Rozwiązywanie prostych nierówności z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie prostych nierówności z wartością bezwzględną

Ogólna postać nierówności, którymi będziemy się zajmowali to a x + b c , gdzie a, b, c ε R oraz c0.

1a) Przyjmijmy, że a= -3.5, b=0, c=7; wtedy nasza nierówność wygląda tak:-3.5x 7.

Rozwiążmy ją. W tym celu narysujmy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji:

y1=-3.5x oraz y2=7.

Kiedy y1  y2? Odczytaj z wykresu rozwiązanie i zaznacz je na osi liczbowej:

 Jaki punkt jest środkiem tego przedziału?

 Jaka jest odległość końców przedziału od jego środka?

 Jaki jest związek pomiędzy ilorazem (c/a) a odległością końców przedziału od jego środka?

 Opiszmy teraz rozwiązanie naszej nierówności słowami:

Rozwiązaniem -3.5x 7 są wszystkie wartości x oddalone od ... o co najwyżej ...

b) Rozwiążmy w podobny sposób nierówność -4 x -2 8 (czyli a=-4, b=-2, c=8).

Odczytaj rozwiązanie z wykresu i zaznacz je na osi liczbowej:

 Jaki punkt jest środkiem tego przedziału?

 Jaki jest związek pomiędzy ilorazem (b/a) a punktem będącym środkiem przedziału?

 Jaka jest odległość końców przedziału od jego środka?

 Jaki jest związek pomiędzy ilorazem (c/a) a odległością końców przedziału od jego środka?

 Opiszmy rozwiązanie słowami:

Rozwiązaniem -4x -2 8 są wszystkie x oddalone od ... o co najwyżej ...

c) Zajmijmy się teraz nierównością -2x +2 4 (czyli a= -2, b=2, c=4).

Odczytaj rozwiązanie z wykresu i zaznacz je na osi liczbowej:

 Jaki punkt jest środkiem tego przedziału?

 Jaki jest związek pomiędzy ilorazem (b/a) a punktem będącym środkiem przedziału?

 Jaka jest odległość końców przedziału od jego środka?

 Jaki jest związek pomiędzy ilorazem (c/a) a odległością końców przedziału od jego środka?

 Opiszmy rozwiązanie słowami:

Rozwiązaniem -2x +2 4 są wszystkie x oddalone od ... o co najwyżej ...

d) Rozwiąż w podobny sposób jeszcze kilka nierówności postaciax b c, gdzie a<0 i c0.

Tutaj masz miejsce na rozwiązania dwóch spośród nich:

...x +...... ...x -......

Rozwiązaniem nierówności ...x + .... ... Rozwiązaniem nierówności ...x - .... ...

są wszystkie wartości x oddalone od ... są wszystkie wartości x oddalone od ...

o... o ...

WNIOSEK. Rozwiązaniem nierówności ax + b c dla a<0 i c0, są wszystkie x oddalone od ...

o co najwyżej ...

2) Co się stanie, gdy zamiast nierówności ax + b c, będziemy rozpatrywali ax + b c?

Zbadajmy to na przykładach z poprzedniej strony:

a) -3.5x 7

Potrafisz opisać rozwiązanie słowami?

Rozwiązaniem -3.5x 7 są wszystkie x oddalone od ... o co najmniej...

b)  -4x -2 8

Rozwiązaniem -4x -2 8 są wszystkie x oddalone od ... o co najmniej...

c) -2x+2 4

Rozwiązaniem -2x+2 4 są wszystkie x oddalone od ... o ...

Potrafisz już sformułować wniosek?

Jeżeli tak, to zapisz go tutaj, jeżeli jeszcze nie, to zrób kilka podobnych przykładów (możesz wykorzystać zadanie 1d).

WNIOSEK Rozwiązaniem nierówności ax + b c , dla a<0 i c0, są wszystkie x oddalone od ... o ...

Uwagi metodyczne do karty

Rozwiązywanie prostych nierówności z wartością bezwzględną

Karta „ Rozwiązywanie prostych nierówności z wartością bezwzględną” jest przeznaczona dla uczniów liceum poziomu rozszerzonego. Nierówności z modułem są zazwyczaj dość trudnym tematem dla uczniów. Rozwiązywanie takich nierówności odbywa się najczęściej drogą czysto algebraiczną, przez zamianę zapisu modułowego na dwa przypadki.

Rozpatrujemy wówczas dwie nierówności i rozwiązanie następuje na drodze rachunkowej(bardzo formalnej). Karta ta pokazuje uczniom graficzną stronę takich nierówności. Dzięki takiemu podejściu uczniowie mogą lepiej zrozumieć, co oznacza nierówność modułowa i jak można ją zilustrować na wykresie. Rozwiązanie odczytują najpierw z wykresu, a następnie zaznaczają na osi przedziały będące rozwiązaniem. Jest to bardzo ważny moment. Dalsze pytania, na które uczeń musi odpowiedzieć, podpowiadają jak sformułować rozwiązanie i od czego ono zależy. Przy pracy z tą kartą ważne jest, aby

uczniowie przerobili wszystkie zadania i starannie odpowiedzieli na wszelkie pytania.

Prosimy zwrócić uwagę na zadanie drugie, w którym uczniowie mają wyznaczyć przedziały będące uzupełnieniem na osi przedziałów z zadania pierwszego.

Konieczna przy tej karcie jest dyskusja z uczniami- jakie są ich wnioski i co zamierzają zapisać w karcie.

Karta jest kartą wprowadzającą nowe treści.