Czy półgrupa może być niezmiennikiem?

(1)

Czy półgrupa może być niezmiennikiem?

Arkadiusz Męcel

Uniwersytet Warszawski a.mecel@mimuw.edu.pl

Konferencja „Oblicza Algebry”

Kraków, 30.05.2015

(2)

Kontekst zagadnienia

A – algebra skończenie wymiarowa nad ciałem K

(3)

Kontekst zagadnienia

A – algebra skończenie

wymiarowa nad ciałem K ???

Przykłady półgrup pochodzących od algebry A:

(A, ·) – monoid multyplikatywny I (A) – półgrupa ideałów dwustronnych L(A) – półgrupa ideałów lewostronnych S (A) – półgrupa podprzestrzeni liniowych D(A) – półgrupa podzbiorów domkniętych

(4)

Kontekst zagadnienia

wymiarowa nad ciałem K Półgrupa S

Definicja

Bazę S = {si| i ∈ I } algebry A nad ciałem K nazwiemy bazą multyplikatywną, jeśli s_is_j ∈ S ∪ {0}, dla wszystkich s_i, s_j ∈ S.

(5)

Kontekst zagadnienia

Definicja

Bazę S = {s_i| i ∈ I } algebry A nad ciałem K nazwiemy bazą multyplikatywną, jeśli s_is_j ∈ S ∪ {0}, dla wszystkich s_i, s_j ∈ S.

(6)

Kontekst zagadnienia

Algebry mające bazę multyplikatywną:

algebra macierzy nad ciałem – Mn(K) algebry półproste

algebry (pół)grupowe

algebry skończonego typu reprezentacyjnego nad ciałem algebraicznie domkniętym (!)

(7)

Półgrupa klas sprzężoności ideałów

Definicja

Niech C (A) będzie zbiorem {[L], L ∈ L(A)} klas sprzężoności ideałów lewostronnych skończenie wymiarowej algebry A z jedynką.

Wówczas definiując operację

[L1][L2] := [L1L2],

gdzie L₁, L₂ ∈ L(A), otrzymujemy strukturę półgrupy na C (A).

(8)

Algebry półproste

Przykład. Półgrupa C (A) dla A = Mn(K)

każdy niezerowy ideał lewostronny L w Mn(K) jest sprzężony z jednym z ideałów

Mn(K)(e11+ . . . + e_jj), dla 1 ¬ j ¬ n, przy czym eij są jedynkami macierzowymi w Mn(K), C (Mn(K)) złożona jest z dokładnie n + 1 elementów dla 0 6= [X ], [Y ] ∈ C (Mn(K)) mamy [X ] · [Y ] = [Y ].

Wniosek

Problem został rozstrzygnięty, gdy:

A/J(A) jest sumą prostą skończenie wielu kopii K, A/J(A) ' Mn1(K) ⊕ . . . ⊕ Mnt(K), dla ni  6, A/J(A) ' Mn1(K) ⊕ . . . ⊕ Mnt(K), dla ni ¬ 2.

(16)

Problem skończoności C (A)

Problem

Niech A będzie algebrą skończenie wymiarową nad ciałem algebraicznie domkniętym K, przy czym |I (A)| < ∞ i J(A)² = 0.

Kiedy półgrupa C (A)C (A)C (A) jest skończona?

Problem został rozstrzygnięty, gdy:

A/J(A) jest sumą prostą skończenie wielu kopii K, A/J(A) ' Mn1(K) ⊕ . . . ⊕ Mnt(K), dla ni  6, A/J(A) ' Mn1(K) ⊕ . . . ⊕ Mnt(K), dla ni ¬ 2.

(17)

Redukcja do problemu macierzowego

Niech A będzie algebrą spełniającą założenia Problemu, oraz:

A/J(A) ' Mn1(K) ⊕ Mn2(K) ⊕ . . . ⊕ Mnt(K).

Rozważmy zbiór M_A macierzy blokowych postaci:

h·A·g=







h1a11g₁⁻¹ h1a12g₂⁻¹ . . . h1a1tg_t⁻¹ h₂a₂₁g₁⁻¹ h₂a₂₂g₂⁻¹ . . . h₂a_2tg_t⁻¹

... ... . .. ... htat1g₁⁻¹ htat2g₂⁻¹ . . . htattg_t⁻¹





 ,

gdzie:

a_ij 6= 0 ⇔ e_iJ(A)e_j 6= 0,

a_ij ∈ Mki×n_j(K), przy czym ki = ^P

j :eiJ(A)ej6=0

n_j.

(18)

Redukcja do problemu macierzowego

Rozważamy działanie (?) zbioru H × G^o na M_A grup H:= Gl_k₁(K) × Glk2(K) × . . . × Glkt(K), G:= Gln1(K) × Gln2(K) × . . . × Glnt(K) :

h· A · g =







h₁a₁₁g₁⁻¹ h₁a₁₂g₂⁻¹ . . . h₁a_1tg_t⁻¹ h2a21g₁⁻¹ h2a22g₂⁻¹ . . . h2a2tg_t⁻¹

... ... . .. ... h_ta_t1g₁⁻¹ h_ta_t2g₂⁻¹ . . . h_ta_ttg_t⁻¹





 ,

gdzie:

h= (h₁, h₂, . . . , h_t), g= (g₁, g₂, . . . , g_t).

(19)

Problem macierzowy

Lemat

Niech A będzie skończenie wymiarową nad ciałem algebraicznie domkniętym K, przy czym |I (A)| < ∞ oraz J(A)²= 0. Wówczas następujące warunki są równoważne:

półgrupa C (A) jest skończona,

zbiór orbit działania (?) na M_A jest skończony.

(20)

Problem izomorfizmu

Problem

Weźmy dwie algebry A, B, skończenie wymiarowe nad ciałem algebraicznie domkniętym K, z jedynkami, takie że C (A) ' C (B) jako półgrupy skończone. Kiedy A ' B?

(21)

Źródła

1 Me¸cel A., Półgrupa sprze¸żoności ideałów lewostronnych algebry ła¸cznej, Rozprawa doktorska, Uniwersytet Warszawski, 2014.

2 Me¸cel A., Okniński J.: Conjugacy classes of left ideals of a finite dimensional algebra, Publ. Mat. 57 (2013), 477–496.

3 Okniński J., Renner L.: Algebras with finitely many orbits, J.

Algebra 264 (2003), 479–495.