Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj, a rozk lad normalny o ´sredniej 1 i wariancji 4., a) Wyznaczy´c macierz kowariancji dwuwymiarowej zmiennej (X − 3, X + Y

(1)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 8 lutego 2019r., grupa A

Aby uzyskać maksymalna liczb_, e punkt´_, ow, z poni˙zszych sze´sciu zadań nale˙zy zrobić pie´_,c. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce. Ka˙zde z zadań bedzie punktowane w skali 0–10 pkt._, Prosze_, czytelnie podpisać ka˙zda kartk_, e imieniem, nazwiskiem oraz numerem indeksu. Prosz_, e na ka˙zdej_, kartce umie´scić tak˙ze oznaczenie grupy: A, B, C lub D. Tablice rozk ladu normalnego sa_, niepotrzebne, nale˙zy operować jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 60x_, ²y1^{{0≤x≤2y≤1}}. Obliczy´c gesto´s´_, c zmiennej Y , Cov(X, Y²) oraz E(2XY − 5Y²+ 1|Y ).

2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lad normalny o ´sredniej 1 i wariancji 4._, a) Wyznaczy´c macierz kowariancji dwuwymiarowej zmiennej (X − 3, X + Y ).

b) Ile wynosi P(X + Y ≤ 2) + EXY ? Odpowied´z uzasadni´c.

c) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne −5X + 12 oraz 3X + 4Y maja ten sam rozk lad._,

3. U˙zytkownik pobiera pewna liczb_, e plik´_, ow z internetu. Czas potrzebny na pobranie pojedynczego pliku (mierzony w minutach) jest zmienna losow_, a o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, 20],_, zale˙zac_, a tylko od ´sci_, aganego pliku. W przypadku gdy czas pobierania jest d lu˙zszy ni˙z 19 minut,_, serwer przerywa po laczenie i przechodzi do kolejnego pliku z listy._,

a) Korzystajac z nier´_, owno´sci Czebyszewa-Bienaymé oszacować prawdopodobieństwo, ˙ze przy po- bieraniu 40 plików z sieci, serwer nie przerwie po laczenia ani razu lub przerwie je co najmniej 4 razy._, b) Niech Xn oznacza czas po´swiecony na pobieranie n-tego pliku z listy (przyjmujemy X_, n = 19 je´sli serwer przerwie po laczenie). Wyznaczy´_, c granice, w sensie zbie˙zno´sci prawie na pewno, ci_, agu_,

(X₁+ X₂+ . . . + X_n)²

5n²+ 1 , n = 1, 2, . . . .

4. Meteorolog bada dynamike atmosfery nad Sycyli_, a w miesi_, acu lipcu. Niech X oznacza l_, aczn_, a_, ilo´s´c opad´ow (w litrach na metr kwadratowy), a Y bedzie ´sredni_, a wysoko´sci_, a temperatury (w stopniach_, Celsjusza). Z danych historycznych wynika, i˙z zmienna Y ma rozk lad jednostajny na przedziale [20, 30];

ponadto, je´sli Y = y, to zmienna X ma rozk lad jednostajny na przedziale [0, y/10].

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, ˙ze ilo´sć opadów w lipcu przysz lego roku nie przekroczy ¹₂ litra/m². b) Obliczyć ´srednia wysoko´s´_, c temperatury przy za lo˙zeniu, ˙ze ilo´sć opadów wyniesie ¹₂ litra/m². 5. Bank przewiduje, i˙z w dniu 11 lutego do okienka kasowego zg losi sie 100 os´_, ob z zamiarem wyp lacenia gotówki. Ka˙zda z tych osób bedzie chcia la wyp laci´_, c pieniadze w z lot´_, owkach, dolarach albo euro (prawdopodobieństwa wyboru poszczególnych walut wynosza 3/5, 1/5 i 1/5, odpowiednio)._,

a) Korzystajac z twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a lub Centralnego Twierdzenia Granicznego ob-_, liczyć przybli˙zone prawdopodobieństwo tego, ˙ze liczba osób zainteresowanych wyp lata z lot´_, owek bad´_, z euro bedzie o co najmniej 62 wi_, eksza ni˙z liczba os´_, ob zainteresowanych wyp lata dolar´_, ow.

b) Za ló˙zmy, ˙ze pojedyncza wyp lata w z lotówkach (liczona w tysiacach z lotych) ma rozk lad wyk lad-_, niczy z parametrem 1. Korzystajac z Centralnego Twierdzenia Granicznego wyznaczy´_, c przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze sumaryczna wyp lata w z lotówkach w dniu 11 lutego przekroczy 65 tysiecy._,

Wskazówka do b): wyp late w z lot´_, owkach ka˙zdej spo´sród 100 osób mo˙zna zapisać jako X · Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ∼Exp(1) oraz P(Y = 1) =_, ³₅, P(Y = 0) = ²₅. 6. Pan Kowalski trzyma na pó lce dwie ksia˙zki wypo˙zyczone z biblioteki. W ka˙zdy poniedzia lek_, wybiera losowo jedna z nich i czyta j_, a w ci_, agu tygodnia; nast_, epnie oddaje j_, a w sobot_, e do biblioteki_, i wypo˙zycza losowo nowa ksi_, a˙zk_, e, kt´_, ora odk lada na p´_, o lke. Nowo wypo˙zyczona ksi_, a˙zka mo˙ze by´_, c ,,cienka” (< 100 stron) lub “gruba” (≥ 100 stron) - odpowiadajace prawdopodobie´_, nstwa wynosza_, ³₅ oraz ²₅. W poniedzia lek 4 lutego 2019 r. na pó lce znalaz ly sie dwie grube ksi_, a˙zki._,

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, ˙ze 18 lutego 2019 r. na pó lce znajda si_, e dwie grube ksi_, a˙zki?_, b) Po ilu ´srednio tygodniach na pó lce po raz pierwszy pojawia si_, e dwie cienkie ksi_, a˙zki?_,

c) Jakie jest przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze po 100 tygodniach na p´o lce znajdzie sie_, jedna gruba i jedna cienka ksia˙zka?_,

Wskaz´owka: pojedynczy stan odpowiadajacego la´_, ncucha Markowa mo˙zna opisa´c podajac rodzaje_, ksia˙zek na p´_, o lce na poczatku tygodnia, np. CC (dwie cienkie), CG (jedna cienka, jedna gruba), itp._,

(2)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 8 lutego 2019r., grupa B

1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 60xy_, ²1^{{0≤y≤2x≤1}}. Obliczy´c gesto´s´_, c zmiennej X, Cov(X², Y ) oraz E(2XY − 5X²+ 1|X).

2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lad normalny o ´sredniej −1 i wariancji 3._, a) Wyznaczy´c macierz kowariancji dwuwymiarowej zmiennej (X + 3, 2X − Y ).

b) Ile wynosi P(X + Y ≥ −2) + EXY ? Odpowied´z uzasadni´c.

c) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne 5X − 2 oraz 4X + 3Y maja ten sam rozk lad._,

(X₁+ X₂+ . . . + X_n)²

3n²− 2 , n = 1, 2, . . . .

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, ˙ze ilo´sć opadów w lipcu przysz lego roku nie przekroczy 1 litra/m². b) Obliczyć ´srednia wysoko´s´_, c temperatury przy za lo˙zeniu, ˙ze ilo´sć opadów wyniesie 1 litr/m². 5. Bank przewiduje, i˙z w dniu 11 lutego do okienka kasowego zg losi sie 160 os´_, ob z zamiarem wyp lacenia gotówki. Ka˙zda z tych osób bedzie chcia la wyp laci´_, c pieniadze w z lot´_, owkach, dolarach albo euro (prawdopodobieństwa wyboru poszczególnych walut wynosza 2/5, 2/5 i 1/5, odpowiednio)._,

b) Za ló˙zmy, ˙ze pojedyncza wyp lata w z lotówkach (liczona w tysiacach z lotych) ma rozk lad wyk lad-_, niczy z parametrem 2. Korzystajac z Centralnego Twierdzenia Granicznego wyznaczy´_, c przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze sumaryczna wyp lata w z lotówkach w dniu 11 lutego przekroczy 30 tysiecy._,

Wskazówka do b): wyp late w z lot´_, owkach ka˙zdej spo´sród 160 osób mo˙zna zapisać jako X · Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ∼Exp(2) oraz P(Y = 1) =_, ²₅, P(Y = 0) = ³₅. 6. Pan Kowalski trzyma na pó lce dwie ksia˙zki wypo˙zyczone z biblioteki. W ka˙zdy poniedzia lek_, wybiera losowo jedna z nich i czyta j_, a w ci_, agu tygodnia; nast_, epnie oddaje j_, a w sobot_, e do biblioteki_, i wypo˙zycza losowo nowa ksi_, a˙zk_, e, kt´_, ora odk lada na p´_, o lke. Nowo wypo˙zyczona ksi_, a˙zka mo˙ze by´_, c ,,cienka” (< 100 stron) lub “gruba” (≥ 100 stron) - odpowiadajace prawdopodobie´_, nstwa wynosza_, ²₅ oraz ³₅. W poniedzia lek 4 lutego 2019 r. na pó lce znalaz ly sie dwie cienkie ksi_, a˙zki._,

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, ˙ze 18 lutego 2019 r. na pó lce znajda si_, e dwie cienkie ksi_, a˙zki?_, b) Po ilu ´srednio tygodniach na pó lce po raz pierwszy pojawia si_, e dwie grube ksi_, a˙zki?_,

(3)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 8 lutego 2019r., grupa C

1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 80xy_, ²1^{{0≤x≤2y≤1}}. Obliczy´c gesto´s´_, c zmiennej Y , Cov(X, Y²) oraz E(−3XY + 2Y²− 10|Y ).

2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lad normalny o ´sredniej −2 i wariancji 2._, a) Wyznaczy´c macierz kowariancji dwuwymiarowej zmiennej (2X − 1, X − Y ).

b) Ile wynosi P(X + Y ≤ −4) − EXY ? Odpowied´z uzasadni´c.

c) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne −5X − 12 oraz −3X + 4Y maja ten sam rozk lad._,

(X₁+ X₂+ . . . + X_n)²

4n²− 3n , n = 1, 2, . . . .

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, ˙ze ilo´sć opadów w lipcu przysz lego roku nie przekroczy 2 litrów/m². b) Obliczyć ´srednia wysoko´s´_, c temperatury przy za lo˙zeniu, ˙ze ilo´sć opadów wyniesie 2 litry/m².

5. Bank przewiduje, i˙z w dniu 11 lutego do okienka kasowego zg losi sie 100 os´_, ob z zamiarem wyp lacenia gotówki. Ka˙zda z tych osób bedzie chcia la wyp laci´_, c pieniadze w z lot´_, owkach, dolarach albo euro (prawdopodobieństwa wyboru poszczególnych walut wynosza 2/5, 1/5 i 2/5, odpowiednio)._,

b) Za ló˙zmy, ˙ze pojedyncza wyp lata w z lotówkach (liczona w tysiacach z lotych) ma rozk lad wyk lad-_, niczy z parametrem 1/2. Korzystajac z Centralnego Twierdzenia Granicznego wyznaczy´_, c przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze sumaryczna wyp lata w z lotówkach w dniu 11 lutego przekroczy 78 tysiecy._,

Wskazówka do b): wyp late w z lot´_, owkach ka˙zdej spo´sród 100 osób mo˙zna zapisać jako X · Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ∼Exp(_, ¹₂) oraz P(Y = 1) = ²₅, P(Y = 0) = ³₅. 6. Pan Kowalski trzyma na pó lce dwie ksia˙zki wypo˙zyczone z biblioteki. W ka˙zdy poniedzia lek_, wybiera losowo jedna z nich i czyta j_, a w ci_, agu tygodnia; nast_, epnie oddaje j_, a w sobot_, e do biblioteki_, i wypo˙zycza losowo nowa ksi_, a˙zk_, e, kt´_, ora odk lada na p´_, o lke. Nowo wypo˙zyczona ksi_, a˙zka mo˙ze by´_, c ,,cienka” (< 100 stron) lub “gruba” (≥ 100 stron) - odpowiadajace prawdopodobie´_, nstwa wynosza_, ⁴₅ oraz ¹₅. W poniedzia lek 4 lutego 2019 r. na pó lce znalaz ly sie dwie grube ksi_, a˙zki._,

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, ˙ze 18 lutego 2019 r. na pó lce znajda si_, e dwie grube ksi_, a˙zki?_, b) Po ilu ´srednio tygodniach na pó lce po raz pierwszy pojawia si_, e dwie cienkie ksi_, a˙zki?_,

(4)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 8 lutego 2019r., grupa D

1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 80x_, ²y1^{{0≤y≤2x≤1}}. Obliczy´c gesto´s´_, c zmiennej X, Cov(X², Y ) oraz E(−3XY + 2X²− 10|X).

2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj_, a rozk lad normalny o ´sredniej 3 i wariancji 2._, a) Wyznaczy´c macierz kowariancji dwuwymiarowej zmiennej (X + 4, −X + Y ).

b) Ile wynosi P(X + Y ≥ 6) − EXY ? Odpowied´z uzasadni´c.

c) Rozstrzygna´_,c, czy zmienne 5X − 12 oraz 4X − 3Y maja ten sam rozk lad._,

(X₁+ X₂+ . . . + X_n)²

n²+ 4n , n = 1, 2, . . . .

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, ˙ze ilo´sć opadów w lipcu przysz lego roku nie przekroczy 1 litra/m². b) Obliczyć ´srednia wysoko´s´_, c temperatury przy za lo˙zeniu, ˙ze ilo´sć opadów wyniesie 1 litr/m². 5. Bank przewiduje, i˙z w dniu 11 lutego do okienka kasowego zg losi sie 160 os´_, ob z zamiarem wyp lacenia gotówki. Ka˙zda z tych osób bedzie chcia la wyp laci´_, c pieniadze w z lot´_, owkach, dolarach albo euro (prawdopodobieństwa wyboru poszczególnych walut wynosza 1/5, 3/5 i 1/5, odpowiednio)._,

b) Za ló˙zmy, ˙ze pojedyncza wyp lata w z lotówkach (liczona w tysiacach z lotych) ma rozk lad wyk lad-_, niczy z parametrem 1/3. Korzystajac z Centralnego Twierdzenia Granicznego wyznaczy´_, c przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze sumaryczna wyp lata w z lotówkach w dniu 11 lutego przekroczy 90 tysiecy._,

Wskazówka do b): wyp late w z lot´_, owkach ka˙zdej spo´sród 160 osób mo˙zna zapisać jako X · Y , gdzie X, Y sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi takimi, ˙ze X ∼Exp(_, ¹₃) oraz P(Y = 1) = ¹₅, P(Y = 0) = ⁴₅. 6. Pan Kowalski trzyma na pó lce dwie ksia˙zki wypo˙zyczone z biblioteki. W ka˙zdy poniedzia lek_, wybiera losowo jedna z nich i czyta j_, a w ci_, agu tygodnia; nast_, epnie oddaje j_, a w sobot_, e do biblioteki_, i wypo˙zycza losowo nowa ksi_, a˙zk_, e, kt´_, ora odk lada na p´_, o lke. Nowo wypo˙zyczona ksi_, a˙zka mo˙ze by´_, c ,,cienka” (< 100 stron) lub “gruba” (≥ 100 stron) - odpowiadajace prawdopodobie´_, nstwa wynosza_, ¹₅ oraz ⁴₅. W poniedzia lek 4 lutego 2019 r. na pó lce znalaz ly sie dwie cienkie ksi_, a˙zki._,

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, ˙ze 18 lutego 2019 r. na pó lce znajda si_, e dwie cienkie ksi_, a˙zki?_, b) Po ilu ´srednio tygodniach na pó lce po raz pierwszy pojawia si_, e dwie grube ksi_, a˙zki?_,