Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj, a rozk lady z g, esto´sciami g, X(x

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 5 lutego 2018r., grupa A

Z poni˙zszych sze´sciu zada´n nale˙zy wybra´c pie´_,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce.

Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz_, e czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem_, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

1. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lady z g_, esto´sciami g_{, X}(x) = 2x1[0,1](x) oraz g_Y(y) = ³₈y²1[0,2](y), odpowiednio. Obliczy´c Cov(X, XY + 4), P(X + Y ≤ 1) oraz E(Y X²+ sin Y | Y ).

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny o ´sredniej (2, −1) oraz macierzy kowariancji  3 1

1 2

 .

a) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne X − Y + 3, 3X + 6Y − 12 sa niezale˙zne._,

b) Czy istnieje liczba rzeczywista a taka, ˙ze zmienne aX + Y oraz X + 2aY maja ten sam rozk lad?_, 3. Rzucamy para prawid lowych kostek, a nast_, epnie zapisujemy maksimum z uzyskanych liczb na_, kartce. Czynno´s´c powtarzamy niesko´nczenie wiele razy.

a) Korzystajac z nier´_, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze liczba sz´ostek w´sr´od pierwszych 324 zapisanych liczb jest niemniejsza ni˙z 109 lub niewieksza ni˙z 89._,

b) Niech X_n oznacza n-ta liczb_, e zapisan_, a na kartce. Czy ci_, ag ((X_{, 1} + X₂ + . . . + X_2n)/n)³, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny p.n.? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, wyznaczy´c jego granice._,

4. W magazynie znaleziono pewne urzadzenie pomiarowe. Ze wzgl_, edu na brak dokumentacji_, i informacji o zu˙zyciu urzadzenia, wiadomo jedynie, i˙z jego (nieznana) dok ladno´s´_, c X jest zmienna_, losowa o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 5. B l_, ad Y zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia, przy_, za lo˙zeniu i˙z X = x, jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, e_, ^−5x).

a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze b lad zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia b_, edzie wi_, ekszy ni˙z 1/2._, b) Obliczy´c E(X|Y ).

5. D lug publiczny pewnego pa´nstwa, liczony w milionach koron, ka˙zdego dnia przyrasta o pewna_, niezale˙zna kwot_, e, kt´_, orej wysoko´s´c jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, 1]._, Ka˙zdego dnia rzad mo˙ze interweniowa´_, c z prawdopodobie´nstwem 1/9, w wyniku czego d lug tego dnia nie ulegnie zmianie; decyzja o interwencji jest podejmowana na podstawie zewnetrznych czynnik´_, ow niezale˙znych od zachowania d lugu i wcze´sniejszych dzia la´n.

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 162 dni rz_, ad zainterwe-_, niuje co najmniej 20 razy.

b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 288 dni d lug wzro´snie o_, mniej ni˙z 124 miliony koron.

Wskaz´owka do b): przyrost d lugu danego dnia mo˙zna zapisa´c jako X ·Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi_, zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ma rozk lad jednostajny na [0, 1] oraz P(Y = 1) = ⁸₉, P(Y = 0) = ¹₉. 6. Towarzystwo ubezpieczeniowe oferujace kr´_, otkoterminowe, miesieczne ubezpieczenia zdrowotne,_, wprowadzi lo nastepuj_, acy system zni˙zek. Ka˙zdemu klientowi przys luguje zni˙zka 0%, 10%, 20% lub_, 30%. W razie bezszkodowego miesiaca, zni˙zka w kolejnym miesi_, acu wzrasta o 10 punkt´_, ow procento- wych (a˙z do osiagni_, ecia maksymalnego pu lapu 30%); w przypadku wyst_, apienia szkody, zni˙zka w kolej-_, nym miesiacu maleje o 10 punkt´_, ow procentowych (a˙z do osiagni_, ecia minimalnego poziomu 0%). Pan_, Kowalski postanawia wykupywa´c powy˙zsze kr´otkoterminowe polisy, na wstepie przys luguje mu zni˙zka_, 10% (dziedziczona od poprzedniego ubezpieczyciela). Wiadomo, i˙z w trakcie ustalonego miesiaca_, prawdopodobie´nstwo, ˙ze Pan Kowalski bedzie musia l korzysta´_, c z us lug medycznych, wynosi ¹₃.

a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze po trzech miesiacach zni˙zka pana Kowalskiego b_, edzie_, wynosi la 0%?

b) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby miesi_, ecy, po kt´_, orych zni˙zka pana Kowalskiego po raz pierw- szy siegnie maksymalnej warto´sci 30%._,

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w miesiacu o numerze 100 zni˙zka pana Ko-_, walskiego bedzie wynosi´_, c 20% lub 30%.

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 5 lutego 2018r., grupa B

Z poni˙zszych sze´sciu zada´n nale˙zy wybra´c pie´_,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce.

Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz_, e czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem_, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

1. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lady z g_, esto´sciami g_{, X}(x) = 3x²1[0,1](x) oraz g_Y(y) = ¹₂y1[0,2](y), odpowiednio. Obliczy´c Cov(XY − 3, X), P(X + Y ≤ 1) oraz E(Y X²− cos Y | Y ).

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny o ´sredniej (−2, 1) oraz macierzy kowariancji

 3 −1

−1 2

 .

a) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne X + Y + 5, 2X − 4Y + 1 sa niezale˙zne._,

b) Czy istnieje liczba rzeczywista a taka, ˙ze zmienne X + aY oraz 3aX + Y maja ten sam rozk lad?_, 3. Rzucamy para prawid lowych kostek, a nast_, epnie zapisujemy maksimum z uzyskanych liczb na_, kartce. Czynno´s´c powtarzamy niesko´nczenie wiele razy.

a) Korzystajac z nier´_, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze liczba piatek w´sr´_, od pierwszych 300 zapisanych liczb jest niemniejsza ni˙z 85 lub niewieksza ni˙z 65._,

b) Niech X_n oznacza n-ta liczb_, e zapisan_, a na kartce. Czy ci_, ag ((X_{, 1} + X₂ + . . . + X_3n)/n)⁵, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny p.n.? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, wyznaczy´c jego granice._,

4. W magazynie znaleziono pewne urzadzenie pomiarowe. Ze wzgl_, edu na brak dokumentacji_, i informacji o zu˙zyciu urzadzenia, wiadomo jedynie, i˙z jego (nieznana) dok ladno´s´_, c X jest zmienna_, losowa o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 2. B l_, ad Y zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia, przy_, za lo˙zeniu i˙z X = x, jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, e_, ^−2x).

a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze b lad zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia b_, edzie wi_, ekszy ni˙z 1/3._, b) Obliczy´c E(X|Y ).

5. D lug publiczny pewnego pa´nstwa, liczony w milionach koron, ka˙zdego dnia przyrasta o pewna_, niezale˙zna kwot_, e, kt´_, orej wysoko´s´c jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, 4]._, Ka˙zdego dnia rzad mo˙ze interweniowa´_, c z prawdopodobie´nstwem 1/8, w wyniku czego d lug tego dnia nie ulegnie zmianie; decyzja o interwencji jest podejmowana na podstawie zewnetrznych czynnik´_, ow niezale˙znych od zachowania d lugu i wcze´sniejszych dzia la´n.

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 112 dni rz_, ad zainterwe-_, niuje co najmniej 21 razy.

b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 231 dni d lug wzro´snie o_, mniej ni˙z 400 milion´ow koron.

Wskaz´owka do b): przyrost d lugu danego dnia mo˙zna zapisa´c jako X ·Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi_, zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ma rozk lad jednostajny na [0, 3] oraz P(Y = 1) = ⁷₈, P(Y = 0) = ¹₈. 6. Towarzystwo ubezpieczeniowe oferujace kr´_, otkoterminowe, miesieczne ubezpieczenia zdrowotne,_, wprowadzi lo nastepuj_, acy system zni˙zek. Ka˙zdemu klientowi przys luguje zni˙zka 0%, 10%, 20% lub_, 30%. W razie bezszkodowego miesiaca, zni˙zka w kolejnym miesi_, acu wzrasta o 10 punkt´_, ow procento- wych (a˙z do osiagni_, ecia maksymalnego pu lapu 30%); w przypadku wyst_, apienia szkody, zni˙zka w kolej-_, nym miesiacu maleje o 10 punkt´_, ow procentowych (a˙z do osiagni_, ecia minimalnego poziomu 0%). Pan_, Kowalski postanawia wykupywa´c powy˙zsze kr´otkoterminowe polisy, na wstepie przys luguje mu zni˙zka_, 10% (dziedziczona od poprzedniego ubezpieczyciela). Wiadomo, i˙z w trakcie ustalonego miesiaca_, prawdopodobie´nstwo, ˙ze Pan Kowalski bedzie musia l korzysta´_, c z us lug medycznych, wynosi ²₃.

a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze po trzech miesiacach zni˙zka pana Kowalskiego b_, edzie_, wynosi la 20%?

b) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby miesi_, ecy, po kt´_, orych zni˙zka pana Kowalskiego po raz pierw- szy siegnie minimalnej warto´sci 0%._,

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w miesiacu o numerze 100 zni˙zka pana Ko-_, walskiego bedzie wynosi´_, c 10% lub 20%.

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 5 lutego 2018r., grupa C

Z poni˙zszych sze´sciu zada´n nale˙zy wybra´c pie´_,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce.

Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz_, e czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem_, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

1. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lady z g_, esto´sciami g_{, X}(x) = ³₈x²1[0,2](x) oraz g_Y(y) = ¹₂y1[0,2](y), odpowiednio. Obliczy´c Cov(XY, Y − 3), P(X + Y ≤ 1) oraz E(XY²− sin X | X).

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny o ´sredniej (1, −2) oraz macierzy kowariancji

 2 −1

−1 3

 .

a) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne X + Y + 1, 6X − 3Y + 11 sa niezale˙zne._,

b) Czy istnieje liczba rzeczywista a taka, ˙ze zmienne aX + Y oraz X − 2aY maja ten sam rozk lad?_, 3. Rzucamy para prawid lowych kostek, a nast_, epnie zapisujemy minimum z uzyskanych liczb na_, kartce. Czynno´s´c powtarzamy niesko´nczenie wiele razy.

a) Korzystajac z nier´_, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze liczba jedynek w´sr´od pierwszych 144 zapisanych liczb jest niemniejsza ni˙z 54 lub niewieksza ni˙z 34._,

b) Niech X_n oznacza n-ta liczb_, e zapisan_, a na kartce. Czy ci_, ag ((X_{, 1} + X₂ + . . . + X_2n)/n)⁴, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny p.n.? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, wyznaczy´c jego granice._,

4. W magazynie znaleziono pewne urzadzenie pomiarowe. Ze wzgl_, edu na brak dokumentacji_, i informacji o zu˙zyciu urzadzenia, wiadomo jedynie, i˙z jego (nieznana) dok ladno´s´_, c X jest zmienna_, losowa o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 3. B l_, ad Y zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia, przy_, za lo˙zeniu i˙z X = x, jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, e_, ^−3x).

a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze b lad zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia b_, edzie wi_, ekszy ni˙z 1/4._, b) Obliczy´c E(X|Y ).

5. D lug publiczny pewnego pa´nstwa, liczony w milionach koron, ka˙zdego dnia przyrasta o pewna_, niezale˙zna kwot_, e, kt´_, orej wysoko´s´c jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, 1]._, Ka˙zdego dnia rzad mo˙ze interweniowa´_, c z prawdopodobie´nstwem 1/7, w wyniku czego d lug tego dnia nie ulegnie zmianie; decyzja o interwencji jest podejmowana na podstawie zewnetrznych czynnik´_, ow niezale˙znych od zachowania d lugu i wcze´sniejszych dzia la´n.

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 294 dni rz_, ad zainterwe-_, niuje co najmniej 40 razy.

b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 245 dni d lug wzro´snie o_, mniej ni˙z 100 milion´ow koron.

Wskaz´owka do b): przyrost d lugu danego dnia mo˙zna zapisa´c jako X ·Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi_, zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ma rozk lad jednostajny na [0, 1] oraz P(Y = 1) = ⁶₇, P(Y = 0) = ¹₇. 6. Towarzystwo ubezpieczeniowe oferujace kr´_, otkoterminowe, miesieczne ubezpieczenia zdrowotne,_, wprowadzi lo nastepuj_, acy system zni˙zek. Ka˙zdemu klientowi przys luguje zni˙zka 0%, 10%, 20% lub_, 30%. W razie bezszkodowego miesiaca, zni˙zka w kolejnym miesi_, acu wzrasta o 10 punkt´_, ow procento- wych (a˙z do osiagni_, ecia maksymalnego pu lapu 30%); w przypadku wyst_, apienia szkody, zni˙zka w kolej-_, nym miesiacu maleje o 10 punkt´_, ow procentowych (a˙z do osiagni_, ecia minimalnego poziomu 0%). Pan_, Kowalski postanawia wykupywa´c powy˙zsze kr´otkoterminowe polisy, na wstepie przys luguje mu zni˙zka_, 10% (dziedziczona od poprzedniego ubezpieczyciela). Wiadomo, i˙z w trakcie ustalonego miesiaca_, prawdopodobie´nstwo, ˙ze Pan Kowalski bedzie musia l korzysta´_, c z us lug medycznych, wynosi ¹₃.

a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze po trzech miesiacach zni˙zka pana Kowalskiego b_, edzie_, wynosi la 30%?

b) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby miesi_, ecy, po kt´_, orych zni˙zka pana Kowalskiego po raz pierw- szy siegnie maksymalnej warto´sci 30%._,

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w miesiacu o numerze 100 zni˙zka pana Ko-_, walskiego bedzie wynosi´_, c 0% lub 10%.

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 5 lutego 2018r., grupa D

Z poni˙zszych sze´sciu zada´n nale˙zy wybra´c pie´_,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce.

Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt. Prosz_, e czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem_, i nazwiskiem oraz numerem indeksu. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

1. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lady z g_, esto´sciami g_{, X}(x) = 2x1[0,1](x) oraz g_Y(y) = 3y²1[0,1](y), odpowiednio. Obliczy´c Cov(Y, XY + 2), P(X + Y ≤ 1) oraz E(XY²− cos X | X).

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny o ´sredniej (−1, 2) oraz macierzy kowariancji  2 1

1 3

 .

a) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne X + Y + 3, 4X − 3Y + 13 sa niezale˙zne._,

b) Czy istnieje liczba rzeczywista a taka, ˙ze zmienne X + aY oraz 2aX + Y maja ten sam rozk lad?_, 3. Rzucamy para prawid lowych kostek, a nast_, epnie zapisujemy minimum z uzyskanych liczb na_, kartce. Czynno´s´c powtarzamy niesko´nczenie wiele razy.

a) Korzystajac z nier´_, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze liczba dw´ojek w´sr´od pierwszych 200 zapisanych liczb jest niemniejsza ni˙z 60 lub niewieksza ni˙z 40._,

b) Niech X_n oznacza n-ta liczb_, e zapisan_, a na kartce. Czy ci_, ag ((X_{, 1} + X₂ + . . . + X_3n)/n)², n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny p.n.? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, wyznaczy´c jego granice._,

4. W magazynie znaleziono pewne urzadzenie pomiarowe. Ze wzgl_, edu na brak dokumentacji_, i informacji o zu˙zyciu urzadzenia, wiadomo jedynie, i˙z jego (nieznana) dok ladno´s´_, c X jest zmienna_, losowa o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 4. B l_, ad Y zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia, przy_, za lo˙zeniu i˙z X = x, jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, e_, ^−4x).

a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze b lad zwi_, azany z u˙zyciem urz_, adzenia b_, edzie wi_, ekszy ni˙z 1/5._, b) Obliczy´c E(X|Y ).

5. D lug publiczny pewnego pa´nstwa, liczony w milionach koron, ka˙zdego dnia przyrasta o pewna_, niezale˙zna kwot_, e, kt´_, orej wysoko´s´c jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, 2]._, Ka˙zdego dnia rzad mo˙ze interweniowa´_, c z prawdopodobie´nstwem 1/6, w wyniku czego d lug tego dnia nie ulegnie zmianie; decyzja o interwencji jest podejmowana na podstawie zewnetrznych czynnik´_, ow niezale˙znych od zachowania d lugu i wcze´sniejszych dzia la´n.

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 180 dni rz_, ad zainterwe-_, niuje co najmniej 35 razy.

b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w ciagu pierwszych 240 dni d lug wzro´snie o_, mniej ni˙z 190 milion´ow koron.

Wskaz´owka do b): przyrost d lugu danego dnia mo˙zna zapisa´c jako X ·Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi_, zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ma rozk lad jednostajny na [0, 2] oraz P(Y = 1) = ⁵₆, P(Y = 0) = ¹₆. 6. Towarzystwo ubezpieczeniowe oferujace kr´_, otkoterminowe, miesieczne ubezpieczenia zdrowotne,_, wprowadzi lo nastepuj_, acy system zni˙zek. Ka˙zdemu klientowi przys luguje zni˙zka 0%, 10%, 20% lub_, 30%. W razie bezszkodowego miesiaca, zni˙zka w kolejnym miesi_, acu wzrasta o 10 punkt´_, ow procento- wych (a˙z do osiagni_, ecia maksymalnego pu lapu 30%); w przypadku wyst_, apienia szkody, zni˙zka w kolej-_, nym miesiacu maleje o 10 punkt´_, ow procentowych (a˙z do osiagni_, ecia minimalnego poziomu 0%). Pan_, Kowalski postanawia wykupywa´c powy˙zsze kr´otkoterminowe polisy, na wstepie przys luguje mu zni˙zka_, 10% (dziedziczona od poprzedniego ubezpieczyciela). Wiadomo, i˙z w trakcie ustalonego miesiaca_, prawdopodobie´nstwo, ˙ze Pan Kowalski bedzie musia l korzysta´_, c z us lug medycznych, wynosi ²₃.

a) Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze po trzech miesiacach zni˙zka pana Kowalskiego b_, edzie_, wynosi la 10%?

b) Obliczy´c warto´s´c oczekiwana liczby miesi_, ecy, po kt´_, orych zni˙zka pana Kowalskiego po raz pierw- szy siegnie minimalnej warto´sci 0%._,

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w miesiacu o numerze 100 zni˙zka pana Ko-_, walskiego bedzie wynosi´_, c 0% lub 30%.