Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 13, No. 2

J a h r g a n g X I I I .

U n t e r r i c h t s b l ä t t e r

1 9 0 7 . N o . 2.

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

O rgan des V e re in s z u r F ö rd e ru n g

des U n te rric h ts in d e r M a th e m a tik u n d den N a tu rw isse n sc h a fte n .

B egründet unter M itw irkung von B e r n h a r d S c h w a lb e ,

herausgegeben von

F . P i e t z k e r ,

P r o f e s s o r a m G y m n a s i u m z u N o r d h a u s e r n

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 3 0 .

R e d a k t i o n : A l l e f ü r d i e R e d a k t i o n b e s t i m m t e n M i t t e i l u n g e n u n d S e n d u n g e n w e r d e n n u r a n d i e A d r e s s e d e s P r o f . P i e t z k e r i n N o r d h a u s e n e r b e t e n .

V e r e i n : A n m e l d u n g e n u n d B e i t r a g s z a h l u n g e n f ü r d e n V e r e i n (3 M k . J a h r e s b e i t r a g o d e r e i n m a l i g e r B e i t r a g v o n 4 5 M k . ) s i n d a n d e n S c h a t z m e i s t e r , P r o f e s s o r P r e s 1 e r i n H a n n o v e r , K ö n i g s w o r t h e r s t r a ß e 4 7 , z u r i c h t e n .

V e r l a g : D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n 6 N u m m e r n i s t 3 M a r k , f ü r e i n z e l n e N u m m e r n 60 P f . D i e V e r e i n s i n i t -

A u f g a b e h a l b e r o d . g a n z e r S e i t e n , s o w i e b e i W i e d e r h o l u n g e n E r m ä s s i g u n g . — B e i l a g e g e b ü h r e n n a c h U e b e r e i n k u n f t .

N a c h d r u c k d e r e i n z e l n e n A r t i k e l i s t , w e n n ü b e r h a u p t n i c h t b e s o n d e r s a u s g e n o m m e n , n u r m i t g e n a u e r A n g a b e d e r Q u e l l e u n d m i t d e r V e r p f l i c h t u n g d e r E i n s e n d u n g e i n e s B e l e g e x e m p l a r s a n d e n V e r l a g g e s t a t t e t .

I n h a l t : T agesordnung der X V I. H aup tv ersam m lu n g zu D resden (S. 25). — Problem e der G letscherforschung.

Von H a n s H e ß in A nsbach, Schluß (S. 26). — G eom etrische A bleitungen einiger trigonom etrischer

—'-Form eln. Von P ro f. Dr. C. I b r ü g g - e r in S ta rg a rd i. Pom in. (S. 29 '. — Z u r F rag e der K o rre k th e it von G leichsetzungen. Von

E.

K u l i r i e h in G era, Reuß (S. 30), — M engenlehre im U n te rric h t?

B em erkungen von D r. K u r t G e i ß l e r in L uzern (S. 3 1 ) .— D ie einem D reieck eingeschriebenen H a lb ­ kreise und die ihnen erpsprechenden A ußenkreise in ih ren B eziehungen z u anderen D reieekskreisen. Von T h . H a r m u t h in G roß-L ichtcrfelde (S. 34). — N eue B erechnung d er Seite des reg u lären D reißig­

ecks n ebst dam it zusam m enhängenden Beziehungen zwischen den zu 12°, 24°. 36°. 8 4 u, 108°, 132° und 156° gehörenden Sehnen. Von 0 . S c h n e i d e r in L ang en d reer (S. 35). — K leinere M itteilungen [Gazeto M athem atika Internacio] (S. 36). — V ereine und V ersam m lungen [79. V ersam m lung D eutscher N aturforscher und A erzte in Dresden] (S. 36). — Schul- und U niversitäts-N achrichten [Ferienkurse in G reifsw ald vom 15. J u l i bis 3. A ugust. F erienkurse in J e n a vom 5. bis 17. A ugust] (S. 36). — L e h r­

m ittel-B esprechungen (S. 37). — B ücherbospreehungeu (S. 38). — Z u r B esprechung eingetr. B ücher (S. 40). — Anzeigen.

Verein zur föröerung Des Unterrichts in Der jliathematik und Den Naturwissenschaften.

T a gesordnung der X V I. H a u p tv e rsa m m lu n g zu Dresden, Pfingsten 1907.

M o n t a g , 20. *Mai, abends

8

U hr: Geselliges Beisammensein im oberen Saale des Königlichen Belvedere auf der Brühlschen Terrasse.

D i e n s t a g , 21. Mai, vorm ittags 9 U hr: E rste allgemeine Sitzung.

E röffnung und B egrüßung. — G eschäftliche M itteilungen.

V o rtra g von M. K r a u s e (D resden): U eber die A usbildung der L e h re r d er ¡Mathematik und Physik an den T echnischen H ochschulen.

R eferate über die W ünsche der F achlehrer hinsichtlich des H o ch sch u lu n tem clits fü r k ünftige L e h r­

am tskandidaten

a) in M athem atik und P hysik (R e fe re n t: K . R e i n h a r d t . Z itta u );

b) in Chemie u nd in den biologischen F’ächern (R e fe re n t: E. L ö w e n h a r d t , H alle a. S.).

Nachm ittags 3 bis

6

U hr: Abteilungs-Sitzungen.

Abends

1 / 2 8

Uhr : Festmahl (mit Damen) im Hotel B r i s t o l am Bismarckplatz.

(P reis des trockenen G edecks: 3 ¡Mk.)

M i t tw o c h , 22. Mai, vorm ittags 9 U hr: Zweite allgemeine Sitzung.

Diskussion über den H o ch sch u lu n terrich t fü r die kün ftig en L e h re r der m athem atisch-naturw issenschaft­

lichen F äch er an den höheren Schulen.

12 bis 1 U hr: Frühstück im Hause.

1 "bis 3 U hr: Abteilungs-Sitzungen.

Von 4 U hr an: Besichtigungen von Laboratorien und technischen Anlagen in der S tad t.

D onn erstag, 23. Mai, vorm ittags 9 bis 1 0

^{1 2}

Uhr: D r i t t e a l l g e m e i n e S i t z u n g :

V o rtra g von F e l i x M ü l l e r (F ried en au ): Z u r E rin n eru n g an L eo n h ard E uler.

L0 U h r : G e s c h ä f tlic h e S it z u n g . K assenbericht. — W ahl von drei V orstandsm itgliedern an Stelle von L en k , P ietzk er und B astian Sehm id. — B estim m ung des Ortes der nächstjährigen H a u p t­

versam m lung. — A n tra g des V orstandes auf N iedersetzung eines A usschusses, d er dem V orstand zur Seite stehen soll. — A n tra g des V orstandes au f A nnahm e eines etw as k ü rzer g efaßten N am ens für den V erein. — Sonstige geschäftliche A nträge.

N achm ittags: Ausflüge (mit Damen) in die nähere Umgebung von Dresden zur Besich- Anlagen.

tigung industrieller und technischer

F re ita g , 24. Mai: Ausflug (m it Damen) in die sächsische Schweiz

(bei günstigem W e tte r w ird von der B astei aus helio g rap h iert w erden).

Angemeldete Abteilungs -V o rträg e:

M. B r ü c k n e r (B autzen): Z u r G eschichte d er T heorie d er gleicheckig-gleiehflächigen Polyeder.

H . D r e ß l e r (D resden-P lauen): Bewegliche M odelle fü r den m athem atischen und naturw issenschaft­

lichen U nterricht.

E. G r i m s e h l (H a m b u rg ): T hem a Vorbehalten.

B. H o f f m a n n (D resden): U eber V ogelgesäuge als L eitm otive in der Musik.

H . L o h m a n n (D re sd e n ): E lektrostatische V ersuche.

R. N e s s i g (D resden): U eber die G eologie von D resden und U m gebung (ev. m it E xk u rsio n in den Plauenscheu G rund).

H . R e h e n s t o r f f (D resd en ): V ersuche über flüssige und gasförm ige K örper, sowie aus d er W ärm e­

lehre und Chemie.

K . S c h o r e r (M etz): U eber bew egliche M odelle fü r den geom etrischen U n terrich t.

„ U eber F lächengleichheit und A ehnliehkeit.

A. W i t t i n g (D resd en ): T hem a Vorbehalten.

N. N .: R efe ra t üb er die am 21. M ärz 1907 stattfindende Sitzung der naturw issenschaftlichen Gesell­

schaft ..Tsis" zu D re sd e n : Die R eform des naturw issenschaftlichen U n terrich ts an den höheren Schulen.

platz

Alle Sitzungen finden im Gebäude der Königlichen Technischen Hochschule am Bismarek

statt. _________

D as E m p fa n g s b iire a u w ird seinen P latz am D i o n t a g N a c h m i t t a g auf dem H a u p t b a h n h o f, am A b e n d d e s s e l b e n T a g e s , von 8 Uh r ah, i m B e l v e d e r e auf d er B rühlscheu T errasse, von D ienstag ab im G e b ä u d e d e r T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e haben.

Bei dem zu Pfingsten zu erw artenden Frem denzufluss ist eine m ö g l i c h s t f r ü h e A n m e l d u n g u n b ed in g t notw endig. A l l e H e r r e n , d i e ( s e i e s m i t , s e i e s o h n e D a m e n ) z u r V e r s a m m l u n g k o m m e n w o l l e n , w e r d e n a u f d a s d r i n g e n d s t e e r s u c h t , u n te r B enutzung der d i e s e r N u m m e r b e i l i e g e n d e n A n iu e ld u u g s k a rte bei dem W ohnungsausschuß (Prof. D r. W i t t i n g , D resd en -S treh len . W ate rlo o str. 13) m ö g l i c h s t f r ü h i h r e U n t e r k u n f t s w ü n s c h e a n z u m e l d e n .

Eine m öglichst z a h l r e i c h e B e t e i l i g u n g v o n D a m e n ist höchst willkomm en, bei g rö ß erer B eteiligung w ird fü r die U nterh altu n g der erschienenen Dam en noch besonders Sorge getragen w erden.

W ie alljährlich h a t sich auch in diesem J a h r e d er V ereinsvorstand an die U nterrichtsverw altungen solcher S taaten , in denen die Pfingstw oehc n u r teilweise schulfrei ist, m it d er B itte gew andt, die L eitu n g en der einzelnen Schulen zu w ohlw ollender B erücksichtigung der behufs Teilnahm e an unserer V ersam m lung ein­

gehenden Urlaubsgesuche anzuweisen. Von seiten des K öniglich P reußischen K ultusm inisterium s ist dieses Gesuch b ereits durch E rlass vom 15. M ärz d. J . (U I I , Nr. 717) g ew ährt w orden, indem die D irektionen der höheren L eh ran stalten A nw eisung erhalten haben, den T eilnehm ern an unserer V ersam m lung den hierzu etw a n ötigen U rlaub zu bew illigen, sofern dies ohne N achteil fü r die betreffende L eh ran stalt irg en d ' geschehen kann.

A uf die G ew ährung d er anderw eit eingereichten G esuche dürfen w ir nach den bisherigen E rfah ru n g en gleich­

falls hoffen.

D er H au p tvorstan d.

P i e t z k e r .

D er O rtsausschuss.

I. A . : A. W i t t i n g .

P ro b lem e der G letsch erfo rsch u n g.

V o rtrag auf d e r H auptversam m lung in E rlangen.

V on H a n s H e ß in A nsbach.

(Schluß).

Die rasche Ausbreitung- der Druckschwan­

kungen am Rhonegletscher, die auffallenden Geschwindigkeitsänderungen am V em agt, die bis dahin vorliegenden Beobachtungsergebnisse vom H intereis haben mich veranlaßt, eine längst geplante U ntersuchung über das Fließen des Eises in Angriff zu nehmen. Ich kam zunächst

im Anschluß an die Beobachtungen von M c.

C o n n e l zu dem Ergebnis, daß der Koeffizient der inneren Reibung des Eises m it der Dauer der B eanspruchung des M aterials sich verändert.

Ich fand in Uebereinstimmung m it G . T a m m a n n , daß die Ausflußgeschwindigkeit des Eises bei wachsendem Drucke sehr rasch zunimmt und daß auch bei konstantem D rucke ein starkes Anwachsen dieser Größe zu verzeichnen ist.

Um einzelne U nklarheiten, die in diesen Resul­

taten liegen, aufzuhellen und die Ursache für

1 9 0 7 . N o . 2. Pr o b l e m e d e r Gl e t s c h e r f o r s c h u n g. S . 2 7 .

Zunahme der Ausflußgeschwindigkeit bei kon­

stantem D ruck zu finden, nahm ich die Ausfluß- Versuche im letzten W inter wieder auf. Ob­

gleich ich nicht zu einem abschließenden Ergebnis gelangte, möchte ich doch meine bisherigen R esultate kurz darlegen, da ich glaube, daß zur w eiteren Verfolgung der Sache ein besseres Instrum entarium , vielleicht auch größere G eschicklickeit nötig ist, als die, über welche ich verfüge. Mit Verwendung einer kleinen Schraubenpresse (die mir 1895 von Sulzer in Ludwigshafen zum Studium des Strömens des Eises in Röhren gebaut wurde), deren Schraube durch Schnüre, die über eine W alze und zwei Rollen abliefen, bew egt wurde, p reßte ich einen Eiskern aus einem Rohr von 12 mm W eite durch eine Ausfiußöffhung von ca.

⁸

mm. Ich beobachtete das Einsenken des Preßltolbens in etwa lOOfacher Vergrößerung durch das Sinken der Triebgew ichte und fand dabei, daß die Ausflußgeschwindigkeit des

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Eises bei konstantem Druck stetig wächst und m it der Dauer der Belastung immer mehr zunimmt, ohne sich einem stationären W erte zu nähern — also eine B estätigung der früheren R esultate (Fig. 5). Welchen Grund h at diese Erscheinung? Ich vermute, daß ein Teil des gepreßten Eises bei der Pressung geschmolzen wird und daß die Schmelze, welche teilweise in das noch nicht deform ierte M aterial ein- dringen kann, dieses immer mehr erweicht. Zur näheren U ntersuchung habe ich eine Form lierstellen lassen, aus welcher durch verschieden große Ausflußöffnungen das Eis m ittels einer hydraulischen Presse bei verschiedenen Drucken hinausgepresst werden kann. Dadurch wollte ich den Zusammenhang zwischen Ausflußgeschwin­

digkeit, Druck und Größe der Querschnitts­

änderung erhalten, um daraus auf die Menge des beim Ausfließen verflüssigten Eises schließen zu können.*) Als Grenzfall wollte ich den benützen, daß ein möglichst genau in ein zylindrisches Loch passender Stempel auf das Eis d rückt;

dabei ist die Ausflußöffnung sehr klein im Verhältnis zum ursprünglichen Eisquerschnitt.

Die Ergebnisse, welche ich für diesen Grenzfall innerhalb des Tem peraturintervalles 0— 20

0

erhielt, stellt die Fläche Fig. G dar. Einige Versuche m it Tem­

peraturen von — 30, — 80,

— 1 9 1 0 lassen erkennen, daß der C harakter der Fläche auch für tiefere Tem peraturen der gleiche bleibt.

Ich will der Kürze halber, wenn auch der Ausdruck nicht völlig zutrifft, diese Fläche als .,Schmelzfläche“, die in ihr auf­

tretenden Drucke als „Schmelz­

drucke“ bezeichnen. Man sieht, diese wachsen m it der Schmelz­

geschwindigkeit bei konstanter T em peratur und bei konstanter Schm elzgeschwindigkeit m it ab­

nehm ender Tem peratur. Nahe an

⁰

" findet schon bei sehr- niederen Drucken das für diese

A rt des Ausfließens nötige Schmelzen s ta tt; bei tieferen Tem peraturen wäre erst ein ge­

wisser Druck zu erreichen, dam it die Bedingungen des Ausfließens (Schmelzens) auch m it geringen Geschwindigkeiten erreicht -wer­

den. Soweit wäre die Sache

i

i i ii ii i .-j__

F ig . 5. Bel a und b m u ß te w egen der begrenzten F all­

höhe d er T riebgew iehte fü r ku rzeZ eit entlastet werden. a.a1

w äre die F o rtsetzu n g der K urve bei g rö ß erer Fallhöhe.

* U eber die E rgebnisse dieser V ersuche w erde ich später an a n d erer Stelle berichten.

ganz gu t und in schönem Zusammenhang m it meinen und T a m m a n

¹¹

s Ergebnissen über das Fließen des Eises. Verfolgt man sie aber näher, so zeigen die R esultate, daß die zum „Schmelzen“ aufgewendete A rbeit nur zwischen 1 und ca. 30°/0 der zum Schmelzen der verdrängten Eismasse nötigen Wärmemenge liefern kann.

W as am oberen Rande der Preßöffnung au stritt, erscheint als „flüssig“ und lagert sich um den Preßstem pel flach an, um bei niedrigen Tem peraturen in Form eines flachen Ringes zu gefrieren, der durch die nachdrängenden Flüssigkeitsm engen am eindringenden Stempel in die Höhe gehoben w ird (Fig. 7).

k g /cm

²

nachgewiesen hat. Das halte ich für unwahrscheinlich, da nach meinen bisherigen Erfahrungen auch zwischen — 20 und — 25°

die „Schmelzfläche“ keine Unregelm äßigkeiten erkennen läßt, wie sie auf Grund von T a m - m a n

¹¹

’ s R esultaten zu erw arten wären.

I I I .

W as am oberen Rande der Preßform austritt, macht zwar den Eindruck der Flüssigkeit, ist aber nicht W asser, sondern ein Gemisch von Eispartikelchen m it höchstens 3 0 °/0 W asser.

(Die stark w asserhaltige Mischung w ird bei großen Ausflußgeschwindigkeiten, also bei gro­

ßem „Effekt“ erzeugt.) Man hätte dabei einen Vorgang, der m it der Bewegung feuchten Schuttes in Muhren zu vergleichen wäre.

Fig. 6.

Um die Erzeugung der „Flüssigkeit“ zu erklären, welche bei Aufwand einer relativ ge­

ringen Schmelzarbeit entsteht, kommen meines E rachtens folgende Momente in B etracht. I.

Es kann bei der gebrauchten Versuchsanordnung der R est der nötigen Schmelzwärme durch Leitung zugeführt werden. Die genaue W ü r­

digung der Bedingungen ergibt, daß allerdings etw as durch Leitung zugeführt werden konnte;

11111

aber alle nötige W ärme durch Leitung zu liefern, h ätte zwischen dem gepreßten Eis und dem umgebenden (anfänglich gleich tem perierten) Bad ein W ärmegefälle von ca. 3° pro cm ent­

stehen müssen. Das halte ich für ausgeschlossen;

denn nur bei sehr hohen Drucken wäre die Tem peraturerniedrigung durch Druck imstande, ein solches W ärm egefälle zu erzeugen. II. Es wäre möglich, daß in Eis, welches u n ter D ruck steht, auch schon nahe an 0° solche Modi­

fikationen entstehen, wie sie T a m m a n n für Tem peraturen unter 22° bei Drucken von 2200

Fig. 7.

Gleichgiltig, welche E rk läru ng für diesen F all nun die richtige ist — eine Entscheidung kann erst durch sorgfältigere Untersuchungen m it geeigneten Mitteln durchgeführt werden. Ich glaube, sie verspricht nähere Auskunft über den Aufbau des Eises, das im Begriffe der Verflüssigung ist, und dam it auch tieferes E in­

dringen in unsere Kenntnis vom Verhalten anderer plastischer Substanzen.

Eins aber scheint mir sicher. Wenn solch halbflüssiges Eis, als welches ich die bei den Versuchen zu tage tretende Substanz anselien möchte, erzeugt wird, so werden sich in ihm die D ruckkräfte in ähnlicher W eise ausbreiten, wie bei einer Flüssigeit. H ätten w ir also etwa einen Gletscher von 1100 m M ächtigkeit, dessen Basis also unter einem Drucke von rund 100 k g /cm

2

stände, so würde, wenn auch nur die Hälfte der von mir erm ittelten Schmelzge­

schw indigkeit angesetzt wird, bei einer Tempe­

ra tu r von 0° eine Schmelzgeschwindigkeit

1 9 0 7 . N o . 2 . G e o m e t r i s c h e Ab l e i t u n g e n e i n i g e r t r i g o n o m e t r i s c h e r F o r m e l n . S . 2 9 .

von

0 ,0 4 ,

bei einer solchen von — 5° eine Schmelzgeschwindigkeit von

0 ,0 2

nun sec be­

stehen. Das heißt die Basis eines solchen Gletschers m üßte eine derartige Beweglichkeit erhalten, daß seine Dicke sehr rasch reduziert und seine Substanz aus den Gebieten der tiefen Querschnitte sehr schnell in die der weniger tiefen übergeleitet werden m üßte. Mit anderen W orten: Es ist völlig ausgeschlossen, daß G letscher von solcher M ächtigkeit überhaupt existieren oder daß sie auch früher in einem Gebirge existiert hätten, wo nicht die m ittlere Jah res­

tem peratur weit unter der jetzigen gelegen war.

Als maximale Dicke eines Gletschers von Eis m it dem spezifischen Gewicht

0 ,9 1

würde sich ungefähr der B etrag von 5 —

6 0 0

in ergeben.

(Nach den Beobachtungen der „Discovery“ am Rand des antarktischen Inlandeises darf übrigens, wie es scheint, auch die Dicke dieser spezi­

fisch leichteren Eisdecke nicht größer ange­

setzt werden.)

Zur völligen K larstellung dieser Sache ist nun nach meiner Meinung nötig: einmal eine genauere U ntersuchung der „Schmelzfläche“ in der Nähe von 0° und bei geringen Drucken.

Das erfordert entsprechend tem perierte Beob­

achtungsräum e und besondere Apparate. Des weiteren ist nötig, daß w ir uns über die Ver­

teilung der Tem peratur in der Gletschermasse noch besser unterrichten, als es bisher geschehen konnte. W ir müssen erm itteln, wie die Tem ­ peratur des Firnschnees, der wahrscheinlich m it der m ittleren Jahrestem peratur seines A blage­

rungsortes in die Gletschermasse eindringt, all­

mählich bis zur Schm elztem peratur in der Gletscherzunge steigt, Ein Stück zur Lösung dieser Aufgabe hoffe ich in diesem Sommer im Verein mit meinem Freunde B l ü m c k e bei­

tragen zu können.

D amit wären die H auptaufgaben skizziert, welche nach meiner Meinung die Gletscher­

kunde zu lösen hat. Zwei wichtige Erfordernisse muß ich aber noch streifen, erstens die Gewin­

nung der nötigen Geldm ittel, welche erlauben, auch außerhalb der Domäne des Deutschen und Oesterreichischen Alpenvereins solche Un­

tersuchungen zu veranstalten, wie sie hier durchgeführt werden, und zweitens die Ge­

winnung neuer, tatk rä ftig e r Mitarbeiter.

G eo m etrisch e

A b le itu n g e n e in ig e r tr ig o n o m e tr isc h e r F o rm eln . Von P ro f. Dr. C. I b r i i g g e r (S targard i. Pom m .)

Um A A B C — dessen Seiten u nd W inkel in be­

k an n ter W eise m it a, b, c. a, ß, y bezeichnet w erden — sei ein K reis gezeichnet, u n d in diesem der zu A B senkrechte D urchm esser M1 M., gezogen. Um M1 und -V2 seien die K reise m it den R adien M l A und M., A beschrieben, die B C in I ) l und D., schneiden. Dann ist C D l — C D , — l . Z ieh t man fern er C d /,, — wo­

d urch A B in E i und d er K reis J/„ in b \ und F., ge­

schnitten w ird — sowie CM., — wodurch au f A B d er P u n k t E , bestim m t wird — , so ist C E l die H albierungs­

linie w| des W inkels C und C E , die H albierungslinie tr., seines N ebenwinkels.

l '\ F., auf dem durch C in dem K reise M., gezogenen D urchm esser senkrecht steht, so ist

C F i — C F., = | ab.

L e g t man ferner von C an den K reis M l die T angente G'Gj, so ist C G ,- — C D l ■ C B , also auch

CG1 = )rab.

1. W ir p ro jizieren n un CI<\ auf eine d er .Seiten a oder b, etw a au f C A , so ist die P rojektion

C l l — [ab - cos ‘t)

und das P ro jek tio n slo t F ^ I I — [a b ■ •sin',. Der In h a lt d esD reieck s C H F X ist also — « ¿ s in ~ cos l = - a b sin y , dem nach halb so g roß als ¿ ^ A B C . U m C U zu be­

rechnen, fälle m an von den P u n k ten O und 0 3, in denen CM1 den K reis M1 schneidet, d. h. von dem M ittelp u n k t des in A A B C cinbeschriebeneu K reises u n d dem M ittelp u n k t des an A B anbeschriebenen K reises, auf C A die L o te O J und 0 3 K , so ist C J — s — c und C K — s, wo s den halben U m fang von A A B C bedeutet. D ann ergeben sich die P ro p o rtio n e n : C H : C J = C F 1 : CO und C H : CIC = CI<\ : C03, also C m : C J ■ C K = CF[- : CO ■ CO,. N un ist C F ? = ab, CO - C 03 = CG[- = ab, folglich'

C H2 = C J ■ C K = s (* - c).

Z u r B erechnung von I< \II fällen wir von den P u n k te n O., un d 0 1, in denen der K reis M., von C M , geschnitten w ird, die L o te au f eine d er schrägen D rei­

ecksseiten 0 , J ’ und Ot IC , so ist ¿ \ C H F x — ■ ¿ \ 0,- F C —

¿ A O \ K ' C, also 1 1 F x '. J ' C — C F i'. 0->C, sowie H 1<\ : K ' C = C I-\ : O, C. D a ab er C = s — a, IC C = s - b un d 0 - ,C ■ Ol C — C F [- = a b ist, so findet m an H F p* = 0 — a ) ( s — b).

E ndlich e rg ib t sich aus

~ A A B C = l H l< \ ■ H C : A A B C = | '* (* - «) 0 - &) Q — <•)• (I) Da C H2 — s (* — c) — ~r ((u f b)'2 — (~), so ist G’/ f die

4-

N ebenachse b,- einer E llipse m it den B ren n p u n k ten A u nd B und d er H au p tach se flV = -5-(o + h ) ; und da

f \ H - = (,s - a) (« - 7) — ‘ (c2 - {a - bF) ist, so ist /■’, H die N ebenachse e in er H y p erb el m it denselben B rennpunkten .4 und />’ und d er H auptachse

ai, — i (a — b).

D aher A A B C = b ' - b / , .

2. A us d er B etrac h tu n g des D reiecks C H .1'\ findet m an nun leicht, da

C H . y H l \ . y H F , cos i ” C F i “ “ r c i ? [^ = 7 n r

7 b r ■ V b i, , y bi,

cos s .n ~ = ^{-¡== -1} tg 7j — r>

1 (io - | a b - ,>r oder in gebräuchlicher S chreibw eise: ^

■ c) . y \ /(«■— a) ( s — b)

si n — 1

a b - I a b

» i - r (,i)

3. W ir ziehen von C auch die andere T an g en te CG-, an den K reis .1/ ,, so m uß die B erührungssehne Gy G , senkrecht au f C J / ) stehen, und ih r S c h n ittp u n k t m it C M \ bildet zusam m en m it C 0 0 :t v ier harm onische F unkte. Dasselbe g ilt auch von 0 3, 0 , C u nd dem F u ß ­ p u n k t der W inkelhalbierenden C Ey — da 0 und 0 :!

auf den H albierungslinien d e r N ebenw inkel bei .4 liegen

— also g e h t Gy G-, durch E v N un ist

iS, G^{2 = A E y ■ E y B — Hj ■ rj, wo «j u nd r, die A b sch n itte, welche die W inkelhalbierende CEy auf .4 /? b ild et, bedeuten. A us dem rechtw inkligen D reieck

< ’ E i Gi e rg ib t sich also die R elation Ul i \ -j- iCj2 = a b. ( H I a)

A elm lich sind E., C 0., 0 L harm onische P u n k te. E , F., m uß daher den K reis M2 in F , b erü h ren , d. h. auf

F., Mo sen k rech t stehen. B ezeichnet m an die A bschnitte, welche CE-, auf A B bildet, E .,B = u2, E o A - v - , , so findet m an aus dem rechtw inkligen D reieck C E ; F-,

it., v., — um- — a b. ( I I I b)

4. Z u r B erechnung der W inkelhalbierenden CEy und C E ., schlagen w ir folgenden W eg ein. W ir ziehen M y L . L C A , so ist C L — ~ ( a - f - b) = D ann v er­

h ä lt sich C L : C H — C .1/) : CFy. A us dem rechtw ink­

ligen D reieck C G yM y e rg ib t sich nun CM ] = ■ C G L- ■ C E y = a b '. u>y, und da C H = b,-, CFy — ] a b ist, so bekom m t m an

i . —r i 2 1« bn (s — <■) T, r . : b ,- = \ a b ’, w, oder «•, = . ( I \ ai

a4 - b

W ird in analoger W eise von M., au f eine der schrägen S eiten a oder b die S enkrechte g e fä llt, so findet m an a i,: bn — ) a b : w.,. (IV b)

W enn m an einen B rennpunkt der oben erw ähnten E llipse m it einem N ebenscheitel v erbindet, so entsteht ein rechtw inkliges D reieck m it den K ath eten c — -cj c u nd u nd der H ypotenuse «... D erjenige seiner

W inkel, d er d urch die G leichung cos < p = -b e s tim m t£ a,-

w ird, w ird bei trigonom etrischen R echnungen vielfach als H ilfsw inkel eingefiihrt. D ieselbe G röße w ie q> hat, w ie m an aus Form el I V a ersehen kann, C Gy E i.

E ntsprechendes g ilt von d er H älfte i/> des A sym ptoten- w iukels d er H y p erb el, die durch die G leichung t g i / > = — b estim m t ist, und -jr' C F oE .M )

ai,

5. D aß die oben gezeichnete F ig u r zur „A nalysis“

von K onstruktionsaufgaben v erw an d t w erden kann, be­

d a rf kaum der E rw ähnung. Befinden sich u n ter den gegebenen S tücken eines D reiecks ioj u nd a b, so ist

A C Aiy Gy zu zeichnen aus einer K a th e te und dem anliegenden H öh en ab sch n itt. A uch das rechtw inklige D reieck 7’\ F., Gy kann b en u tzt w erden. W enn w., und a b gegeben ist-, ist A E., Mo F., zu zeichnen.

H a n d e lt es sich um die Z eichnung eines D reiecks aus c, r, a b. so sind von A C M i G r die beiden K ath ete n bekannt.

Is t c, r, W y gegeben, so k en n t m an von A C M i Gl eine K ath ete ^{M y} 6) und den n ic h t anliegenden H öhen­

ab sch n itt C E { — woraus sich dann die bekannte L ösung dieser K onstruktions-A ufgabe ergibt.

Die A ufgabe, ein D reieck zu zeichnen aus a -f- b, c, H\ kann d adurch gelöst w erden, daß m an zunächst ein rechtw inkliges D reieck aus d er H ypotenuse

o

und e in er K a th e te — herstellt. H ieraus findet man q> = C&i E i: w odurch, da auch G E \ == ivy gegeben ist, die Zeichnung von A GGy E \ erm öglicht w ird. D a­

durch findet m an C G V — \ a b . M an k an n dann aus a -|- b u nd 1¹ a b a un d b bestim m en; oder, da C F , — ]ral> ist, und C H — be aus dem zuerst gezeichneten rechtw inkligen D reieck entnom m en w erden kann, lä ß t sich H C l’\ = ~ v zeichnen. A nalog w äre die A uf­

gabe a — b, c, w., zu behandeln.

A uch die A ufgabe a, b, Wy oder a, b, w., lä ß t sich h ier anschließen. Z u erst ist [ a b zu zeichnen.

W ird in d er A nfangsfigur JS) m it Dy verbunden, so h a t A Ar B die S eiten Ey B == ^{U y ,} E y D y — ^{V y ,} d er von ih n en eingeschlossene W inkel ist gleich a — ß, und Ey Gy h a lb ie rt diesen W inkel. D as diesem D rei­

eck entsprechende ist B E., D., m it den Seiten u , und v., un d dem W inkel a — ß. D urch die B etrachtung dieser beiden D reiecke können m anche A ufgaben, in denen die R adien d er B erührungskreise gegeben sind, ih re L ösung finden.

Zur F r a g e der K o r r e k th e it v o n G le ic h s e tz u n g e n . V on E . K u 11 r i c h (G era in R euß).

Die K lage üb er In k o rre k th e ite n b e i G leichsetzungen is t eine alte. Solche In k o rre k th e ite n entstehen, wenn das G leichsetzen n ich t scharf g enug g efaß t w ird, wie etw a, wenn m an 3 • 3 = 9 -f- 2 schreibt, s ta tt 3 • 3 -j- 2 ==

9 —j— 2. M an kann ab er beim G leichsetzen im Schul­

u n te rric h t n ich t streng genug sein, und es sei g estattet, einiges, was bei expliziten u n d im pliziten G leichsetzun-

* ) D i e o b i f r e n D a r l e g u n g e n z e i g e n d e n Z u s a m m e n h a n g t r i g o n o m e t r i s c h e r F o r m e l n m i t d e r L e h r e v o n d e n K e g e l ­ s c h n i t t e n . W e i t e r e A u s f ü h r u n g e n h i e r ü b e r f i n d e n s i c h i n d e s V e r f a s s e r s P r o g r a r c m s c h r i f t „ A b l e i t u n g e i n i g e r E i g e n s c h a f t e n d e r K e g e l s c h n i t t e i m A n s c h l u ß a n d i e L e i d e r D r e i e c k s b e r e c h ­ n u n g v o r k o m m e n d e n F o r m e l n 14. G r e i f e n b e r g i n P o m m . 1903 .

1 9 0 7 . N o . 2. Me n g e n l e h r e i m Un t e r r i c h t. S . 3 1 .

gen als In k o rre k th e it zu em pfinden ist, d er R eihenfolge des A uftretens im S ch u lu n terrich t folgend kurz zu besprechen.

Bei D ivisionsaufgaben ist die S c h re ib a rt:

3 1 : 6 = 5

T

u n k o rre k t; die rech te S e ite 'm u ß 5 — lieißcn. Solange b

B rüche noch n ich t e in g efü h rt sind, empfiehlt es sich, zu schreiben = ö 11 ■ 1.

Das Gleichsctzen b en an n te r und unb en an n ter Größen ist zu verm eiden. V erstöße wie ]y = 2 5 £ m linden sich im m er w ieder. G rößen m it verschiedenen lle- nennungen derselben A rt sind in ric h tig e r W eise gleich­

zu setzen , etw a 17 S t. = 17 • 60 M in. und nicht 17 St. 60 = 1020 M in,

Bei R eg eldetriaufgaben ist das G leichheitszeichen o ft ein L ückenbüßer, der zwischen ganz heterogenen G rößen a u f tr itt; etwa

3 1 = 72 P fg . sta tt 3 l kosten 72 P fg., was m an abkürzen k a n n :

3 l k. 72 P fg. oder 3 l ■ ■ ■ ■ 72 P fg .

W enn solche F rag en auf der O berstufe au ftreten , läß t sich auch das A equivalenzzeichen ~ anw enden. Alan schreibe beiA ufgaben d er astronom ischen H im m elskunde

150 — j/-,

um das G leichheitszeichen zu verm eiden.

U nkorrektheiten heim S etzen von K lam m ern und inbezug auf die S tellu n g des B ruchstriches sind rech t störend. E s ist fa lsc h :

3 + 2 : 5 = 2 + 2 : 1 zu schreiben, w ährend es

(3 + 2 ) : 5 = (2 + 2 ): 4 heißen m uß. Falsch ist

o 2

£

anstelle von 2 = -^.

ö o

4 4

B eim A bkürzen d er D ezim albrüche lasse m an n ich t 8,332 = 8,33

schreiben. Alan kann ohne das G leichheitszeichen aus- komm en, z. B. durch U ntereinandersetzen der W erte.

A uch kann hier und in vielen anderen Fällen ein Zeichen w ie --¿a (lies „angenähert gleich“) angew endet w erden.

Bei eingekleideten G leichungen w ird o ft eine L ösung als,abgekürzte D ezim alzahl gew ünscht. H a t m an etw a :

1 'r ~ 3

und setzt dann, w eil die B enennung -1/ ist:

x = 0,33,

so ist dies eine im plizite G leichsetzung von £ u n d 0,33, o

die unangenehm em pfunden w ird. Alan kann durch U eberstreichen des B uchstabens kennzeichnen, daß es sich je tz t um einen A nnäherungsw ert handelt

x = 0,33.

Die E in fü h ru n g besonderer Z eichen fü r den w irk­

lichen un d fü r einen A nnäherungsw ert ist in w eiten G ebieten vorteilhaft. D ie S chüler gewöhnen sich hier­

an leicht. Sie sind B etrachtungen über die F eh ler­

grenze n ich t so unzugänglich, wie vielfach angenom m en w ird. AVesentliche H ilfe h a t m an aus solcher, m anchem vielleicht zunächst pedantisch erseheinenden, S trenge fü r die K läru n g des Begriffes der irrationalen Zahlen.

l n der AVurzellehro ist u n k o rrek t:

| ' 2 " = 1,414 sta tt 1 ,4 1 4 ...,

auch sind H ä rte n d er S ch reib art bei im pliziten Gleieh- setzungen in d er eben besprochenen AVeise zu ver­

m eiden, etw a:

« = | 2"

a = 1 ,4 1 4 .

Bei quadratischen G leichungen zieht m an die beiden L ösungen gern in eine, zwei G leichungen dar­

stellende Form el zusam m en; m an kennzeichne dann ab er diese Zusam m enziehung in k la re r AVeise, etw a:

a und setze n ich t

a i et- , ,

* - _ 2 : 1-17 4 + 6;

analog schreibe m an bei trigonom etrischen G leichungen

tp 1 2 . . . t — rp - j - k ■ 8 6 0 ; k= 1 • • • ■ n .

Bei den L ogarithm en ist cs nach der Definition von 10 log 2 u nkorrekt, 10 log 2 = 0,30103 zu setzen.

G esonderte Zeichen fü r den durch die D efinition ge­

forderten und einen A nnäherungsw ert erm öglichen leicht die V erm eidung solcher U ngenauigkeiten, etwa

f’2 = 0,30103.

Die K larh eit der A uffassung gew innt so.

l n d er G eom etrie ist es em pfehlensw erter 180« — «o, 1800 — 300

zu schreiben s ta tt 2 Ii — a ° ; zu beanstanden ist ,i — «u.

N ur wenn a als arcus bestim m t wird, ist .t — a am P latze. N äherungsw erte spielen bei den AVinkelfunk- tionen eine R olle. U nkorrekt is t es, sin 600 = 0,8660254 zu setzen; man untersch eid e:

sin 60° = * 1 3 sm 60° = 0,8660254,

auch kann m an sich d urch A nhängen von P u n k ten an den A nnäherungsw ert helfen. A us sin a = 0,4 folgt n ich t in g leich er AVeise a = 23° 34,7', w ie aus tg/> = l sich /f = 45° ergibt. Aian kennzeichne den A nnähe­

rungsw ert, d. h. « = 23° 34,7'.

M e n g e n le h r e im U n t e r r i c h t ? B em erkungen von Dr. K u r t G e i ß l e r (Luzern).

Der V o rtrag H . A V i e l e i t n e r ’s (Jb rg . X II, No. 5, S. 102) stellt sich au f den Standpunkt, als ob die Alengen- lehre eine unzw eifelhafte E rru n g en scliaft der W issen­

schaft w äre. E r sagt zw ar, die Begriffe seien erst seit etw a 30 J a h r e n „in d e r K läru n g begriffen“, will aber doch überraschend einfache „G rund W a h r h e i t e n “ vor A ugen füh ren und m öchte d am it „b ek an n t m achen“ ,

„w eil viele von diesen D ingen in engster B eziehung zum U n te rric h t steh en “. Es lieg t also die A bsicht vor, solche Sätze wie die „gleiche A lächtigkeit aller K on­

tin u a “, die „überraschende und trotzdem leicht ver­

ständliche AArah rlieiteu “ seien, w enigstens in den U n ter­

ric h t „einzustreuen“, dem „Schüler so Zusam m enhänge aufzudecken“ und „U nterbrechung in d ie unverm eidliche E in tö n ig k eit trig o n o m etrisch er etc. U ebungsaufgaben“

zu b ringen. F reilich w ird noch n ich t geradezu ver­

langt, daß m an der Aleinung beipflichte, „all das soll unbedingt in den U n te rric h t der entsprechenden K lasse und jedes J a h re s aufgenom m en w erden“, ab er es w ird sogar gew ünscht, daß in „hoffentlich n ich t m ehr zu langer Z eit eine neue L eh ro rd n u n g käm e“ und b eh au p ­

+ b

tet, daß dieselbe m it solchen M itteln eine A enderung bringen könne, wie sie dem „W unsche der M athe­

m atiker aller N ationen“, d er G esellschaft D eutscher N aturforscher und unseres V ereines entspräche. Da scheint es m ir im m erhin an d er Z eit zu sein, einem solchen ernsthaften V ersuche und den iu jen em V or­

träg e gegebenen M itteln k ritisch n äh er zu treten und n ich t einfach stillschw eigend scheinbar beizustim m en, als ob au d er M engenlehre g a r nichts auszusetzen und m eh r zu bezw eifeln w äre. Das g ilt sicherlich höchstens von einer bestim m ten R ich tu n g h eu tig er M athem atiker und B ücher, welch letztere im V ortrage „m odern“ ge­

n a n n t w erden. E ine eingehende K ritik d er M engenlehre e rfo rd e rt m eh r R aum , als die Z eitsch rift gew ähren kann, eine R ech tfe rtig u n g derselben m ehr Raum , als ein V o r­

tr a g geben kann; ab e r d er B ehauptung, diese L eh re gebe unzw eifelhaft W ahrheiten, kann zunächst ebensogut entgegengesetzt w erden, die G rundbegriffe wie d er der M ächtigkeit, die „einfachen S ätze“ darüber, die Defi­

nition und Auffassung des U nendlichen darin wären u n rich tig oder sehr zw eifelhaft. Ic h kann h ie r n u r auf die V ersuche d er D arstellung fü r die S chüler eingehen, wie sie d er V o rtrag g ibt. F ü r die E in fü h ru n g d er negativen Zahlen etc. w ird die äußerlich form alste A rt gew ählt, die sieh denken läß t, d er aber keineswegs von allen M athem atikern o d er L eh rern gehuldigt w ird.

a — b, wenn b > «, soll ein „bloßes Sym bol sein, das andeutet, daß w ir etw as U nerfüllbares v erlan g t h a tte n “ und es soll ihm eine B edeutung n u r „b eig eleg t“ w erden.

D am it h arm oniert freilich die A rt, wie b ei vielen N eueren, auch iu dom V o rtrag e, zahlenartigen 'Vorstel­

lungen geom etrische N am en wie „L in ie“ beigelegt w er­

den. Die Sym bole -f- co und — co und P feile auf der L inie der positiven un d negativen Zahlen sollen „unbe­

denklich dem S chüler an d eu te n “, daß in der einen R ich tu n g „sozusagen eine positiv unendlich große Zahl, in d er anderen eine negativ unendlich g ro ß e Zahl Hegen w ird “. D aß m an links und rechts von „e in e r“ sprechen könne, ist dem S chüler denn doch keineswegs selbstver­

ständlich, diese A ngabe auch n ic h t unbedenklich. W ie aber soll die an erkannte S chw ierigkeit e n tfe rn t w erden, daß

„diese beiden G renzzahlen durch die m ysteriöse U n- endlickeit wie durch eine gähnende K lu ft g e tre n n t zu sein scheinen“ . Dazu w ird ein K reis benutzt, weil ja die A u ftrag u n g der Z ahlenreihe au f eine G erade will­

kürlich war, und zw ar „ebensogut“ ein K reis. Dies soll ab er eine n u r praktische Sache sein, m an nim m t die Bogen 0 — l, 1—2 etc. durch passende S trahlen (Fig;.

S. 103) n ich t gleich, sondern, weil dies „ u n p rak tisc h “ sei, so daß sie im m er k lein er w erden, die P u n k te für die positiven und negativen Zahlen sich w ieder nähern, s ta tt wie bei d er G eraden im m er m eh r auseinanderzu­

weichen und m an nun in dieser A b bildung w irklich ein einziges gem einsam es E nde, P u n k t Q fü r -j- oo und

— co h erstellt. Dies ist au f jed en Fall eine W illkür, g em acht zu den genannten bestim m ten Zwecken, es ist eine bloße W illkür, liegend in d er W ahl eines K reises und des P u n k tes P au f ihm. H ierbei n atü rlich laufen die P u n k te, die m an m it den Zahlen bezeichnet, zu einem zusam m en. N un aber soll der Schüler, der noch n ich t w eiß, w arum m an von e i n e m unendlichfernen P u n k te der G eraden spricht, dem auch nicht diese Redeweiäe als absolut b erech tig t hingestellt w erden d a rf (m an kann diese B erechtigung sehr anzweifeln), rech t k lar sehen, wie m an -j- oo und — oo einem einzigen

„unendlichfernen P u n k te d er G eraden“ zuweisen kann.

Das ist gew iß kein U eberzeugen und N achweisen solcher

B erechtigung, sondern bloß eine E rleichterung, um etw as B ehauptetes, wovon etwa d e r betreffende L eh rer überzeugt ist, g la tt eingehen zu lassen. U nd dann soll diese V orstellung w ichtig sein, um die Schw ierigkeit des U nendlichen bei tan 9 0° und ta n 270° verstehen zu lassen. W as „n u r auffalle“, die U ngleichheit der S trecken fü r 0 — 1, 1 — 2 usw. auf dem K reise für gleichgroße Z ahlen — ein F eh ler, d er einen Schüler freilich geradezu vor den K o p f stoßen m uß — w ird nun w eiter gerado fü r einen V orteil erk lärt.. Die W ill­

kür, daß m an die P u n k te fü r die Z ahlen 1, 2 , 3 usw.

a u f d e r G eraden in gleichen A bständen w ählt (wenn das eine W illkür ist, wozu tu t m an es denn regelm äßig?

Doch wohl, um die tatsächliche G leichheit d er arith- m etrisclien Differenzen 1 — 0, 2 — 1, . . . darzustellen) w ird nun durch die neue W illk ü r klar gem acht, daß m an a u f dem K reise so auffallend verschiedene Bogen w ählt, die bis zu N ull oder d er P u n k tg rö ß e hinab- gehen. Alan soll nun d afü r einführen, daß die un­

gleichen B ogen n u r „im gew öhnlichen Sinne ungleich seien, a b er daß es b e g r i f f l i c h vollkom m en frei stehe, gleichen Zahlendifferenzen auch a u f dem K reise gleiche Strecken zuzuw eisen“ (bei E rfü llu n g od er N ich terfü llu n g des A rchim edischen A xiom s ist von gleichen S trecken die R ede), und nun soll m it dem P u n k te Q und den

„du rch D e f i n i t i o n als gleich b e t r a c h t e t e n Bogen 0 — 1, 1 — 2 usw.“ die F ig u r eine vorzügliche Illu ­ stration fü r eine Alessimg geben, bei der das A rchi­

m edische A xiom nicht e rfü llt sei. Ich b egreife nicht, wie m an a u f diese W eise etw a den m athem atischen U n te rric h t gelegentlich w eniger trocken m achen soll, ohne den ju n g e n G eistern die U eberzeugung von der logischen S tren g e d er M athem atik zu nehm en.

Die M äch tig k eit ferner, dieser „grundlegende Be­

griff' für die ganze M engenlehre“, w ird mm den Schülern k lar m achen, daß u n te r U m ständen „d er T eil gleich dem Ganzen sein k a n n “. D er Aro rtrag behauptet, diese

„B eziehung“ sei dem S chüler nicht frem d, und erinnert an die harm onische T eilung einer S trecke A l l durch einen inn eren P u n k t 0 und äußeren 0 ', wenn AO — liO also A B h alb iert w ird ; dann sei auch das Ganze A 0 ‘ gleich dem Teile BO', da 0' ins U nendliche gerü ck t sei. D ie Zusam m enstellung, die liier bei H eranziehung des U nendlichen gelten soll: „es ist A O '= BO' bezw.

AO' — B O '— A B “ ist einfach unsinnig und n ich t bloß fü r einen Schüler, sondern in dieser einfachen Form m it „ist“ auch fü r den Erw achsenen, wie ich behaupte.

W enn m an auch das U nendliche (Transfinite), die K ardinalzahl, die A lächtigkcit etwa, wie m anche wollen, n u r durch Definition schaffen will, so muss doch auch die Definition der L o g ik entsprechen, u n d zw ar fü r den Schüler einer klaren L ogik, und diese d a rf nicht üb er­

gangen und in geschw ächtes A nsehen gesetzt werden d u rch die B ehauptung der A löglichkeit einer D efinition, m it der m an einen Satz fe rtig bekom m en kann w ie : D er T eil ist gleich dem Ganzen. Bei d er harm onischen T eilung en tsteh t dies scheinbare R e su lta t einfach durch falsche A uslegung, uioht ab er etw a durch klares E in ­ sehen seitens des Schülers, d er große Schw ierigkeit findet.

S tellt m an die harm onische T eilung durch ähnliche D reiecke her, so ist solche H erstellung keineswegs die­

selbe und gleich k lar fü r den F all, daß m an 0 als A litte von A B n im m t; d er auf 0 ' führende S trah l ist parallel, und es tauchen die Schw ierigkeiten des U n­

endlichen und d er P arallelen a u f; m an d a rf durchaus n ich t einfach wie vorher a u f „G leichheit“ vou AO' uud BO' schließen, weil AO und BO gleich sind! D ie

1 9 0 7 . N o . 2 . Me n g e n l e h r e i m Un t e r r i c h t. S . 3 3 .

von A aus ins U nendliche gehende G erade ist ganz augenfällig n ich t gleich d er von B aus nacli derselben Seite ins Unendliche gehenden, sondern um das sinn­

lichvorstellbare S tü ck A B davon verschieden. E s ist durchaus nötig, h ie r den Seinsgegensatz von Endlich (Sinnlichvorstcllbar) und U nendlich (U ebersinnlichvor- stellbar) anzuerkennen und n ich t einfach zu sagen, der

„T eil“ s e i gleich dem „G anzen“. N ach m einer L ehre von den AYeitenbehaftungen w ird die G leichheit nach AVeitengebieten definiert, n ic h t absolut, d er M ittelp u n k t 0 wie je d e r P u n k t ist n ichts absolutes, nicht ohne jed e A usdehnung (wie die L in ie n ich t ohne je d e Dicke ist), sondern der A littelpunkt 0 g eh ö rt der niederen W eiten- b eh aftu n g an, ist von uncndlichklciner G röße u nd w ird als P u n k t ohne G renzen (unbegrenzt klein) vorgestcllt (weil er sonst eine unendlichkleine S treck e oder ein un­

endlichkleiner K ö rp e r wäre).' Also n u r fü r E ndliches lieg t H alb ieru n g vor, bei H eranziehung des U ntersinn­

lichen, ü b erh au p t ein er anderen W citenbehaftung da­

m it noch nicht. N un v ersteh t man, w arum bei H e ra n ­ ziehung d er höheren B ehaftung ( 0 ' liegt im U nendlichen) auch d o rt n ich t von ein er absoluten G leichheit die Rode ist, sondern AO' u nd BO' n u r fü r die bloße V orstellung des U nendlichen (erster O rdnung) gleich sind, n ich t aber fü r gem ischte B ehaftung, wobei m an auch das E n d lich e A B hereinzieht (was fü r das U nendliche allein P u n k tg rö ß e hat). Freilich, die M ächtigkeit w ird in dem V o rtrag e — fü r den S ch ü ler? — auch n u r zaghaft e in g e fü h rt: „so etwas wie eine Z ahl im w eiteren Sinne“,

„sozusagen die A nzahl aller positiven Z ah len “ ; und dann müssen w ir „sofort definieren“ . W ie w ird das U nendliche u n d die A lächtigkeit in d er A lengenlehrc d efiniert? C antor sagt (Z ur L eh re vom Transfiniten, S. 2 4 ): „Ich uenne zwei Alcngen M und N äquivalent, w enn sie sieh gegenseitig ein d eu tig E lem en t fü r E le ­ m ent einander zuordnen lassen.“ D en A llgem einbegriff A lächtigkeit erh alte m an, wenn m an n u r au f das R ück­

sicht nim m t, was allen Alcngen gem einsam ist, die m it M äquivalent sind (und wenn m an von aller Beschaffen­

h e it und aller O rdnung der Dingo absieht). Beim E n d ­ lichen sei es die einfache A nzahl, beim U nendlichen a b er soll die Alenge eine Teilm enge von gleicher M ächtigkeit enthalten. D edekind will g ar von unend­

lichen Alengcn ausgehen und dann e rst das E ndliche d ad u rch definieren, daß es n ich t unendlich sei. B ol­

zano wie die beiden G enannten erk an n ten wohl die Schw ierigkeit, welche das U nendliche m it sieh bringt, ab er sie gerieten auf Begriffe un d eine T heorie, welche fü r ju g en d lich e G eister ganz besonders schw ierig er­

scheint und bei w elcher cs n ich t abgeht ohne große W illkür in der Definition, ohne künstliche Schaffung von Begriffen, die an sich wie in ih ren Folgerungen stark en Zw ang an der natürlichen L ogik verlangen.

F ü r den U n terrich t ist dergleichen gew iß am w enigsten geeignet, die Versuche einer leichten D arstellung im g enannten V o rtra g e scheinen m ir auch w eiterhin w enig geglückt, was w eniger am G eschick des \ rerfassers als an d er Sache liegt. Den S chülern soll „leicht zugäng­

lich sein, daß die E bene c2 G erade, der R aum c3 Ebenen, aber cl G erade e n th ä lt“. Dies „E n th a lte n “, dies „V o r­

h andensein“, dies „ I s t“, das „E videntm achen“ durch A bbildung, fü r welche doch erst hinreichende B erech­

tigung nachzuw eisen w äre, das D efinieren m it räu m ­ lichen N am en, wo in W ah rh eit nichts R äum liches vor­

liegt, sind R ie w unden P u n k te der L ehre. Alit dem AVorte P u n k t und der D ichtigkeit w ird ein Spiel ge­

trieben, welches äu ß erst w enig w irkliches A 'erständnis

bei Schülern finden w ürde. Daß sich die L eh re auf U nendlichkleines n ic h t erstreckt, m uß äußerst b e fre m d e n ; soll der Schüler, dem das sofort in den Sinn kom m en m uß, die G ründe einselien, welche dafür gegeben w erden?

C antor nennt (L ehre vom Transfiniten, H alle 1890) die A uffassung d er D ifferentiale, „als w ären sie bestim m te unendlichkleine G rößen“, einfach eine V erw echslung von Begriffen und b eh au p te t ohne Beweis, „daß sie doch n u r v eränderliche beliebigklein anzunehm ende H ilfs­

g rößen sind, die aus den E ndresultaten der R echnungen (natürlich w enn m au bloß endliche R esu ltate gelten läßt!) gänzlich verschw inden“. D ie A fengenlehre g eh t m it d er L ehre von den G rcuzbegriflen in vieler B e­

ziehung H an d in H a n d ; der S chüler a b er m uß sieh sehr w undern, daß nach unten hin n u r L im esw eite gelten sollen, nach oben hin ab er so sonderbar und un­

logisch definierte H inge wie die transfiniten Zahlen.

Soll m an m it G ew alt vom S chüler verlangen, zu glauben, es gebe so etwas, daß die ganze Alenge d er T eilm enge E lem ent fü r E lem ent zugeordnet w erden könne ohne R e s t? Die geom etrischen B eispiele sind, wie oben bei d er harm onischen T eilung angedeutet, leich t anders erk lärb ar, fü r die Zahlen w ird es ganz entsprechend durch B ehaftungen ausgeführt, ohne daß doch B e­

hauptungen aufgestellt w erden, w ie heim B eispiele, das C antor (ebenda) g ib t: Zwischen 0 und 5 lägen unend- lichviele Zahlen, ebenso zwischen 0 und 12 und doch seien die ersteren ein Teil d er letzteren. Dies E x i­

stieren w ird angenom m en, das U nendliche soll ein „in sich festes, konstantes, jed o ch jen seits aller endlichen G rößen liegendes Q uantum b ed eu te n “. U nd nun sollen solche verschiedenen unendlichen Alengen einander zu­

g eo rd n et w erden a u f G rund der F estsetzung ö y = V2 x , wo y zwischen 0 und 12, x zwischen 0 und 5 liegen soll. E s ist freilich selbstverständlich und leicht fü r jed en Schüler, daß hei d e r A nnahm e eines W ertes von y z. B. gleich 12, bei d er R echnung auch ein e n t­

sprechender W ert von x h erauskom m t; a b er das un- cndlichviele einfach da seien und zw ar verschieden viele, das ist keineswegs einleuchtend. E tw a w eil von 0 bis 12 m eh r E in h eiten sind als von 0 bis 5 ? D araus kann m an au f E xistenz von entsprechend unterschiedenen unendlichen M engen n u r schließen, wenn m an eine A r t von m ystischer E xistenz annim m t, sta tt k lar u nd d eu t­

lich logisch die Z ahlen zu bilden. C antor allerdings n im m t seine Beispiele aus dem Z ahlengebiete, dem R aum e und der N atu r (die G esam theit aller streng­

p u n k ta rtig — was heißt d as? — vorzustellenden AIo- naden, welche zum P hänom en eines vorliegenden N atu r­

körpers als konstitutive B estandteile b eitrag en (S. 42, 43)); er stellt sich da „ E n titä te n “ oder R ealitäten vor und will dann von den E n titä te n absehen, von den E igenschaften u nd ih rer O rdnung, um bloß noch etwas ü b rig zu behalten, was m an nun definieren m uß. A ber die G esam theit aller endlichen ganzen Zahlen, aller au f einem gegebenen K reise l i e g e n d e n P unkte, setzt trotz allen Definierens doch noch etw as Seiendes, L iegendes, E xistierendes voraus, w enn auch im Geiste, und dieses bekom m t nun einen n ich t m inder mystisch erscheinenden C harakter dadurch, daß n ich t m ehr gelten soll: totum est m aius sua p artc. Daß m a n zu solchen B ehauptungen gelangen kann, is t begreiflich, w enn m an die tatsächlichen, n ic h t durch D efinitionen geschaffenen o d e r w egzuschaffenden Schw ierigkeiten des U nendlichen in vielen Problem en kennen g elern t h a t ; daß m an aber eine solche L eh re als schulm ässig, logischbildend bei lernenden ju n g en G eistern oder g ar als bloße E in -

Streuung zu r E rfrisch u n g em pfiehlt, w ird m an selbst dan n u ic b t billigen können, wenn keine andere A uf­

fassung und ausgeführte L eh re fü r das U nendliche da ist.

D ie ein em D r e ie c k e in g e s c h r ie b e n e n H a lb k r e is e u n d d ie ih n e n e n ts p r e c h e n d e n A u s s e n k r e is e in ih r e n B e z ie h u n g e n z u a n d eren D r e ie c k s k r e is e n .

Von T h . H a r m u t h (G roß-L ichtcrfelde).

E s sei A D die H albierungslinie des D reiecksw inkels C A B , A E die H albierungslinie des ihm b en achbarten

A ußenw inkels, es seien ferner D F und DG, E F , und E G X auf die D reiecksseiten A C resp. A B gefällte L ote und es sei angenom m en, daß a > b > e ist. D ann ist D F = DG R adius eines K reises, dessen M ittelp u n k t au f a u f ein er Dreieoksseite («) liegt und d er die beiden anderen S eiten (b u nd e) d ire k t b erü h rt. S olcher K reise, d e re n H ä lfte also innerhalb des D reiecks liegt, g ib t cs fü r jed es D reieck d re i; ihre R adien m ögen m it g'„, g’b, o'c bezeichnet w erd en , je nachdem der M ittelp u n k t a u f a, b oder c liegt.

D ann is t nach der üblichen Bezeichnung

a b c p'„ (b + c) , , a b e 2 A

2--- ’ als° g “ = 2 r ( 6 + c) = H ^ ; 2 A _ 2 A ^

a fl-c’ ' a + b'

Es ist also zunächst p’„ : g' b = (« + c) : (b -j- <_•).

F e rn e r ist

1 b -f- c

usw., also aualog ^q'i, --

p '« 2 A

J _ , J - , 1 = 2 (« + b + c) :

p'o o'l, ' o ' c 2 A A

Die V ergleichung der R adien dieser K reise m it den R ad ien d er B erührungskreise e rg ib t folgende B e­

ziehungen :

8«

2 A A

i - j - c ’ ~ s ’

A q j i .

S a

s b -f- c -j- a

1 = b - r - c ~ ’

_ bAy-c — a

~ b + c ■ g b -

_ 2 ( * - a ) - a oa b — c

D araus fo lg t durch A d d itio n u nd S u b tr a k tio n : p T . p L 9 ? '« p '« 2 «

g g„ ’ g o„ b -f- c

B ezeichnet m an die R adien d er Apollonischen a b c

K reise m it r a, r k, r c, so ist r., a b c a b c

D araus folgt

2 r (b + c) ¿2 - o'c

r e

. ? » c - ’ r„

a — b

~ ~2 r ‘

also

b t r

b — c ^q'i, a — c

— 27 ~ r b 2 r

Q a , O ,. Ob

»•« >'c ~ r b

r, , , . 2 A , bc sm «•

Z u satz: Aus o „ = lo lg t d ire k t o --- b - f c ° ' b + c

fü r welche G leichung n atü rlich keine zyklische V er­

tauschung zulässig ist.

W enn die M aßzahlen der D reiecksseiten eine arithm etische R eihe erster O rdnung bilden, so ist, wenn die Differenz derselben d g e n a n n t w ird,

b = c + cl, a = c -f- 2 d, also 1 _ _ ‘2 c - \ - d 1 _ 2 c -j- 2 tf 1 _ 2 c + 3 d p ' * ~ 2 A 1 gr„ ~ 2 A ’ p'< — 2 A ’ d. h. die reziproken W o rte dieser R adieu bilden dann ebenfalls eine arithm etische R eihe erster O rdnung, deren Differenz gleich ist. F ü r den R adius des K reises,

2 A

d er zu d er zw eitgrößten S eite g ehört, fo lg t dann

1 , 1 1 3 1 1 - 2

- r + + -.~ = -v - oder — --- = —

Q a Q b Q c 2 h Q t l Q c Q b

also o’i, = -3 A

D ie V ergleichung dieser R adien m it denjenigen d er A pollonischen K reise g ib t dann noch die Beziehungen

aber

Es ist w eiter E Fy = EGy R adius eines K reises, dessen M ittelpunkt auf der V erlängerung einer D rei­

ecksseite (a) liegt und der die beiden anderen S eiten (b u nd c) bezw. ihre V erlängerungen b erü h rt. A uch h ier sei a j> b j> c.

E s ist B E — also b — c EGy = B E sin ß -■

a — b

■ b = a — c b — c 2 r

B ezeichnet m an diesen R adius m it g"„, so ist also

a b c 2 A „ 2 A „ 2 A

p « = ö—2 r (b — c) T,— A — 7.b — c ---> e » —--- > P ~~ —a — c Aus d er identischen G leichung b — c + a. - folgt dann

_l + _l = 4 - ,

Q a Q c Q b

welche G leichung w ieder wegen a b~J> c keine zyklische V ertauschung zuläßt.

A us der V ergleichung dieser R adien m it denjenigen d er B erührungskreise e rg ib t s ic h :

p ^{2 A} A #•'

s ’ o

A q"

b — c 2 (s —• a)

•ja --- , — .

s — a Qa b C

u nd durch A d dition bezw. S ubtraktion dieser G leichungen p " a , e"a 2 (ö + c) g"„ g"„ 2 a

p p« b — c p Po b — c

Die V ergleichung m it den A pollonischen K reisen fü h rt zu dem R e su lta t:

a b c a b c o"„ b -\-c g"b a - \- c

~ ^{' 1} “ 2 r (ö - - c) ’ b- — c2’ j’o 2 r ’ r b 2 r g"c a + b , also _, p”o , g”b , g”c + _ + 4 s 2 s E ndlich findet m an zu den im ersten Teile dieser A rb eit behandelten K reisen bezw. deren R adien die B eziehung

p'o : p”o = {b — c) : (6 - f c).

1 9 0 7 . N o . 2. Ne u e Be r e c h n u n g d e r Be i t e d e s r e g u l ä r e n Dr e i s s i g e c k s. S . 8 5 .

F ü r den F all, daß b — c —f- c?, a = c - \ -2d ist, d. h.

daß die M aßzahlen d er D reiecksseiten eine arithm etische R eihe erster O rdnung' bilden, ist a — b = d , h — c — d,

■aber a — c = 2d, also

,, a b c a b c ,, a b c

Q a —— 77 j j Q h — ■ Q c -—1 77

2 v d 4 r a 2 r d

also ist dann o"a = g"c = 2 o"*.

A us und den beiden analogen G leichungen

r„ 2 r

fo lg t dann

o"„ 2 c -f- d p” 4 _ 2 c -|- 2 d 2 c 3 d 2 )■ 1 ?•,, 2 r ' r c 2 r ’ d. h. die Q uotienten ^-2, - —, bilden eine arithm c-

1 ' h

tische R eihe erster O rdnung, deren Q uotient gleich

N e u e B e r e c h n u n g der S e it e d e s r e g u lä r e n D r e is s ig ­ e c k s n e b s t d a m it z u s a m m e n h ä n g e n d e n B e z ie h u n ­ g e n z w is c h e n den z u 12°, 2 4 u, 3 6 ° , 8 4 ° , 1 0 8 ° ,

1 3 2 ° u n d 1 5 6 ° g e h ö r e n d e n S eh n en . V on 0 . S c h n e i d e r ( Langendreer).

A us der S eite des regulären Fünfzehnecks i r — 7=—

%l0= = 2 - ¡.'7 — | ß — j 30 — 6 | 5

( R o i d t , P lan im etrie) lä ß t sich m it H ilfe einer be­

kan n ten F orm el die Seite des regulären Dreißigecks leich t berechnen.

(vergl. U n terrich tsb lätter 1904, N r. 1), w obei der R adius des K reises — 1 angenom m en und a die Sehne des zu teilenden W inkels ist. Is t -r. A O B — 36°, so sind die 3 W urzeln der G leichung, wie leicht ersichtlich, die zu 12°, 108°*) u nd 132°**) gehörenden Sehnen. Das Produkt, der W urzeln ist gleich dem m it x n ich t be­

hafteten G lied d er G leichung, a ls o :

*12" ' ®ios° ‘ *132“ — *'»>" ° d e r 8i e " ' s i08° ‘ ' * 3 8 °= *36° ”■

Da aber slüH" - s 38n = l ist (vergl. U nterr.-B l. 1905, N r. 1), so fo lg t:

*12 ' *’l32 — *3S~>

d. h. d i e . S e i t e d e s r e g u l ä r e n Z c h n e c k s i s t d i e m i t t l e r e P r o p o r t i o n a l e z w i s c h e n d e n z u 1211 u n d 132° g e h ö r e n d e n S e h n e n .

Is t in d er G leichung x3— 3 a i - j - a = 0 a die zu 108° gehörende Sehne, so sind die 3 W urzeln der G le ic h u n g :

Ä:«iü ) * 8 4 ° 1111(1 * 1 3 « Ü-

M ithin s3(. • s8, • — s 10g, 0(ler *3«' *31' *15« ' s ios — *|0S2;

oder ‘ *13« ~ *tos~>

d. h. die zu 108° gehörende Sehne ist die m ittlere P roportionale zwischen den zu 84° und 156° ge­

hörenden Sehnen.

F ig. 2.

Es ist fern er:

*132“ — d — *48“

= 4 — «¿i" ( d — ■‘'¿ r )

= 4 — 4 «2|- -f- «214

oder

SJ32 = |'4

—

4

*

²⁴

"

+

*24

*

*132— ^ — *24J

* 1 3 2 = 2 — *21"

= 2 - s122 (4 — s122)

*132 = 9 — 4 *,.,2 - f gp,4- M it H ilfe d er G leichungen: s12 • si32 = «g,.-,

*132 — “ — 4 S] 2" -f- *,2

und s123 — 3 Sj2 -f- Sgg = 0

lä ß t sich Aj, berechnen.

0 = s]2- — 3 s12 -f- %;

0 = *]■)' — 3 Sj.j“ S‘,o S'-Jj;

*.32 = *124 ~ 4 V + 2 ' •

4

ICE 132.

o o

1/ q 1, 10 ~ 7 -{- | 5 -f-1'30 — 6 I' 5 4

F ig . 1.

M an erh ält a b er eine w eit einfachere Form el für -Sj.,» u n te r B enützung der zwischen sI2", s2pj, *36“) *108“

und s132" bestehenden B eziehungen.

D ie T risektion eines W inkels fü h rt bekanntlich auf -eine G leichüng dritten G rades. D ie allgem eine F orm

■dieser G leichung is t:

x3 — 3 x - |- o = 0