Seria: T R A N SPO R T z. 47 N r kol. 1586
G rzegorz S IE R P IŃ S K I'
MODEL WEBSTERA - SYMULACJA KOMPUTEROWA
Streszczenie. W artykule zaw arto om ów ienie m odelu W ebstera oraz przedstaw iono program kom puterow y „W M Sim ” w yznaczający optym alny cykl sygnalizacji i średnie opóźnienie na w locie na pojazd. Sym ulator pom oże dostosow ać m odel W ebstera do w arunków panujących n a polskich drogach.
W EBSTER’S MODEL - COMPUTER SIMULATION
Sum m ary. This article includes a review o f the W ebster’s m odel and presents a com puter program called W M Sim . The program is used for calculating the optim al cycle o f a traffic signalling and an average delay on inlets per vehicle. T he sim ulator w ill help to adjust the W ebster’s m odel to the P olish roads conditions.
1. W PR O W A D Z E N IE
W ęzły drogow e stanow ią w ąskie gardła sieci transportow ej, dlatego ciągle poszukuje się rozw iązań zw iększających płynność ruchu n a skrzyżow aniach. A by tego dokonać, w prow adzono system y sterow ania ruchem w postaci sygnalizacji św ietlnej.
Z astosow anie sygnalizacji świetlnej pow oduje zm niejszenie lub naw et elim inację punktów kolizji w w ęźle. K olejnym problem em je s t odpow iedni dobór długości sygnałów zielonych.
Jednym z prekursorów poszukiw ania optym alnego czasu trw ania cyklu sygnalizacji jest Francis V ernon W ebster (1958). O pracow ał on rów nież w zór pozw alający obliczyć średnie opóźnienie na w locie na pojazd. Od tam tego czasu pow stało w iele m etod obliczeniow ych, jed n a k w iększość z istniejących m etod zaw iera elem enty m etody brytyjskiej R RL oraz m odelu W ebstera [1],
2. O PTY M A LN Y CY K L SY G N A LIZA C JI
U zyskanie optym alnego cyklu sygnalizacji pozw ala na:
- m inim alizację średnich strat czasu na w lotach, - m inim alizację liczby zatrzym ań i startów w w ęźle,
zw iększenie (polepszenie) płynności ruchu w w ęźle,
- zm niejszenie em isji spalin oraz zm niejszenie hałasu w otoczeniu w ęzła.
1 Wydział Transportu, Politechnika Śląska, Krasińskiego 8, 40-019 Katowice, grzesier@polsl.katowice.pl
462 G. Sierpiński
Istnieje w iele m etod rozdziału sygnału zielonego pom iędzy poszczególne fazy [2]:
proporcjonalnie do w artości stopni nasycenia, przez m inim alizację strat czasu,
p o przez analizę praw dopodobieństw a obsługi pojazdów w okresie sygnału zielonego, p o przez uw zględnienie długości kolejek pojazdów na w lotach krytycznych.
M odel W ebstera analizuje skrzyżow anie czterow lotow e. W loty oznaczono odpow iednio: N -północ, S-południe, E-w schód, W -zachód. D o w yznaczenia cyklu sygnaliza
cji przy pom ocy algorytm u W ebstera potrzebne s ą następujące dane:
n atężenia q na poszczególnych w lotach [P/h];
n atężenia nasycenia S n a poszczególnych w lotach [P/hz];
opóźnienie startu toS [s];
czas ew akuacji te [s].
Postępow anie obliczeniow e je s t następujące:
1) W yznaczenie proporcji ruchu dla poszczególnych faz:
gdzie:
n - liczba faz;
Gs - opóźnienie startu dla danej fazy;
te - czas ew akuacji;
R - je s t to czas w cyklu, w którym na w szystkich sygnalizatorach je s t w yśw ietlany sygnał czerw ony.
W ebster zakładał jed n ak o w e opóźnienie startu oraz czasy ew akuacji d la w szystkich relacji.
3) W yznaczenie optym alnej długości cyklu sygnalizacji:
(1)
2) W yznaczenie całkow itego czasu traconego na cykl:
L = n t «<+R = ” L + n t ' = n ( t m+tt ) (2)
1,5 • i + 5
(3)
4) W yznaczenie łącznego efektyw nego czasu zielonego:
n
= C„r, - L
(4 )E fektyw ny czas zielony dla poszczególnych faz je s t w yznaczany z proporcji:
8
,-
8 2- - :8„=yt - yj
y , ^
& = 7 ' M
‘ i=l
(5)
5) W yznaczenie rzeczyw istych czasów zielonych dla poszczególnych faz:
G , = g , - + L - A (6)
gdzie:
Gi - czas zielony dla danej fazy; g, - efektyw ny czas zielony dla danej fazy;
tos - opóźnienie startu; A - czas żółty (zw ykle 3 [s]).
3. ŚR ED N IE O PÓ ŹN IEN IE (STR A TY C ZA SU )
Średnie opóźnienie na pojazd należy rozum ieć ja k o różnicę pom iędzy średnim czasem przejazdu przez skrzyżow anie z zatrzym aniem a płynnym czasem p rzejazdu (tzn. bez zatrzym ania).
T rudność w stw orzeniu w yrażenia m ożliw ie dokładnie opisującego opóźnienia p ow stające na skrzyżow aniach z sygnalizacją św ietln ą po leg a przede w szystkim na konieczności stw orzenia w zoru m ożliw ie prostego, a jednocześnie uniw ersalnego dla rozm aitych w arunków św iatow ych. W ebster ja k o je d e n z pierw szych stw orzył form ułę p o zw alającą obliczyć średnie opóźnienie. W zór pow stał przez połączenie m etod teoretycznych oraz sym ulacji kom puterow ych. Jest on następujący:
c d - ^ ) 2 . * 2
d = - v- -■ + 0 ,6 5 -(^V )3 (7)
2 ( 1 - A - x ) 2 q ( l - x ) Y gdzie:
d - średnie opóźnienie na pojazd [s];
c - długość cyklu sygnalizacji [sj;
A =g/c - udział sygnału efektyw nego zielonego w cyklu;
g - efektyw ny czas zielony [s]
q - natężenie [P/h]
x =q/(AS) - stopień nasycenia;
S - natężenie nasycenia [P/hz],
Pierw szy składnik w zoru (7) reprezentuje opóźnienie dla potoku rów nom iernego (rów nom ierne przybycia - stałe natężenie). D rugi składnik stanow i „dodatek” z uw agi na lo so w ą naturę przybyć (losow e w ahania ruchu). Jest to tzw. „losow e opóźnienie”
uw zględniające rozkład Poissona zgłoszeń pojazdów oraz sta łą przepustow ość. Trzeci składnik bazuje na w ynikach sym ulacji. Jest to składnik korygujący, zw ykle stanow iący około 10% całego opóźnienia [3],
R ozkład Poissona zgłoszeń pojazdów m ożna opisać za p o m o cą odstępów m iędzy pojazdam i, generow anych w edług przesuniętego w ykładniczego rozkładu praw dopodobieństw a [4]:
P( h > t ) = (8)
gdzie:
t - średni odstęp czasu m iędzy pojazdam i;
t0 - m inim alny odstęp czasu m iędzy pojazdam i na jed n y m pasie.
464 G. Sierpiński
Z uw agi n a złożoność w zoru (7) zw ykle stosuje się w zór aproksym acyjny:
c • (1 - A)2 x2 d = 0,9
2 • (1 - Z ■ x ) 2 - q - ( \ - x ) (9)
4. K O M P U T E R O W E W SPO M A G A N IE W Y Z N A C Z A N IA C Y K LU S Y G N A L IZ A C JI
Program „W M S im ” został napisany w środow isku D elphi. Jego działanie zakłada
„d ialo g ” z użytkow nikiem p o przez kolejno w yśw ietlane okna, w których następuje m .in.:
w prow adzanie danych;
- w yznaczenie optym alnego program u sygnalizacji oraz średniego opóźnienia pojazdów ; gereracja odstępów dla poszczególnych w lotów ;
- w izualizacja sym ulacji skrzyżow ania z sy g n alizacją św ietln ą w raz z w yznaczaniem chw ilow ego i średniego opóźnienia dla poszczególnych w lotów .
„W M S im ” um ożliw ia w yznaczenie cyklu dla sygnalizacji dw ufazow ej stałoczasow ej oraz w yznaczenie średniego opóźnienia na pojazd dla danego w lotu. Z aw arto w nim algorytm obliczeń zgodny z algorytm em stosow anym przez W ebstera.
D ane w ejściow e to:
- n atężenia q na poszczególnych w lotach [P/h];
- n atężenia nasycenia S na poszczególnych w lotach [P/hz];
opóźnienie startu tos [s];
czas ew akuacji ą [s] (w spólny dla całego skrzyżow ania, tak ja k przyjm ow ał W ebster).
D ane m ożna w prow adzić za p o m o c ą klaw iatury oraz z odpow iednio przygotow anego p lik u tekstow ego. O kno w prow adzania danych przedstaw iono na rysunku 1.
¡^Optymalny progiam sygnalizaci HEHIE3I
P& Pfimoc
Natężenia
(270 N
(5“
w E
I m
g (230
Opóźnienie startu
Czas ewakuacji
Natężenia nasycenia
[850 N
|1450
i
W E
|1000
s (950
|0" Oblicz
jj
Rys. 1. Okno wprowadzania danych Fig. 1. Data inpnt window
Po naciśnięciu przycisku ‘O blicz’ pojaw ia się okno z w ielkościam i w yjściow ym i (rys. 2), to jest:
długościam i sygnałów zielonych [s];
czasam i m iędzyzielonym i [s]
stopniam i nasycenia;
opóźnieniam i na w lotach [s];
d łu g o ścią cyklu [s].
O prócz prezentacji opisowej w yników w yrysow any zostaje program sygnalizacji.
Istnieje m ożliw ość zapisu raportu z obliczeń do pliku tekstow ego w celu późniejszych analiz porów naw czych.
| Piogram sygnalizacji ____ ____
pyk
FAZA I (N-S) Sygnał- zielony - 25 [s]
Czas rroędzyzidoriy • 6(s]
Stopień nasycenia * 0,32 Opóźnienie na yrfocie N - 15,99 [s]
Clpoir»*na*»toaeS-]4,10(si * ' '
FAZA II (E-W ) Sygnat zielony 4 29 |s j::
Czas miijdzyzielopy-81*]
Stopień nasycenia » 0,38 Opóźnienie na wlocie E »14,08 [s]
Opóźnienie na trocie W - 14J21 [s.
Długość cyklu = 66 [s] i
' ' * i
:_______________________________________
Rys. 2. Program sygnalizacji Fig. 2. Signalling program
K olejnym zadaniem program u je s t w ygenerow anie potoków pojazdów na w lotach.
Z aim plem entow any generator (rys. 3) losuje odstępy m iędzy pojazdam i o rozkładzie przesuniętym w ykładniczym oddzielnie dla każdego w lotu. P onadto istnieje m ożliw ość u staw ienia jednostki podstaw ow ej (1, lA , % sekundy) oraz przesunięcia (nazw anego w program ie m inim alnym odstępem ). D la każdego w lotu rysow any je s t histogram przedstaw iający liczbę pow tórzeń każdego w ylosow anego odstępu. D odatkow e dane otrzym ane po generacji to m aksym alny i średni odstęp m iędzy pojazdam i. Istnieje m ożliw ość podglądu w ylosow anych odstępów.
466 G. Sierpiński
Jednostka podstawowa jl.OO s e k j j Mirttmainy odstęp
Symulacja
ODSTĘPY (WLOT W )
natężenie na wlocie N wynosi 270 [pot/h}
suma wylosowanych odstępów wynosi 3600 maksymalny wylosowany odstęp wynosi 64 śiedni odstęp wyrosi 13,33
ODSTĘPY (VSiLOT N)
natężenie n a wlocie N wynosi 340-[poj/h]
suma wylosowanych odstępów wyrosi 3600 maksymalny wylosowany odstęp wynosi 81 Ńedni odstęp wynosi 10,59
20
ODSTĘPY 0M.O T S)
50 100
ODSTĘPY pALOT ĘJ
natężenie na wlocie N wynosi 540 (poj/h) suma »stosowanych odstępów wynosi 3600 maksymalny wylosowany odstęp wyrosi 42 średni odstęp wynos» 6,67 natężenie n a w łoóeN wynosi 230 (poj/hj
suma wylosowanych odstępów wynosi 3600 maksymalny wylosowany odstęp wyrtosi 118 średni odstęp wynosi 15.65
Rys. 3. Generator odstępów między pojazdami Fig. 3. Gaps generator
P tt. Pamoc
Sterowanie
Start j 1 i~ Stop J]j Kasowanie j
---„
1 :Gpóźnierie (wlot W)
::
-fV-A
£ 10 15 20
dfWebste»]-15,99 [s|
djijedn»)* 10,89 [sj
Opóźnienie (w lo t W)
j-
5 10 15 20 25 30 d|W ebste»)-14^1 |sj cflfcecfrue}- 9.14 (s)
; Opóźnienie (wlot 3)
I ,V / ' A
r v r r •
2 4 6 8 10 12 14 dfW ebsłei)-14.40 (sl d(śiednie)» 14,60 [s]
O p ó źn ie ń * (w tot E)
i-h h ' i
;v!\
V 1 /S '
-rT W
10 20 30 40 50 d(W ebstei|-14.08 [s]
d(śtednie)* 10,49 |s)
Rys. 4. Okno symulacji Fig. 4. Simulation window
Po w ygenerow aniu odstępów m ożna przejść do sym ulacji skrzyżow ania z sy g n alizacją św ietln ą (rys. 4). D la lepszej czytelności postępu sym ulacji stw orzono w izualizację ruchu na badanym skrzyżow aniu. Sekw encja sygnałów w yśw ietlana na skrzyżow aniu je s t zgodna z obliczo n ą w cześniej w edług algorytm u W ebstera. W ygenerow ane p ojazdy „ z g ła sz a ją s ię ” w odpow iednio dobranej odległości od skrzyżow ania, tak aby ich ruch nie był zakłócany przez tw orzące się n a w lotach kolejki pojazdów . S ym ulacja m oże się odbyw ać w czasie rzeczyw istym , a także istnieje m ożliw ość ustaw ienia prędkości sym ulacji na 2, 4, lub 10 razy szybszą; czyli w yniki z sym ulacji 60-m inutow ej m ożna otrzym ać w ciągu 6 m inut. Jest to pom ocne szczególnie w przypadku potrzeby porów nania kilku rozw iązań.
W trakcie sym ulacji rejestrow ane są straty czasu pojazdów . N a bieżąco tw orzone są charakterystyki chw ilow ego opóźnienia dla danego pojazdu na danym w locie. Średnie opóźnienie na w locie je s t porów nyw alne z w arto ścią w y zn aczo n ą ze w zoru W ebstera (9).
5. P O D SU M O W A N IE
M im o dużego rozw oju techniki oraz zaaw ansow anych globalnych system ów sterow ania zastosow anie sygnalizacji stałoczasowej je s t nadal popularne. U życie cyklu sygnalizacji w yznaczonego z algorytm u W ebstera, po odpow iednich popraw kach do w arunków panujących n a polskich drogach, je s t dobrym rozw iązaniem . Z aprezentow any program w przyszłości będzie rozbudow any o m oduły analizy porów naw czej kilk u rozw iązań oraz m ożliw ość w prow adzania popraw ek w program ie sygnalizacji. P onadto pom oże w w yznaczeniu w skaźnika zm ienności odstępów obsługi pojazdów n a skrzyżow aniach z sy g n alizacją stałoczasow ą.
L ite r a tu r a
1. T racz M ., A llsop R. E.: S krzyżow ania z sygnalizacją św ietlną. W K iŁ , W arszaw a 1990.
2. D atka S., Suchorzew ski W ., T racz M .: Inżynieria ruchu. W K iŁ, W arszaw a 1999.
3. W ebster F. V.: Traffic signal settings. R oad R esearch P aper N o. 39, H er M ajesty’s Stationary O ffice, London 1958.
4. Praca zbiorow a pod red. K rystek R.: Sym ulacja ru ch u potoku pojazdów . W K iŁ, W arszaw a 1980.
5. W och J .: T eoria potoków ruchu (w druku).
6. T raffic G uidance System s 2002-2003. Telecom m unications & T raffic-C ontrol System s, http://w w w tvs.et.tudelft.nl/P& N /education/et4-024/Sheets/
7. G artner N ., M esser C. J., Rathi A. K.: Traffic Flow T heory A State-of-the-A rt Raport.
T ransportation R esearch Board, http://w w w cta.om l.gov/cta/research/trb/tft.htm l.
A b s tr a c t
In spite o f a huge developm ent o f techniques and advanced global control system s, applying the fixed-tim e signalling is still popular. The use o f a signalling cycle determ ined by the W eb ster’s algorithm is a good solution after applying required corrections due to the Polish roads conditions.
468 G. Sierpiński
The W M Sim is a com puter program used for calculating the optim al cycle o f a traffic signalling and an average delay on inlets per vehicle. T he program contains o f a com putational algorithm com patible w ith the algorithm p roposed by F rancis V ernon W ebster (1958). The sim ulator w ill help to im plem ent the W ebster’s m odel to the Polish roads conditions. In future the program w ill be fulfilled by m odules o f the com parative analysis and the possibility o f m aking corrections in a signalling program . W hat is m ore, th at w ill help in calculation o f a variability index gaps services o f vehicles on the intersections that are being controlled by fixed-tim e signalling.
