaci v = rw (promień okręgu jest wielkością stałą)

Wartość przyspieszenia stycznego a_t jest równa iloczynowi promienia i przyspieszenia kątowego.

Ruch obrotowy

e – przyspieszenie kątowe

Wektor przyspieszenia stycznego możemy wyrazić jako iloczyn wektorowy wektora przyspieszenia kątowego i wektora położenia.

Przyspieszenie kątowe skierowane jest w kierunku dodatnim osi z dając przyspieszenie

styczne w kierunku przeciwnym do ruchu

Przyspieszenie kątowe jest skierowane w kierunku ujemnym osi z dając przyspieszenie

styczne w kierunku zgodnym z ruchem

Ruch obrotowy

Równania kinematyczne ruchu obrotowego

Możemy podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem kątowym e poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

Ruch obrotowy

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Prędkość kątowa ma taką samą wartość dla każdego punktu obracającego się ciała.

Energia ruchu obrotowego jest sumą energii kinetycznych ruchu obrotowego poszczególnych cząstek ciała.

Dzielimy obracające się ciało sztywne na dużą liczbę małych fragmentów, każdy o masie m_j i odległości r_j od osi obrotu. Każdy z fragmentów będzie miał prędkość v_j. Energię kinetyczną obracającego się ciała można wyrazić

jako sumę energii kinetycznych wszystkich jej fragmentów:

Ruch obrotowy

Moment bezwładności

Wielkość ∑_j m_jr_j² jest odpowiednikiem masy w równaniu na energię kinetyczną ruchu postępowego. Nazywamy ją momentem bezwładności.

Wyrażenie to definiuje moment bezwładności układu punktów materialnych poruszających się po okręgu wokół stałej osi. Zauważmy, że moment

bezwładności pojedynczej cząstki, liczony względem osi obrotu, wyraża się wielkością mr², gdzie r jest odległością cząstki od osi obrotu.

Moment bezwładności jest ilościową miarą bezwładności obrotowej.

Ruch obrotowy

Energia kinetyczna

Wstawiając równanie na moment bezwładności

do równania na energię kinetyczną

otrzymujemy wyrażenie na energię kinetyczną obracającego się ciała sztywnego w postaci:

Ruch obrotowy

Energia kinetyczna

Energia kinetyczna obracającego się ciała sztywnego jest wprost proporcjonalna do

momentu bezwładności ciała i kwadratu prędkości kątowej. Jest to

wykorzystywane w urządzeniach z kołami zamachowymi, które służą do magazynowania dużych ilości energii w

ruchu obrotowym. Wielu producentów samochodów testuje w swoich

samochodach urządzenia do

magazynowania energii wykorzystujące koła zamachowe.

Ruch obrotowy

Jak policzyć moment bezwładności?

gdzie r_j jest odległością j-tego punktu od osi obrotu, a m_j oznacza masę j-tego punktu.

Przykład

Dwie masy na końcu bezmasowej (o nieistotnie małej masie) sztangi.

Ruch obrotowy

Jak policzyć moment bezwładności?

Obliczamy moment bezwładności względem dwóch różnych osi:

1. oś przechodzi przez środek sztangi, każda z dwóch mas m jest w takiej samej odległości R od osi, dając moment bezwładności:

2. oś na jednym z końców sztangi

Wniosek:

Znacznie trudniej obrócić sztangę wokół osi przechodzącej przez jej koniec niż wokół osi w połowie jej długości, bo im większa wartość momentu

bezwładności bryły sztywnej lub układu cząstek, tym bardziej ciało to przeciwstawia się zmianie prędkości kątowej w jego obrocie wokół stałej osi.

m

Ruch obrotowy

Jak policzyć moment bezwładności?

W przykładzie mieliśmy dwie masy punktowe, więc suma była łatwa do obliczenia. Aby poradzić sobie z obiektami, które nie są punktowe, musimy zsumować wkłady pochodzące od każdego „kawałka masy” znajdującego się w

określonej odległości od osi obrotu. Zastąpimy „kawałek masy” nieskończenie małym fragmentem dm. Możemy napisać równanie na moment bezwładności

całkując wkłady pochodzące od nieskończenie małych mas

Jest to ogólna postać równania, pozwalająca na obliczenie momentów bezwładności ciał o złożonych kształtach.

Ruch obrotowy

Jak policzyć moment bezwładności?

Ruch obrotowy

Jak policzyć moment bezwładności?

Twierdzenie Steinera

pozwala wyznaczyć moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, jeżeli znamy moment bezwładności

względem osi przechodzącej przez środek masy.

Ruch obrotowy

Moment siły

Wielkość r nazywamy ramieniem siły tj. odległością osi obrotu od prostej, na której leży siła.

Tylko składowa siły prostopadła do ramienia F_⊥= F sinθ wpływa na moment siły.

Jeżeli na ciało sztywne obracające się wokół danej osi działają różne siły i związane z nimi momenty sił, to wypadkowy moment sił będzie sumą

wektorową poszczególnych momentów siły.

Ruch obrotowy

Druga zasada dynamiki

∑F = ma a = rε F = mrε

Mnożąc obie strony przez r otrzymujemy: rF = mr² ε I = mr²

M = Iε

Moment siły działającej na cząstkę jest równy momentowi bezwładności liczonemu względem osi obrotu pomnożonemu przez przyspieszenie

kątowe.