Lista 13. Krzywe stopnia 2
Definicja 0.1 Krzywą stopnia 2 nazywamy zbiór punktów będących rozwiąza- niem równania F (x, y) = 0, gdzie (x, y) ∈ R2, a F jest wielomianem st. 2 dwóch zmiennych, tzn.
F (x, y) = ax2+ by2+ cxy + dx + ey + f = 0.
1. Podaj przykłady równań krzywych stopnia 2, które są: zbiorem pustym, punktem, prostą, dwiema prostymi, parabolą, okręgiem, elispą, hiperbolą.
Co jeszcze może powstać?
2. Podaj środek i promień podanych okręgów:
(a) x2+ (y − π)2=√ 3, (b) x2+ y2− 10x + 4y = 0, (c) 2x2+ 2y2+ 2x − 2y − 3 = 0.
3. Dane są okręgi O1= O((0, 0), 2), O2= O((4, 2), 3), prosta l1: y −x+2√ 2 i parabola √ : y = x2− 2x. Ile punktów przecięcia mają każde dwie z tych czterech figur?
4. Prosta o równaniu 3x−4y−5 = 0 jest styczna do okręgu, którego środkiem jest punkt o = (−3, −1). Oblicz promień okręgu.
5. Napisz równanie okręgu, którego środek znajduje się na prostej k : y =
−2x − 2, przechodzącego przez punkty a = (5, 10) i B = (3, 12).
6. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek prostej x − 2y − 6 = 0wycięty przez hiperbolę xy = 8.
7. Znajdź równanie okręgu przechodzącego przez punkty: A = (−3, 1), B = (6, −2), C = (5, 5).
8. Znaleźć kąt pod którym widać okrąg O : x2+ y2= 26 z punktu A = (4, 6).
9. Znaleźć punkt na paraboli P : y2= 64x, w którym styczna jest prostopa- dła do wektora v = [4, 3].
10. Narysuj dane parabole P1: x2− 6x − y + 5 = 0, P2: y2− 6y − x + 5 = 0.
11. Narysuj elipsy: E1: x2+3y2= 1, E2: x2+3y2= 6, E3: x2+4y2−4x−40y =
−103.
12. Znajdź w R2 styczną do elipsy E : 2x2+ y2 = 6 prostopadłą do prostej x − y = 0.
13. Narysuj krzywe K1: xy = 3x − 2y + 6, K2: xy = −3x + 5y + 17.
14. Jakim zbiorem jest Kc: 2x2+ 3y3− 4x + 18y + c = 0 dla c = 28, 29, 30.
Powstaje naturalne pytanie co z innymi równaniami (np. x2− 2xy + 5y2− 1 = 0), których nie potrafimy łatwo sprowadzić do jednej ze znanych nam figur. okazuje się, że wyjdą również figury wyliczone w zadaniu 1, ale w pewnym zmodyfikowanym układzie współrzędnych. (o tym za tydzień)
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
1
