Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 7, No. 2

U n te rric h ts b lä tte r fü r M a th e m a tik u n d N a tu rw is se n s c h a fte n . J a h r g a n g V II, No.

2

.

IsTachniii

U n v e rm u te t endigte am 31. März d. Jrs. ein H erzschlag das Leben des Geheimen R egierungsrats und D irektors des D orotheenstädtischen Realgym na­

siums, designierten S tadtschulrats zu Berlin

B e rn h a rd Schw albe.

Im Begriffe, eine langjährige segensreiche T h ätig keit m it einem neuen grösseren W irkungskreise zu vertauschen, in der M itte.seines sechzigsten Lebens­

jahres ist er uns durch einen jähen Tod entrissen worden. W as das ganze U nterrichtsw esen unseres V aterlandes, zu dessen ausgezeichnetsten V ertretern er gehörte, was insbesondere der exaktw issenschaftliche U nterricht an dem Heim­

gegangenen verliert, das ist kaum in W orte zu fassen. Mit besonders tiefer T rauer stehen an Seiner Bahre ‘ der Verein zur F örderung des U nterrichts in der M athem atik und den N aturw issenschaften, dem er als M itgründer und V orstandsm itglied von Anbeginn angehört hat, wie das Organ dieses Vereins, . das u nter Seiner M itw irkung geschaffen und bis zu der heutigen, noch Seinen Namen an "der'Spitze tragenden Nummer von Ihm m it herausgegeben worden ist.

Die Fülle des Dankes, die der Verein und sein Organ Ihm schulden, tritt schon äusserlich zu Tage durch die stattlich e Reihe der gehaltvollen A rtikel aus Seiner Feder, die das Vereins-Organ vom ersten Tage seines Bestehens an ge­

bracht hat, wie durch die grosse Zahl von V erträgen aus Seinem Munde, über die fast bei jed er Vereins-Versammlung berichtet werden konnte, en th ält ja doch das Program m der zu Pfingsten d. .Jrs. in Aussicht genommenen Versammlung auch w ieder die Ankündigung eines Vortrages, den nun in W irklichkeit zu hören uns nicht mehr vergönnt sein wird. A ber Seine B edeutung reicht w eit darüber hin­

aus. W ar E r es doch, der durch die eindrucksvolle M acht Seiner Persönlichkeit, durch den Reichtum Seines, alle Gebiete der geistigen A rbeit und der Lehr- th ätig k eit m it tiefem Verständnis und weitem Blick 'umfassenden Geistes das lebendige Bild dessen gab, was die m athem atisch-naturw issenschaftliche Bildung zu leisten fähig ist, w ar es doch Ihm infolgedessen vergönnt und beschieden, für die Anerkennung dieser Bildung mehr als irgend ein A nderer ein th ätig er Förderer zu sein. Der sichtliche F o rtsch ritt, den diese A nerkennung in der neuesten Z eit gem acht hat, darf zum guten Teile als Sein Verdienst angesehen werden.

Die Lücke, die Sein Scheiden schafft, ist gross; wie sie auch nur annähernd ausgefüllt werden könnte, ist zur Zeit nicht abzusehen. Aber als ein Trost darf das Eine ausgesprochen w erden: Die W irksam keit des V erewigten w ar so stark und so tiefgehend, dass ihre Spuren nicht werden verloren gehen können.

W ie er im Leben in T h at und S chrift ein Vorbild der L ehrer war, so wird Sein Geist auch nach Seinem Tode dauernd fortw irken.

E h r e S e i n e m A n d e n k c n !

J a h r g a n g V I I . 1901. N r .

2 .

Unterrichtsblätter

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

O rg an des V e re in s z u r F ö rd e ru n g

des U n te rric h ts in d e r M a th e m a tik u n d d en N a tu rw isse n sc h a fte n .

Prof. Dr. B. S c h w a lb e ,

Herausgegeben von

G e h e i m e r R e g i e r u n g s - R a t u n d S t a d t s c h u l r a t zu B e rlin .

und

Prof. F r . P i e t z k e r ,

O b e r le h r e r a m K ö n ig ). G y m n a s iu m zu N o r d h a u s e n . *

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 30.

Red aktion: A l l e f ü r d ie R e d a k t i o n b e s t i m m t e n M i t t e i l u n g e n u n d S e n d u n g e n w e r d e n n u r a n d i e A d r e s s e d e s P r o f . P i e t z k e r in N o r d n a u s e n e r b e t e n .

V e re in : A n m e l d u n g e n u n d B e i t r a g s z a h l u n g e n f ü r d e n V e r e i n (3 M k . J a h r e s b e i t r a g o d e r e i n m a l i g e r B e i t r a g v o n 45 M k .) s in d a n d e n S c h a t z m e i s t e r , P r o f e s s o r P r e s l e r in H a n n o v e r , L i n d e n e r s t r a s s e 47, z u r i c h t e n .

V e rla g : D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n 6 N u m m e r n i s t 3 M a r k , f ü r e i n z e l n e N u m m e r n 60 P f . D ie V e r e i n s m i t -

; e l t l i c h ; f r ü h e r e J a h r - u c h l u l l g . z u b e z ie h e n , g e s p . N o n p a r . - Z e i l e ; b e i A u f g a b e h a l b e r o d . g a n z e r S e i t e n , s o w i e b e i W i e d e r h o l u n g e n E r m ä s s i g u n g . — B e i l a g e g e b ü h r e n n a c h U e b e r e i n k u n f t .

N a c h d r u c k d e r e i n z e l n e n A r t i k e l i s t , w e n n ü b e r h a u p t n i c h t b e s o n d e r s a u s g e n o m m e n , n u r mit g e n a u e r A n g a b e d e r Q u e lle u n d m i t d e r V e r p f l i c h t u n g d e r E i n s e n d u n g e i n e s B e l e g e x e m p l a r s a n d e n V e r l a g g e s t a t t e t .

I n h a l t : T agesordnung d er X . H auptversam m lung zu Giessen, Pfingsten 1901 ( S . -21). — Z u r M ethode des m ath e­

m atischen S ch u lu n terrich ts. Von J . H e r m e s , F o rtsetzu n g (S. ¡¿2.) — Ein B eitrag zu r B ehandlung der.w irbellosen T iere. Von Dr. B a s t i a n S c h m i d (S. 25). — Z u r B ehandlung d er K reislehre.

V on O s k a r b e s s e r (S. 28). — In halts-B erechnung von K ugel und K ugelsektor durch R estkörper.

Von O berlehrer G r a c b c r (S. 80). — Schul- und U niversitätsnachrichten [X. N aturw issenschaftlicher Ferienkursus in B e rlin ; U niversität .Tena] .(S. 30). — V ereine und V ersam m lungen [N aturforscher- V ersam m lung zu A achen 1900; N aturforscher-V ersam m lung zu H am b u rg 1901 j (S. 30). — .L ehrm ittel- B esprechungen (S. 32). — Bücher-B esprechungen (S. 33). — Z u r B esprechung eingetr. B ücher (S. 37.)

— A nzeigen.

Verein zur Jöröerimg Des Unterrichts in Der Mathematik und Den jVaturwissenscha/ten.

Tagesordnung der X . Hauptversammlung zu Giessen, Pfingsten 1901.

M o n t a g ,

2 7 . M a i, a b e n d s 8

U h r:

G esellige Z usam m enkunft in den R äum en des Gesellschaftsvcreines.

D i e n s t a g , 28. Mai, vorm ittags 9 Uhr: E rste allgemeine Sitzung in dem Hörsaal des chemischen U niversitätslaboratorium s.

E röffnuug und Begriissung. — G eschäftliche M itteilungen.

V o rtra g von P o s k e (B erlin ): „G rundfragen des physikalischen U n te rric h ts“.

D iskussion im Anschluss an diesen V ortrag.

Frühstückspause.

Abteilungssitzungen.

M ittagspause.

B esichtigungen d er naturw issenschaftlichen In s titu te der U n iv ersität, des G ym nasium s und des R eal­

gym nasium s.

A b e n d s 8 U h r : Geselliges Beisam mensein an einem noch zu bestim m enden O rt.

M i t tw o c h , 29. Mai, vorm ittags 9 U h r: Zweite allgemeine Sitzung in dem Hörsaal des chemischen U niversitätslaboratorium s.

V o rtra g von A u g . S c h m i d t (W iesbaden): „U eber die B estim m ung d er L ichtstufen m ittels der Rodeni>ergschen lsophotenkegelspuren“.

D iskussion ü b e r die G estaltung des L ehrplans für den U n te rric h t in der darstellenden G eom etrie.

V o rtrag von B. S c h w a l b e (B erlin): „ lie b e r neuere U n terrich tsm ittel und ih re V erw endung.“

Frühstückspause.

Abteilungssitzungen.

B esichtigung des Giessener B raunsteinbergw erks und der A nil’scheu Thonw arenfabrik.

6

U h r: Festm ahl in Steins Garten.

S. 22.

U N TER itIC H TSB LÄ TTK R .

Jahrg. VII. No. 2.

D o n n e r s t a g , 30. Mai, vorm ittags 9 U h r : D ritte allgemeine Sitzung in dem H örsaal des chemischen U niversitätslaboratorium s.

V o rtra g von K i e n i t z - G e r l o f f (W eilb u rg ): „Inw iew eit entsprechen die vorhandenen botanischen und zoologischen L eh rb ü ch er den an sie zu stellenden A n fo rd e ru n g e n ? “

Diskussion im A nschluss an diesen V o rtrag .

11 U h r: Geschäftliche Sitzung.

K assenbericht. — N euwahl von drei V orstandsm itgliedern, — B estim m ung des O rts d e r nächstjährigen V ersam m lung. — O rdnung der V e rtre tu n g des V ereins au f d er diesjährigen N aturforschervcrsam m lung.

— Sonstige geschäftliche A nträge.

N ach m ittag s: Ausflug nach Bad Nauheim.

F r e i t a g , 31. Mai.' (Bei genügender B eteiligung). Ausflug ins L ahn thal (Braunfels, W eilburg).

W äh ren d d er V ersam m lungstage findet eine A usstellung von L e h rm itte ln aus verschiedenen G ebieten des exaktw issenschaftlichen S ch u lu n terrich ts (darstellende G eom etrie, Physik, Zoologie) in d er T u rn h alle des R ealgym nasium s statt. F ü r die A usstellung von L e h rm itte ln aus dem G eb iet der darstellenden G eom etrie haben schon je t z t eine grössere Z ahl von F ach leh rern die E in sen d u n g von M odellen und Z eichnungen aus ihrem eigenen U n terrich tsb etrieb freundlichst zugesagt. W eitere A nm eldungen sind w illkom m en, w ir b itten sie m öglichst bald an den m itunterzeichneten P ro f. P i e t z k e r (N ordhausen) zu rich ten .

E b e n s o s i n d A n m e l d u n g e n f ü r V o r t r ä g e i n d e n A b t e i l u n g s s i t z u n g e n a u c h n o c li j e t z t s e h r e r w ü n s c h t , A nm eldungen n im m t jo d e r d er U nterzeichneten entgegen.

D a gleichzeitig m it unserem V erein ein G ynäkologen-K ongress in Giessen tag t, em pfiehlt es sich für die ausw ärtigen T eilnehm er an un serer V ersam m lung schon frü h zeitig fü r U nterkom m en zu sorgen. W ir b itte n Bestellungen

auf

W ohnungen (H otelw ohnungen od er P rivatw öhnnngen, unentgeltliche und bezahlte) spätestens bis zum 10. i r a i an H e rrn O berlehrer B l o c k hierselbst, A licestrasse 14, gelangen zu lassen. Die P reise fü r H o te l­

zim m er bew egen sieh zwischen 2.50

Mk.

und

3.

— Mk,

D as E m pfangsbureau befindet sich M ontags von 11—2 U h r m ittags und von 4 —8 U h r nachm ittags im H ô tel V icto ria, B ahnhofstrasse 77.

D e r H a u p t v o r s t a n d D e r O r t s a u s s c h u s s

P ietzker. Dr. Rausch.

Z u r M e t h o d e d e s m a t h e m a t i s c h e n S c h u l u n t e r r i c h t s .

V on

J . H e r m e s (O snabrück.) (Fortsetzung.)

2) Da nach P ythagoras c = | / a - + b 2j Pig. 3

Die Gleichung u x + v y r ]

— u x (— v) y

1

v2| 4" j/xi- -{- v-

0

oder auch

0

kann y u - + v-,

1

" y u

2

— j— v2;

daher auch durch:

cos

a

. x cos ß . y — h =

0

ersetzt werden (Trigonometrische Form)*)

2') In Fig. 4 sei OP = J das L ot von 0

c

F ig. 3.

und a b = c l i , so ergiebt sich h ---= .--- a b

y V + b-:

oder auch li — — * --- = — ---—

/

1

,

1

l / u

2

+ v

2

/ lÖ + Pj

h — « “ v

cos

a

= = , ; cos ß = ; a

y

u

2

+ v- r | / u H* \ ]

cos 2a + cos 2ß =

1

.

f t a

F ig . 4.

*) H ierau s auch y == b —• tan [1 . x oder auch y m + 1 x, eine F o rm , die bezüglich A) bequem ist [V ektoren].

1901. No. 2.

Zu r Me t h o d e d e s m a t h e m a t i s c h e n Un t e r r i c h t s.

S. 23.

auf Ebene ABC, so muss [nach der stereonietri­

schen K onstruktion dieses Lotes und weil c ein L ot zu Ebene OAB] OD = h ein L o t zu AB sein, m ithin li = und daher wird

]/u- -)- v-

c) —

- --- nach 2) für Dreieck

ODO) also schliesslich

a = 1 -

]/w2 4- qr^j2| V * 2 + v2-f w 2|

V

COS n :

; c o s.

] / u

2

_j_

V2

_|_ w

2

;

COS y — ---

| / u — {— V“ — w-

cos

-a

-j- cos 2ß -|- cos

2y — 1

und es kann da­

her die G leichung: u x -J- v y -j- w z -)- 1 = 0 durch cos

n •

x -|- cos ¡3 • y -j- cos

y ■

z — <5 —

0

ersetzt w erden...

Z u s a t z : Die Fläche A B O ist gleich dem dreifachen T etraederinhalt dividiert durch L ot <5 also = • '

1

" . mithin w ird das

2

a

2

b

2

c

2

Q uadrat der Hypotenusenfläche ■= (u

2

+

4:

b

^>)

- er

^{o ■>}

a- c

^o

C“ a -

^{«> *>}

.+ + r , ,Ein Drei- eck bezw. eine begrenzte ebene F igur ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner bezw. ihrer P rojektionen auf drei recht­

winkelig zu einander stehende E benen“. Be­

weis der Ausdehnung als Aufgabe.

3) Die Geraden I und II mögen den

<f- ■>)

einschliessen, m ithin ist auch der von den Loten O P und O P 1. (Fig. 5) gebildete W inkel =

0.

Die

Fig. 5.

Gleichung der Geraden I sei cos

a ■

x -f- cos

ß ■

y

— h = 0 ; sie muss für P u n k t Q identisch er­

füllt sein. P u n k t Q h at die A b stän de: p cos «i und o cos

ß i.

Mithin

cos

a • o

cos a i -f- cos

ß ■

p cos

ß\

— h =

0

; oder

cos

ai

4 - cos

ß

cos

ß i =

— Q u ui -)- v VI

a u c h : cos

a

• cos ai -4- cos

ß

cos

ß i = —

coS(‘>

Hieraus cos

i)

=

] / u 2 - ) - v 2 j ] / U l 2 - j - V l 2

W ird

t) —

90°, so wird cos /> =

0

und es stellen daher zwei Gerade aufeinander s e n k r e c h t , wenn u ui - f v vi =

0

.

Is t die eine Gerade A x - f B y - f C = 0 und die andere B x — A y - j - D = 0 so ist diese Bedingung erfüllt, denn u == ■

C*

ui

Vl

ß B D ’ V C ’

A . B _ B - A C . D C - D P a r a l l e l e n ist das gefällte L ot dasselbe,

n

und

ß,

daher kann

—

A

D : 0.

also

vom A nfangs- also auch die nur das freie verschieden sein, abgesehen von einem m, m it dem die Gleichung m ultipliziert F ür

punkte W inkel Glied h F ak to r

ist. A x - j - B y - j - C = 0 und m A x -j- m B y -|~

m D = 0 sind einander parallel.

3') Die Ebenen I und II mögen den />

einschliessen, mithin ist auch der von den Loten O P und O P

1

eingeschlossene W inkel =

i'K

Die Gleichung der Ebene I sei cos

a ■

x

-\-

cos

ß

• y -f- cos

y •

z —

ö = 0

; sie muss für den P un kt Q, in welchem sie von dem auf Ebene II von 0 gefällten L ot 0 P ' getroffen wird und der die Abstände p cos

a

\ ; p cos ßi;

o

cos

yi

h at [p — Ö Q] identisch erfüllt sein, m ithin g ilt cs

n

• p cs m + cs

[i • q ■

cs ßi + cs

y • g

cs

y\ — 3 = 0

also cos

n

cos

a i

-j- cos

¡1

cos ßi -f- cos

y

cos

yi =

ß _{= cos}

_{i ) ;}^o

p

cos

t)

also auch =

u m -f- v vi -j- w Wl

Y

u

2

-j- v

2

-)- w

2

j ) / Ui

2

-f- v r - |- w i

21

Zwei Ebenen stehen senkrecht zu einander, falls u ui + v vi + w wi =

0

ist.

Die Ebenen A x + B y - f C z - | - D = Ö und m A x m B y + m C z + m E = 0 sind einander parallel.

4) D er in dieser Nummer folgende Beweis kann viel einfacher geführt werden (Aufgabe), er lässt sich dann aber nicht ohne etwas Rech­

nung auf den Raum übertragen. Daher ziehen w ir eine Schlussweise vor, die der Schüler selbstthätig auf den Raum auszudehnen vermag, wenn sie auch für die Ebene weitläufig ist.

H at P die A b stän d e: xo und yo

Q die A b ständ e: xi und yi, so folgt nach Pythagoras, dass die Strecke *) P Q =

|/ ( x

0

— x i

)2

+ (y

0

— vi

)2

*) Die E n tfern u n g zw eier R aum punkte P und Q w ird analog P Q

= I '(xo — xi)2.+ (yo — >’l)2 + (f-o“ zi)2

als D iagonale im rechtw . 4 seitigen P rism a. F ig . 8.

S. 24.

II N TK RRl 011 TSIiLÄ TT K R

.Taln-g. YII. No. 2.

ist. Eine Parallele zu Q P durch P u n k t x ; y (R) möge Yon den Axen die Stücke a p und b p abschneiden (Fig.

6

) , wo p ein Zahlenwert.

Die Gleichung der P arallelen is t daher

U X + V y + p

u xo -f- v yo +

1

0

ausserdem gelten 0

und u xi - jx y pj

xo yo 1 1 xi yi l

- v yi +

1

=

0

;

0

und u :v : l = y o — J'i '-xi

H ieraus nach I

2

')

¡xo yo;

XI yi|

■ x o :

Nach

2

) w ird die Höhe k des Dreiecks P Q R

1 >

^{1 - p}

x y p x y i Da nun 0 = xoy0 l = ;xo yo

¹

xi yi

1

xi yi

1

1 u2 + v2; 1 u 2 + v 2;

1)

^{xo yo}

Uy.|

x

y 1

ist, so folgt ixoyo

1

=

(1

—■ p)

XI yi l

' (x0— xi)2“r (y°— y1)2

;xo yo;

;xi yi

i - P 1 U 2 p V2

— der d o p p e l l t e n D r e i e c k s f l ä c h e P Q R , denn die Q uadratw urzeln heben sich fort, wenn fü r u und v i h r e W erte eingesetzt w erden;

X° J.° t r i t t in den Zähler, xi yi

x y i|

Die doppelte Dreiecksfläche ist also: jxoyo lj xi yi

1 1

Sollte der W e rt negativ ausfallen, so wäre auch der durch die drei Ecken in ih rer R eihen­

folge bestim m te Umfang in entgegengesetztem Sinne durchlaufen.

1

x v Befindet sich R auf P Q , so w ird 1 xojo =

0

;

ixiyi G l e i c h u n g d e r G e r a d e n durch zwei ge­

gebene P u nkte [auch direkt zu erhalten].

4') Die P unk te P (x o ; y o ; zo) Q ( x i ; yi ; zi) und R (xs ; ys ; za) mögen auf der Ebene A B C liegen und durch S (x ; y ; z) w erde eine P arallel­

ebene g eleg t, die au f den Axen a p ; b p ; c p abschneidet [p ein Zahlenwert].

W ir haben daher: u x -f- v y - f - w z - ) - p = 0 uxo + v y o - f - w z o + l =

0

uxj -j- v y i -j- w z i

, 1

—

0

UX

2

-f- vy* W

7

.o -j-

1

=

0

m ithin muss :

ix y z p

xi yi zi l 1 ' ~ 0 sein, woraus bei B eachtung des X« y° z .2 1

superponierten M in u s:

X y Z 1 xo yo zo 1

- (p - - 1 )

Xoyo Zo

Xi yi Zi 1 Xj yi Zi

X2 }r2Z2 1 X2 ya Z2

;x

0

zo i xo yo

1

Xo yo Zo : — ¡xi zi

1

Xi yi 1 : — Xi yi 7-1

|x

2

Z

2

1 X

2

y

-2

l X

2

J2 Z

2

iyo zo l;

u : v : w :

1

— |yi zi l j : lyg za

11

folgt. Das Q uadrat des Dreiecks PQ R wird n a c h :

2

') Z u s a t z gleich der Summe der Qua­

drate der P ro jek tion en, die nach 4) bekannt sind und (abgesehen vom F a k to r | ) die W erte von u2 ; v

2

; w

2

repräsentieren, wenn diese m it

xo yo zo

'2

xi yi zi m ultipliziert werden,

X2 V ‘2 Z2i

also

2

PQR

xo yo zo;

± y u 2 -j- v 2 -j- w 2j ixi yi zi X2 ys z2

D a nun die E ntfernung des P un ktes S von der Ebene ABC = , ^ . ist, so wird

I U

2

_ |_ v

2

_|_w

2

' das

6

f a c h e T e t r a e d e r PQRS =

x y

z

1 jXo Vo

zo;

jxo yo Zo

1

t

- ( 1 P) jXi yi zij = ± X i y i Z l l X“> V“> Z° - J- - |X2 V2 Z2 1 1 Diese Form ist also = 0, sobald P u n k t S auf der Ebene PQ R liegt. Ebene durch 3 gegebene P unkte, die auch sogleich d irek t erhalten werden konnte. —

Diese vier Sätze bilden den In h a lt dessen, was u n ter B durchgenomnien w ird und einzu­

prägen ist. Andre hier m it A bsicht ausgelassene Sätze, z. B. über die W inkelhalbierenden, P ro ­ jektion ssatz und seine Folgerungen etc...

können in Form von Aufgaben dem Schüler überm ittelt werden. Z unächst nehme man leichte Zahlenbeispiele wie etw a folgen des: „Zu der durch die P u n k te : 3 ; 2 und 7 ; 10 bestim m ten S trecke die Gleichung der M ittelsenkrechten zu finden nebst einer den Massen entsprechenden F ig u r.“ Fig. 7.

Die Gleichung der durch die P u nk te 3 ; 2 und 7 ; 10 gehenden Geraden lau tet nach 4) 11 x y j .

1 3 2 1 = 0 oder 3 • 10 — 2 • 7 — x (10 — 2)

1 7 10!

1901. No. 2.

e i n Be i t r a g z u r Be h a n d l u n g d e r. w i r b e l l o s e n Ti e r e.

S. 25.

— )— v (7 — 3) = 0 oder auch 16 —

8

x 4 y = 0 oder gehoben 2 x — y — |— 4 = 0 ; Die Senk­

rechte zu dieser Geraden muss also, indem nach 3) die Koeffizienten von x und y zu vertauschen sind und ein Minus hinzutritt, x -f-

2

v = freiem Gliede lauten.

/3 4 - 7 2-4- 1 0 \ Da nun fü r den P u n k t H | ; (, ■ I diese Gleichung erfüllt sein muss, so ist das freie Glied == 5 -f-

2

•

6

= 17 zu schliessen.

Die verlangte Gleichung ist also x -j- 2 y = 17 oder x - | - 2 y — 17 0 oder auch

( 17 ^{) X + (.} 17 ) y + 1 " °’

daher 17 und

8

~ die A bschnitte, die auf den Axen gebildet werden.

Dass zunächst ein völlig mechanisches Ver­

fahren bei derartigen Uebungsaufgaben s ta tt hat, möge man nich t als Nachteil dieser Dis­

ziplin ansehen.

Zwar fü r die Raum anschauung gew innt man, wie schon oben g esag t, wenig genug, für die U ebung im Schliessen auch nicht viel, nachdem die Regeln einmal abgeleitet, aber für die Aus­

bildung der F äh ig k eit, eine V orschrift genau auszuführen und für die Achtsam keit erheblich viel und, was die H auptsache ist, der Schüler erkennt, dass er hierm it ein völlig sicheres Verfahren gewonnen hat, einen zweifelhaften Satz durch ein Zahlenbeispiel eventuell als falsch zu kennzeichnen. Dem Einw ande, dass das gew ählte Beispiel gerade einen Ausnahme­

fall darstelle, w ird m an, wenigstens so w eit Scliulm athem atik in B etracht kommt, zu be­

gegnen wissen. W ir sehen aber vorzugsweise in derartigen negativen U rteilen einen erreichten Grad m athem atischer Bildung, wie an anderer Stelle genauer zu begründen ist.

W ir wenden uns nun zum zweiten A bschnitt, der freilich bei Zeitm angel auch übergangen werden kann, nämlich zur L i n i e i m R a u m . Erfahrungsgem äss w irk t er anregend und ist

keineswegs zu schw ierig, wenn I und A b­

sch nitt 1 genugsam befestigt sind. V ielleicht w ird man behaupten, er gehöre nicht mehr zum Pensum. Gut, er ist aber zur A brundung nötig und sollte schon um der Aufgabe willen, „wenn zwischen zwei mal zwei bekannten P unkten zwei D rähte gespannt werden, wie nahe können sie sich kom m en?“ zum Pensum gehören. Uebrigens h in dert nichts, diesen Teil in Aufgaben aufzu­

lösen und ihn u n ter A) zu behandeln. Doch ra u b t er dann m ehr Z eit; U n ter B) erfordert er etw a 15 Stunden.

(Schluss folgt.)

E in B e it r a g z u r B e h a n d lu n g d e r w ir b e l lo s e n T ie r e von D r. B a s t i a n S c h m i d (B autzen).

E s is t keine geringe A ufgabe, den so um fangreichen StoiT der w irbellosen T iere m it Kr folg dem geistigen E ig en tu m der S chüler zuzuführen. U m som ehr muss es d a h e r das B estreben des L ehrers sein, stre n g m ethodisch vorzugehen, um dieses in all seinen Teilen w ichtige G eb iet gleichm ässig zu behandeln. Ic h sage „gleich- m assig'1, weil m an gew öhnlich den n iederen T ieren (Protozoen, E chinoderm en und O oelenteraten) ü b erh au p t keine B eachtung schenkt, und sie als unw ichtig n u r anhangsw eise b etrach tet. Dieses V erfahren g la u b t m an sogar noch rech tfertig en zu können, indem m an be­

hauptet, d erartige, ausser dem G esichtskreis der S chüler liegende G ebiete seien ein viel zu schw ieriger Stoff, d er au f kein V erständnis stossen w ird.

A bgesehen davon, dass durch ein solches V orgehen d er ganze E ffekt des naturw issenschaftlichen U nterrichtes verloren geht, weil dem Lernenden kein G esam tbild e n tro llt w ird, weil er n ich t sieht, wie sich S tufe a u f Stufe au f baut, und das U nscheinbare, E infache nach und nach zum K om plizierten ü bergeht, b e ru h t die A n­

nahm e, es lägen h ier zu schw ierige K ap itel fü r den Schüler vor, auf Irrtu m . Das E in fac h e ist stets leich ter zu erfassen als das Zusam m engesetzte, un d dass w ir es bei den Protozoen m it dem den k b ar Einfachsten zu tlm n haben, d ü rfte keine F rag e sein. S ta tt also diese untersten T ierkreise zu vernachlässigen und sie n u r anhangsw eise zu betrachten, w erden w ir vielm ehr von ihnen ausgehen; denn n u r dad u rch können w ir, den W eg der N a tu r w andelnd, zu einem uns b efriedigenden E rgebnis gelangen. F reilich h a t m an, um den Zw eck zu erreichen, die A nschauung, das F u n d am en t aller E r ­ kenntnis, stets zu ihrem R echte kom m en zu lassen, und wo n u r m öglich, den U n te rric h t im F reien zu H ilfe zu nehm en.

N ichts verm ag z. B. m ehr das Interesse fü r die Protozoen und das V erständnis fü r deren Biologie zu begünstigen als eine E x kursion an einen Teich od er Bach. E s w erden d o rt den verschiedensten Schichten von der O berfläche bis zum G runde P roben entnom m en, deren In h a lt das u ngeübte A uge des Schülers ab so lu t n ich t sieht, so dass m an g ar oft hören k a n n : „Es i s t nichts d r in ! “ A b er schon nach einiger Z eit v erm ag er die weisslichen G ebilde zu erkennen, die nun sein Interesse fü r die nächste U nterrichtsstufe aufs höchste;

spannen. D ort, unterm M ikroskop sieht er nun d ie dem Schlam m entnom m ene A m öbe, w elche träg e ih re Pseudopodien en tfaltet u nd vielleicht gerade einen N ahrungskörper, eine grüne Alge, in sich h at, er be­

m e rk t das zierliche A otin o sp b äriu m : S tentor, Stylonychia,

S.

2 6 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. .

Jahrg. VII.

N o . 2 .

P aram äcium etc, eilen d urch das G esichtsfeld und eine G ruppe G lockentierchen, einem Schw im m kiiferriieken oder einem B latte entnom m en, e n tfa lte t sich au f zarton

»Stielen. U nd sie alle sind aufs einfachste organisiert, wie d er S chüler am g e fä rb te n D au e rp rä p a ra t sicht; b e ­ stehen sie doch n u r aus Z ellkern, P ro to p lasm a und Zellw and. . D urch verschiedene B eigaben (a u f die die j

A ufm erksam keit zu lenken ist), wie die pulsierenden | V aeuolen, die Geissein, die F lim m erh aare, die kun'st- j

vollen K ieselpanzer h a t d er Lernende nun auch die j E inteilungsgründc, die fü r die S ystem bildung dieser j T ierc h en m asgebend w aren. A lles andere nun, wie die ; V erbreitung der U rtie re , die A r t und W eise ih re r V er- j

m ehrung, ihre B ed eu tu n g im N aturganzen, ih re unge­

h eu re A nzahl, ih r W erd en u nd V ergehen, die A uf­

schichtung d er M illiarden von kleinen L eichen, die wie feiner R egen a u f den M eeresgrund fallen (F oram iniferen), ih r Einiluss au f die U m gestaltung d e r E rdoberfläche, das sind Dinge, die den n u n schon einm al interessierten S chüler die grüsste F reu d e an diesem T eil d e r Zoologie b ereiten. E in Beweis d afü r, dass die B elehrung üb er d ie anatom ischen V erhältnisse dieser T iere a u f fru ch t­

baren Boden gefallen ist, kann u. a. leich t d urch folgen­

des e rb ra c h t w erden. M an lasse ein R äd ertierch en sich unterm M ikroskope herum tum m eln und fra g e , m it welchem In fu so r m an es wold zu th u n habe, und w eitaus die m eisten S chüler w erden erkennen, dass es sich h ie r um ein vielzelliges W esen handelt. E in solches R esu ltat k a n n uns um som ehr b efried ig en , als m an doch be­

kanntlich noch vor 50 J a lire n in d er w issenschaftlichen W e lt diese T ie re noch zu den P rotozoen zählte.

Die -bereits erw ähnte E xkursion kann zugleich be­

n u tz t w erden, Süss w asserschwäm me u n d H y d ren aus­

findig zu m achen un d dieselben dom A quarium einzu- verleibon, um gleich fü r den au f die P rotozoen folgen­

den T ierkreis d er C ölenteraten A nschauungsm aterial zu haben. Um die einzelnen K lassen d e r letzteren m it E rfo lg behandeln zu können, is t u n b ed in g t einiges A n ­ schauungsm aterial an M eerespolypen u n d auch M eeres­

schw äm m en w enigstens in m ikroskopischen P rä p a ra te n , nötig. A n den Schw äm m en soll d er S chüler die K ry- stalle u n d krystallinischen B estandteile, dann ab er auch m indestens die G eisselkam m ern kennen lernen un d wissen, dass die T iere, tro tz ih re r K le in h e it M etazoen, vielzellige G ebilde sind. F ü r die P olypen b ild et die H y d ra den A usgangspunkt. I n dem Glase, in w elchem sie seit d er E xk u rsio n ausgestellt ist, h a t sie m it jed em T age die A ufm erksam keit der S ch ü ler von neuem au f sich gezogen. B estän d ig m it ih ren A rm en h erum tastend und spielend, e rb eu tet sie b a ld ein M uschelkrebschen, b ald einen Cvklops, w ächst er — was am m eisten in B e tra c h t kom m t — knospet; ein zweites, ein d rittes T ie r kom m t zum V orschein, ein In d iv id u u m lässt sieh los und g rü n d e t w ieder eine selbständige K olonie. N un kann m an auch eines T ages die N esselorgane und das In n e re des T ieres zeigen, das keinen eigentlichen D arm aufw eist u nd einem Sacke gleicht. D ann freilich finden es die Z u h ö rer begreiflich, dass m an ein a u f so n ied rig er Stufe stehendes T ie r in verschiedene Teile teilen kann, ohne dessen T od dadurch zu bew irken, sie verstehen, wie es m öglich ist, dass, w eil eben die Substanz in allen T eilen des K ö rp ers so ziem lich dieselbe ist, alle die abgetrennten G lieder zu ganzen T ie re n aim vachsen können. D ie A n ato m ie d er M eerespolypen is t dieselbe, höchstens muss noch au f das Coenosark hingowiesen w erden, das übrigens auch n ach dem M ikroskop ge­

zeichnet w erden kann. N ebenbei b em erk t, w ird durch

das Zeichnen noch ein w ichtiger N ebenerfolg erreich t, näm lich der, die D isziplin, w elche anfangs beim an­

schauenden U n te rric h t ohnedies etwas leidet, aufrech t zu erhalten, indem die vom M ikroskop w ügtretenden S chüler so fo rt zu zeichnen beginnen. Von grösser B e­

d eu tu n g sind die Fortpflanzungsverhältnisse d er Polypen, d e r G enerationsw echsel, w elcher durch V orfü h ru n g ge­

eig n eter P rä p a ra te besonders- leich t veranschaulicht w er­

den kann. F eh lt es an diesen, so glaube ich, kann man den Scliiiler m itte lst A bbildungen zu d er E rk en n tn is bringen, dass ein Polyp stets Q uallen, diese w ieder P olypen erzeugen, dass sich also erste u nd d ritte , zw eite u nd v ierte G eneration gleichen. Das V orhandensein von Sinnesorganen, eines M agenrohres, eines N erven- ringes zeigt die höhere O rganisation der freischw im m en­

den Q uallen. Die h e i m anchen P olypen (Siphonophoren) auftretende A rb eitsteilu n g d a rf n ich t unerw ähnt bleiben, w eil sie fü r den späteren U n te rric h t von B ed eu tu n g ist.

Die K orallen endlich zeigen nochm als die den Coelente- raten eig en artig e niedere O rganisation, u nd ich kann m ir n ic h t denken, w ie m an dieselbe ü bergehen könnte, wenn m an vom S chüler volles V erstän d n is fü r die m äch tig en B au ten dieser T iere beanspruchen will. E rs t wenn die E in reih u n g in die Pflanzentiero, ih r K ö rp e r­

bau, ih re E rnährungsw eise, ähnlich denen der Polypen, k la r geleg t ist, w erden diese durch K nospung en tstan ­ denen K olonien interessant. (K nospung und K a lk a b ­ sonderung sind dem S chüler b ereits von frü h er her b ekannt.)

A u f diese M eise nun h a t d er S chüler zwei T ie r­

kreise kennen g e le rn t, die fü r seine geistige A usbildung, fü r sein V erständnis d er N a tu r gewiss n ic h t ohne B e­

lan g sind. E r h a t gesehen, dass d er M ikrokosm os genug des in teressan ten und B edeutungsvollen e n th ä lt und die ersten P ro b e n der N a tu r noch einfach s in d , gegen­

ü b er den späteren kom plizierteren "Werken. E r h a t aber auch g e le rn t, dass das K leine n ich t bedeutungslos i s t ? er w eiss, die g rössten und stärksten T iere sterben da­

bin , verfaulen u nd lösen sich in ih re chem ischen Be­

standteile a u f , er sieht und e rk en n t je tz t ab er auch, wie die kleinsten W e se n , wie F oram iniferen- u nd K o ­ rallen , W erke h in terlassen , die in A eonen n ich t u n te r­

geben w erden.

W as nun die S ystem atik an b ela n g t, so erg ieb t sieb dieselbe aus den sc h a rf g etren n ten H a u p tg ru p p en von selbst. E in e eingehendere System atik w irk t liier m ehr als andersw o fü r den S chüler schliesslich eher ver­

w irrend als nutzbringend.

Die S ta c h e lh ä u te r (E chinoderm en) ergänzen das B ild von den T iefen des M eeres, das zum T eil schon bei den vorhergehenden Stufen en tro llt wurde.

Solche Schilderungen w erden m it einer B egeisterung aufgenom m en, die n u r jen e im ponierende P ro d u k tiv itä t u nd F ülle der G estalten , w ie sie das M eer e rz e u g t, h ervorzubringen verm ag. D ie A nw esenheit eines D arm es, eines ausgebildeten N ervenringäs, gesonderte A tm ungsorgane etc., lassen geg en ü b er den P flanzentieren einen F o rts c h ritt erkennen, zugleich ab er zeigt der U m ­ stand , dass abgotrennte A rm e eines Seesternes w ieder nachw aehsen und u m g e k e h rt, dass d er A rm sieh zu einem T ie r e rg ä n z t, die E in fac h h eit d er neu hinzu­

getreten en O rgane. E in e d e ra rtig e R egeneration findet jed o c h n ic h t m eh r b ei den W ü rm e rn s ta tt, obw ohl auch h ie r eine grosse L ebenszähigkeit vorhanden ist. Es eig n et sieh zur E in fü h ru n g in diese K lasse vorzüglich, ein Schem a des W urm es — etw a 6—8 G lied er — an die T afel zu zeichnen, näm lich die sich stets w ieder-

1 9 0 1 . N o . 2 . Ei n Be i t r a g z u r Be h a n d l u n g d e r w i r b e l l o s e n Ti e r e. S . 2 7 .

liolenden anatom ischen V erhältnisse eines je d e n Gliedes wie H arm , B lutgefässe, N ervenknötchen, N ieren (W asser- gefässe). J e d e r S chüler h a t m itzuzeichnen, und m an kann von ihm verlangen, dass er das Schem a noch nach W ochen anstandslos aus dem K opfe an die Tafel re ­ produziert.

Im allgem einen kann m an bei den W ürm ern eine Anzahl w ichtiger M om ente zur A bh an d lu n g bringen.

Da haben w ir zunächst die E ntw ickclungsgeschichte der B andw ürm er und deren A natom ie. Als Schm a­

ro tzer im D unkeln b ed arf das T ie r keiner A ugen, und da es die N ah ru n g m it dem ganzen L eib aufnim m t, also keinen D arm b e sitz t, so ist cs begreiflich, wenn alle aufgenom m ene N ahrung ein w eiteres W achstum h erb eifü h rt und zur P ro d u k tio n von G eschlechtspro­

dukten führt. Die G lcichniässigkoit der einzelnen G lieder zeugt vou d er G leichw ertigkeit derselben. W ar­

um diese kom plizierte Entw ickelung bei dem B and­

wurm u nd den ü b rig en Eingew eidew ürm ern , wie T r i­

chine, L ebcregcl ? w ird sieh der S chüler fr a g e n ; w ar­

um die grosse F ru c h tb a rk e it ? L etztere F ra g e kann er sieh übrigens schon selber beantw orten, denn e r h a t in der Q uinta u n d schon in d er S exta o ft g e h ö rt, dass alle T ie re , die geringe A ussichten h ab en , den K am p f ums D asein zu bestehen, sich durch Übergrosse F ru c h t­

b a rk e it auszeichnen. AVeiss der S chüler üb er den W irts- wcclisel der einzelnen E ingew eidew ürm er B esch eid , so kann m an ihm auch sagen, w arum ein solcher statt- iiu d et, er w ird erfah ren , dass die T iere in ih re r F ru c h t­

b a rk e it und in ih rer schädlichen W irk u n g im frem den O rganism us, diesen allm ählich vernichten w ürden und sie h ätten d a m it, weil sie m it dem W irte sterb en , ihre G eneration aufgehoben — es w ürde die A r t aussterben.

Bei d er B ehandlung des L ebcregels w ird noch einm al au f den G enerationsw echsel hingew iesen und wenn s ic h ■ G elegenheit g ie b t, einige Redienschläuclie in Sehneckenfühlern gezeigt. Um die kleineren W ü rm ­ c h e n . wie C haetogastor, N ais, P lan arien vorzuführen, w ird es sich em pfehlen, eine w eitere E xkursion zu 1 unternehm en und zw ar d ü rfte dieselbe in den W in ter fallen. W ie sehr ist der S chüler ü b e rr a s c h t, wenn er un ter d er E isdecke L eben findet, wo sich eben bei

•I0 W ärm e W ü rm er and m itu n te r kleine K rebschcn h eru m tu m m eln ! G erade die N aiden bieten besonders interessante O b jek te, wenn ih r d u rch sich tig er, m it B orsten bed eck ter K ö rp er die aufgenom m eneu Xalir- ungsbestandteile, m itu n ter sehr hübsche A lgen (Clo- sterium ) erkennen lässt.

M oostierchen und R adiolaren w erden am F u n d o rte aufgesucht und hernach m ikroskopisch b etrach tet. A uch die Salpen können noch im Anschluss an die W ürm er (wenn m an es n ic h t vorzieht, sie als A nhang zu den M ollusken zu b etrachten! behandelt werden und zwar als w eiteres Beispiel fü r den G enerationsw echsel, weil j a bekanntlieh K ottonform und einzelschwim mendes T ie r abwechseln. Bei einer so grossen Klasse, wie die d er W ü rm e r, ist die G efahr der Z ersp litteru n g vor­

handen. D aher h a t m an , um eine solche zu v e rm e id e n , stets die Typen iin A uge zu behalten und sich bei den E ingew eidew ürm ern a u f die hauptsächlichsten — Ce- s to d e n , N oinertinen und den L eberegel — zu be­

schränken.

F ü r die W eic h tiere ist das Interesse schon von den .Somm erexkursionen h er angeregt. T e ic h - u nd Fluss- m uschelu w urden draussen beobachtet, manche, m itg e­

nomm en und W asserschneckcn, sowohl die durch Lungen (o h n e) als auch die durch K iem en atm enden (m it Deekel-

versehluss am G ehäuse) dem A quarium einverleibt.

D o rt v erzehrten sie W asserpflanzen, zeigten, wie sie an d er O berfläche des W a ss e rs, den L e ib und die Schale nach unten g e k e h rt, trotz eines grösseren spezifischen G ew ichtes, dahingleiten können und hefteten in langen, h arten S chnüren ihre E ie r an die Glaswand. Nach und nach w urde das A quarium m it kleinen Schneckenlarven bevölkert.

Dass die Fluss- und Teichm uschcl keinen K o p f be­

sitz t, w un d ert n ich t allzusehr; denn-der S chüler is t j a , a u f seine bish erig en K enntnisse zurückblickend, an d er­

artig e V erhältnisse gew öhnt. U nerlässlich geradezu sind die einfacheren anatom ischen V erhältnisse, näm lich die B eschaffenheit und physiologische B edeutung des M an­

tels, E rö rteru n g en ü b er die drei G anglienpaare und üb er das d orsale, von d er N ierenspritze durchzogene Herz m it seiner H auptkam m er und den zwei V orkam m ern, sowie das V orzeigen von D arm und Leber und wo­

m öglich m ikroskopische V o rfü h ru n g d er R adula.

A uch h ie r dürfte eine ausgedehnte S ystem atik n ich t em pfehlensw ert s e in , vor allem h ä tte es keinen Zweck wegen des verw irrenden F orm enreichtum s d er Ace- phalen un d nam entlich d er C ephalophoren die kostbare Z e it zu o p fern , vielm ehr kann der H inw eis au f die m assgebenden E inteilu n g sg rü n d e genügen.

W erfen w ir nun einen B lick au f das A quarium . In den gläsernen W asserbecken, deren Zahl m anchm al au f vier u nd m eh r erh ö h t w erden muss, spielt sich ein K am p f ums Dasein ab, ein W erden und V ergehen, ein buntes L e b e n , das dem S chüler stets als angenehm ste Beigabe des naturw issenschaftlichen U n terrich ts in E r ­ innerung bleiben w ird. E in e M enge kleiner K rebs- cheri, D iaptom us, Gyclops coronatus, d aru n te r die W eib­

chen m it den grossen E ie rs ä c k e n , D aphnia p u le x , G am m arus, verschiedene O stracoden tum m eln sieh her­

u m , verfolgt von beutclüsternen roten M ilben und kleineren Spinnen, welche w iederum in dem behenden R ückenschw im m er und lauernden W asserskorpion ihre F ein d e finden. A u f dem Boden kriechen in m erk ­ w ürdigen G ehäusen die Pliryganeen. E inem anderen Glase entsteigen zeitweise verschiedene M üekenartcn, d ie d o rt in L arvenform herum schw am m en o d e r, wie P ty e h o p te ra , n u r hie und da die lange A tm ungsröhre aus dem Schlam m e au die Oberfläche strecken.

AU diese V orgänge, nam entlich das Sprengen der H üllen, wie auch der ju n g e , feuchtglitzernde K ö rp e r m it den weichen F lügeln, erw ecken in der ganzen K lasse reinste F reude. L ibellenlarven m it langen Fangm asken, bieten j a allm ählich dasselbe B ild wie die M ücken un d sind zugleich ein treffendes Beispiel fü r unvollkom m ene M etam orphose und ein M usterbild fü r die R aubgier d er wasserbew ohnenden Insekten. Sie w erden höchstens noch übertroffen von den Schw im m käferlarven, die in derselben B ehendigkeit, ab er noch b lin d er in der F ress­

gier, sich a u f einen W urm od er a u f ein anderes B eute­

tie r stürzen. A n diesen verschiedenen L arvenform en finden die A tm ungsverhältnisse eine anschauliche Illu ­ stration. Da haben w ir T racheenkiem en (Libellen), A tm u n g d u rch S tigm en (Dytlicus), einfache A tm ungs­

rühren etc. So h a t sich a u f diese W eise, ehe der eigentliche U n te rric h t in den G liedertieren beginnt, der S chüler eine R eihe von K enntnissen, sowohl biologischer als auch anatom ischer A r t , verschafft, au f die m an jed erzeit zurückgreifen kann. (Es sei h ier b em erkt, dass das A quarium am besten schon irn M ai bevölkert w ird und die m eisten T iere bei B eginn d er grossen F erien en tfern t w erden, die Schw im m käfer kann m an

S. 28.

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g .

VII. No. 2.

den W in te r üb er fü ttern , die S alam ander schlafen). In ­ bezug a u f die äussere A natom ie der G l i e d e r t i e r e , zu donen w ir nun kom m en, haben w ir die fü r die S ystem atik notw endige G liederung des K örpers u n d die A nzahl der B einpaare noch in E rin n eru n g . D er Schüler e rin n e rt sich, dass der K rebs zehn, die S pinne acht, und das In s e k t sechs Beine hat, was ihm schon einm al ge­

legentlich g esag t w urde. E r weiss a u c h , wie sich S pinne und M ilbe rein äusserlich unterscheiden. U nd w enn davon gesprochen w ird, dass das H erz w ieder dorsal liegt, d er K reislau f n ic h t geschlossen is t, dass noch kein G e h irn , sondern n u r S chlundganglien und im A nschlüsse daran ein B auchm ark vorkom m t, so fällt es ih m n ic h t schw er, diese E rk en n tn is seinem W issen einzuverleiben. Gewisse neu h in zu treten d e V erhältnisse, w ie F a c e tte n u nd .Punktaugen, L ag e d er G ehörorgane, T racheen sind entsprechend zu erläutern, w ährend das A u ftre te n d er M etam orphosen u n d die A rt u nd W eise d e r V erw andlung liebe, alte B ekannte sind.

U eber die H a u p ta rte n d er M etam orphosen u nd ü b er die G estaltung d er M undw crkzeugo (M ikroskop!) kann, w eil beides w ichtige E in teilu n g sg rü n d e sind, n ic h t ohne eingehende E rö rte ru n g e n hinw eggegangen w erden.

Z ahlreiche Beispiele w erden die anfangs in d er U eber- sieh t gebrauchten schem atischen D arstellungen illustrieren.

Ic h glaube keine T ierg ru p p e re g t so frühzeitig das In te re sse d er S chüler an als die In s e k te n ; um som ehr w ird es d ah er A ufgabe des L eh rers sein, dieses E n t­

gegenkom m en zu pflegen, wenn er sich auch a n d e re r­

seits zu h ü ten h at, einem zu w eit um sich greifenden S am m eleifer in d ie H ä n d e zu arb eiten . Das lässt sich bew erkstelligen, wenn m an den B lick au f andere w ichtige E rscheinungen lenkt, deren B ildungsw ert un v erk en n b ar grösser fü r den S chüler ist. So bieten z. B. S chutz­

fä rb u n g und M im icry d er Insekten eine Reihe in te r­

essanter T hatsachen und zw ar n ich t ohne A nknüpfungs­

p u n k te an früheres. H a t doch schon d er S chüler von d e r Q uinta und S ex ta h e r eine A nzahl von T iere n im G edächtnis, die d u rch ih re ausgezeichnete A npassung an die U m gebung ein M ittel linden, den K a m p f ums D asein zu bestehen. E r weiss, dass die W ü sten tiere einen gelblichen T on haben, dass viele d e r im N orden und m anche d er au f den G ipfeln d er A lpen lebenden T ie re weiss sind o d er die F a rb e m it d er Ja h re sz e it w echseln (Schneehuhn). H ie r in d er Q uarta erfah ren ' diese K en n tn isse eine w ertvolle B ereicherung d u rch den ] H inw eis au f die zahlreichen Beispiele von M im icry und S ch u tzfärb u n g , wie sie die In sek ten w elt die F ü lle bietet.

D am it h a t d er L ern en d e seine N atu rk en n tn isse ein w esentliches S tü ck bereichert, weil er diesen w eiteren d er treibenden F ak to ren , u n ter denen sich L eben und E n tw ick lu n g entfalten, au f grösseren G ebieten des T ie r­

lebens kennen gelernt, h at.

F e rn e r sind solche fü r den ß ild u n g sw e rt w ichtige V erhältnisse wie der in d er Insektenw elt w ütende K a m p f ums Dasein, die W an d eru n g en , die T ierstaaten, die rationellen B auten d er B ienen, die U ebergangsform en und E n tw ick lu n g dieser B auten etc. entsprechend zu beleuchten.

A u f diese W eise sieh t nun d er S chüler schliesslich a u f eine O rganism enw elt zurück, die sich von Stufe zu S tu fe vervollkom m net hat. N eue O rgane entstehen, n e u e B edürfnisse erw achsen, u nd ein regeres G eistes­

leben t r i t t zu T age. W elch eine M an n ig faltig k eit von dem einzelligen T ie r bis zu den W eic h tieren u n d G lied er­

tieren , welche w underbare V ervollkom m nung der ein­

zelnen O rgane! U m diese w ichtige E rk en n tn is so re c h t

einzusehen, ist es unerlässlich, nochm als einen kurzen U eberblick ü b er die in der Q uinta b ehandelten W irb e l­

tie re daran zu schliessen vom gehirnlosen Lanzettfischchen bis zu den M enschenaffen m it all den schrittw eise vor sich gehenden V ervollkom m nungen, wie sie sich im K reislauf, in der O rganisation des H e rz e n s , in d er

| T e m p eratu r des B lutes u nd vor allem in der E ntw ick- : lung des N ervensystem s äussern.

S om it können w ir den Schlussstein legen zu dem

| zoologischen U n terrich t, den w ir nach sorgfältigen nie- i thodischen U eberlegungen trotz seiner F ü lle in drei J a h r e n b ew ältig t h a b e n ; er r u h t n ich t isoliert, als totes W issen im Schüler, er t r i t t vielm ehr m it dem botanischen, chem ischen, m ineralogischen un d physikalischen U n te r­

ric h t zu einem G anzen zusam m en, das ihm fü r sein ferneres L eben eine Q uelle w ahrer B ildung sein w ird.

Z u r B e h a n d lu n g d e r K r e is le h r e . V on O s k a r L e s s e r (F ra n k fu rt a. M.) Iti einem in No. 6 des vorigen Ja h rg a n g e s d er U n te rric h tsb lä tte r erschienenen A ufsatze: „Die Sätze vom K reisviereck und vom P erip h eriew in k el“ m acht H e r r L o n v - H a m b u r g den V orschlag, bei d er B ehand­

lung des K reises in U I I I den F rag en nach der A nzahl der m öglichen K reise d u rch einen, d u rch zwei u nd d u rch drei P u n k te sofort die B eantw ortung der w eiteren an z u g lie d e rn , u n te r w elchen B edingungen ein K reis auch d urch vier P u n k te m öglich ist. V ielleicht h a t m ancher K ollege an diesem P u n k te die gleiche Beob­

ach tu n g gem acht w ie d e r V erfasser dieses, und w ie sie wohl auch H e rrn L o n v aufgestossen is t: D er Schüler, d er bis dahin ausser dem D reiecke auch das V iereck — das gem eine zum m indesten in einer R eihe von K on- stru k tio n sau fg ab en — b eh an d elt h a t, m öchte, nachdem er soeben die A ufgabe gelöst hat, einem D reiecke den K reis um zubeschreiben, nun auch so fo rt wissen, ob ü b er­

h a u p t und u n te r w elchen B edingungen ein U m kreis auch beim V iereck m öglich sei. Da kann d e r L e h re r n ic h t au f sp äter vertrösten, er muss dem S chüler folgen.

E in e n A usw eg, das Sehnenviereck vor dem P e rip h e rie ­ w inkel zu b e h a n d e ln , h a t H e r r L o n y angegeben.

V ielleicht w ird m ir v e rs ta tte t, einen w eiteren B eitrag zu dieser F rag e zu geben.

E s h an d e lt sich darum , den S chüler so vorzubilden, dass m an ohne S chaden fü r den U n te rric h t bei d er B ehandlung d er K reisleh re je nach U m ständen die eingehendere B esprechung eines A b sch n ittes zurück­

stellen kann, ohne den Z usam m enhang zu v erlieren od er g a r au f H indernisse zu stossen.

D er K reis w ird lehrplanm ässig in ü I I I in einem neuen K a p ite l als eine neue F ig u r beh an d elt, obgleich er b ereits au f d er früheren S tu fe (IV ) eine gewiss n ic h t seltene A nw endung erfahren h a t, aus d er h eraus d er S chüler m it e in er ganzen R eih e seiner E igenschaften v e rtra u t g e ­ w orden ist. E s en tste h t nun die F ra g e : I s t es n ich t m öglich — ohne zu üb erh asten od er dem S chüler zuviel zuzum uten — in I V n ebenher und zw ar bei G elegen­

h e it seiner A nw endungen den K reis schon so w eit zu b ehandeln, dass alle seine hauptsächlichen E igenschaften, sowie d ie d e r zu ihm in B eziehuug stehenden G eraden (T an g en te u n d S ekante) u n d W in k el (P erip h erie- u nd C entriw inkel) schon a u f dieser S tufe e rk an n t w erden, u n d so zw ar, dass diese E ig e n s c h a fte n , dem S chüler d e r I V geläufig, in I I I n u r m eh r zusam m engestellt u nd stren g bew iesen zu w erden b ra u c h e n ? Ic h glaube, diese F ra g e b ejah e n d b ean tw o rten zu dürfen.

1 9 0 1 . ' N o . 2 . Zu r Be h a n d l u n g d e r Kr e i s l e h r e. S . 2 9 .

Die häufige A nw endung des Z irkels a u f I V allein lässt es w ünschensw ert ersch ein en , au f dieser Stufe schon etwas genauer, als es gem einhin geschehen mag.

a u f die E igenschaften des K reises einzugehen: E inige Kreissätze sind ja ohnehin fü r den Q u artan er durchaus n otw endig; so setzt die L ösung d er A ufgabe z. B.: „A n einer G eraden in einem gegebenen P u n k te einen ge­

gebenen W inkel unzutragen“ doch eig en tlich “ die K enntnis des Satzes voraus: „K reisausschnitte über gleichen Seim en k ongruenter K reise sind entsprechend kongruent, d. h. der grössere dem grösseren, d er kleinere dem kleineren“. Es erscheint daher, da m an in I V auf die L ösung der eben angeführten A ufgabe unm öglich verzichten kann, unerlässlich, b ereits au f dieser S tufe eine Reihe von K reissätzen zu behandeln. U nd Sätze wie d er angeführte und die folgenden:

„K reisflächen m it dem selben Radius sind k o n g ru en t“.

„Alle H alb k reise desselben K reises (oder k o n g ru ­ en ter K reise) sind kongruent.",

„Zu gleichen Bogen . . . gehören gleiche Sehnen . . . “ und so fort, lassen sich wolil auch einem Q uartaner nahe bringen.

A usserordentlich v o rteilh aft ersch ein t es m ir, bei d er B esprechung dieser Sätze zugleich den K reis als sym m etrische F ig u r zu b e tra c h te n ; die d arau f verw endete Z eit und M ühe m ach t sich sicher bezahlt. D enn hier lassen sich die einfachen G r u n d a u f g a b e n der geom etrischen K o n s tru k tio n : E in e S trecke o d er einen W inkel zu h alb ieren ; ein Lot zu fällen oder zu er­

rich ten ; das M ittello t einer G eraden zu suchen — auf einfachste W eise vorbereiten mul ih re r L ösung zu­

führen. D er S chüler b rau ch t sich je tz t einen W inkel n ic h t m eh r n u r h a lb ie rt zu d e n k e n ; er kann von vorn­

herein, m öchte ich fast sagen, die K onstruktion w irklich ausführen. Ich verweise hier au f m eine, bei K öppcn- D ortm und 1898 erschienene „E in fü h ru n g in den geo­

m etrischen U n te rric h t“. (Preis 40 P lg . i Lässt m an noch die Sätze aussprechen:

1) „Die V erbindungslinie zweier sym m etrischer P unkte steh t au f der S ym m etrale sen k rech t“ und

2) „ T rä g t m an in zwei sym m etrischen P un k ten an ih re r V erbindungslinie zwei sym m etrische (gleiche u nd ein­

an d er zugekehrte) W inkel an, so schneiden sich die freien Schenkel in der S ym m etrale“,

so folgen aus 1) die Sätze:

„Die T angente steht a u f dem B erührungspunkte sen k rech t“.

„Das von dem M ittelp u n k t eines Kreises auf eine Sehne gefällte L o t h a lb ie rt die Sehne, die Bogen e tc .“

„D ie V erbindungslinie des M ittelpunktes oiues K reises m it dem H alb ieru n g sp u n k t einer Sehne, h alb iert . . . und steh t au f der Sehne sen k rech t“ u. s. w. u. s. w.

Der Satz 2) ab er bew eist den S atz: „G leichen Wi nkel n i m D reieck liegen gleiche Seiten gegen ü b er“ direkt.

D a sich auch d er Satz „Dem grösseren W inkel im Dreiecke liegt die grössere Seite gegen ü b er“ sehr bequem d ire k t beweisen lässt, so kann der indirekte Beweis in IV ganz verm ieden w erden. (Dasselbe g ilt übrigens auch f ü r U I I I und 0 II I).

B ietet eine B ehandlung des K reises in IV , wie ich soeben andeutetc un d in d er erw ähnten E inführung*) ausgeführt habe, schon fü r IV seihst m anchen V orteil, so erg ieb t sich der G ew inn fü r U ITI ohne w eiteres;

vorausgesetzt freilich, dass der U n te rric h t n ic h t 1 e d i g -

*1 D ie „ E i n f ü h r u n g “ is t v o m V e r f a s s e r e r w e i t e r t u n d w ir d d e m n ä c h s t, a l s „ H i l f s b u c h f ü r d e n g e o m e t r i s c h e n U n t e r r i c h t “ im D r u c k e r s c h e i n e n .

l i e h bew eist, sondern d urch A ufgaben die notw endigen Sätze aufsucht un d ih re Beweise vorbereitet.

N otw endig w ird m an in I V eine R eihe einfacher K onstruktionsaufgaben behandeln m üssen: Die G ru n d ­ konstruktionen u nd eine R eihe von A nw endungen (aus Seiten, W inkeln u nd T ransversalen). — Sei nun die A ufgabe g estellt: „E in D reieck aus a, m a (Seitenhalb.

Transv.) und irgend einem d ritte n S tücke zu konstru­

ieren “, so teile m an in die 3 U n terfälle

1) m a > 21 m a = ₃₎

_m

_{a <}

D er S chüler w ird fü r den Fall 2) rasch beweisen, dass das gew onnene D reieck rechtw inklig ist und dass in 1) « < 9 0 ° und in 2) a > 90°. So w ird d er Satz ge­

funden:

„D er geom etrische O rt fü r die Spitze eines rech t­

w inkligen D reieckes m it gegebener H ypotenuse ist der K reis m it d er gegebenen H ypotenuse als D urchm esser.“

D arauf, dass dieser S atz auch au f den a n d e re n :

„ Im R echtecke sind die D iagonalen gleich“ hinführt, sei hier n u r hingew iesen. — A n die A ufgabe w erden n atürlich v o rteilh aft einige A ufgaben über das rech t­

w inklige D reieck angeschlossen.

D er Satz vom gem einen P eripheriew inkel (« ^ 9 0 ° ) lässt sich leicht als einfache A nw endung des W inkei­

sum mensatzes des D reieckes beweisen.

E rin n e rn w ir uns daran, dass der Satz „Die T angente stellt a u f dem B erührungsradius sen k rech t“ bereits frü h er gefunden war, so folgt aus D reieck A B C untenstehender F ig u r als W inkelsum m e

90 — « -f- 90 — « + r + « -)-<) + J ~ 180 °,

woraus folgt i -+- 8 u, d. h. « p H B O = B A C.

(L ie g t M ausserhalb des D reieckes A B O , so ergiebt sich d er Beweis ebenso einfach.)

So sind auch die Sätze gew onnen: „D er Selmen- tangentenw inkel is t gleich dem Peripheriew inkel im entgegengesetzten K reisab sch n itt“ und

„Alle P eripheriew inkel üb er demselben Bogen sind g leich “. —

B edenkt m a n , dass in dem dem Pensum der U 111 zugewiesenen K a p ite l „Der K reis“ die B ehand­

lung d er oben angeführten Sätze üb er Sehne und T angente, sowie ü b e r den P eripheriew inkel den b reite­

sten R aum ein n im m t, dass ab er eine B ehandlung des K reises, wie ich sie im vorstehenden angedeutet habe, schon in IV seh r wohl durch fü h rb ar is t; erw ägt m an ferner, dass d er Q uartaner ohne die K enntnis ein er R eihe von K reissätzen g a r n ich t auskom m t, so w ird der Vorschlag nicht ganz u n g erech tfertig t erscheinen : Die H a u p ta rb e it in d er E n t w i c k d u n g der K reissätze nach IV zu verlegen. Die A rb eit, welche

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg. VII. No. 2.

die U I I I lehrplanm ässig m it d er B ehandlung der K reislehrc zu verrich ten h at, soll d adurch keineswegs aufgehoben, ab er bedeutend e rle ic h te rt w erden, ohne V ergrösserung d er A rb e it des Schülers in IV . A uf­

g abe des U n terrich tes in I I I w ürde es sein, die ge­

w onnenen Sätze zusam m enzustellen und d u rch strenge Beweise zu erh ärten ; dabei a b er besonders auch die K enntnis des K reises durch reichlich gestellte A ufgaben gehörig zu vertiefen und zu erw eitern.

I n h a l t s - B e r e c h n u n g v o n K u g e l u n d K u g e l s e k t o r d u r c h R e s t k ö r p e r .

Von O b erleh rer G r a c b e r in H ö x ter.

A A ’ M B B 'M stellt den A chsensclinitt des R estkörpers von O ylinder un d K eg el und A D ' JVI B E ' M den A chsen­

sch n itt des R estkörpers von K u g elsch ich t u nd K egel.

B eide R estk ö rp er haben gleiche G rundfläche und H öhe.

Die in gleichem A bstande von d er Spitze geführten Q uerschnitte sind A " F ' B ” F " beziehungsweise I) G E G'.

Die F lächen dieser Schnittfig uren s in d : .Q == (A "C - — F 'O 3) .t, J 2 = j D C 3 — G 'U ^ .t. E s is t: A ''C 3 = R 2

R 2 y2

F’ c^=

F e rn e r ist: DC3 = R 3 — y3

a3 y 2 (R 2 - h 'Q y - ’ __ B?y»

G ’C2 = h3 = h 2 ~ h 2 ~ r R-’yA

J 2 = (R 2 - h y ) u •■■■IT N ach dem Cayalierischen P rin zip e rg ie b t sieh nun­

m eh r aus I u n d I I d e r S atz: D er R au m in h alt des R estkörpers K 1 von O ylinder u n d K egel is t gleich dem R au m in h alt des R estkörpers Iv2 von K u g elsch ich t und K egel, vorausgesetzt, dass beide R estk ö rp er den grössten K reis d er K ugel zur. G rundfläche u nd gleiche H öhe haben.

R 2 .t h 2 , , N un is t: K 1 = R 2 .t1i— ^ = .j K -.t li = Ke, m ith in fü r h = R

2

K j = ,j R3 .t, ln diesem F alle w ird K., zur H alb k u g el; m ith in ist d e r In h a lt derselben:

v

= |

r

3t-

N unm ehr erh ält m an den In h a lt S des K ugel­

sektors, dessen A chsenschnitt D ' E ' M ist, wenn m an den In h a lt des R estkörpers I i 2 vom In h a lt der H a lb ­ kugel ab zie h t; also

S = |- R 3 .t - t R -’.-rh

2

= -,y R 3 it. (R —

li)

oder fü r R — h = h'

S == g R2 sr l l ' .

S c h u l- u n d U n iv e r s itä ts -N a c h r ic h te n .

X . N a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e r F e r i e n k u r s u s in B erlin, O ktober 1900. D er K ursus fan d in G em ässheit

| des in N o. 5 des abgelaufenen Jah rg a n g s veröffent- 1 lichten Program m s s ta tt, das n u r einige kleine A b-

! änderungen erfah ren m usste. S ta tt P ro f. S l a b y tr a t P ro f. AYr e d d i n g e in , der ü b er die neuesten B e­

leuchtungsm ethoden v o rtru g , fü r den erk ran k ten P rof.

M ö 1) i u s ü bernahm P rof. v. M a r t e n s die D em on­

stratio n en im zoologischen M useum .

Z u r T eilnahm e an dem K ursus w aren 44 L eh rer, vorzugsweise aus den östlichen P rovinzen erschienen (für die w estlichen Provinzen kom m en m eh r die G ö ttin g er F erien k u rse in B e tra c h t; zu dem — auch diesmal w ieder sehr zahlreich besuchten — nam entlich die E lek tro tech n ik berücksichtigenden F ra n k fu rte r K ursus pflegen alle P rovinzen ziem lich gleichm ässig ih r K o n tin ­ g e n t zu stellen).

E in en ausführlichen B e ric h t ü b er den B erlin er K ursus von D irek to r P ro f. D r. S c h w a l b e u n te r V e r­

w endung der von den einzelnen V o rtrag en d en gegebenen S o n d crb ericb te b rin g t die N aturw iss. AVochenschrift NAH, F e b ru a r 1901, H e ft 2.

* *

*

U n i v e r s i t ä t J e n a . N achdem fü r die M athem atik ein zw eites O rd in a ria t (P rof. G u t z m e r ) ein g erich tet w orden ist, haben auch die R äum e fü r den m athem a­

tischen U n te rric h t eine erhebliche V erbesserung und E rw e ite ru n g erfah ren , u. a. ist den U ebungen im kon­

stru k tiv en Z eichnen (D arstellende G eom etrie u n d Gra- p hostatik) ein grösser Saal überw iesen w orden, die M odellsam m hrag h a t eine erhebliche B ereicherung und bessere A ufstellung erhalten, auch ist ein m athem atisches L esezim m er ein g erich tet w orden.

V e r e in e u n d V e r s a m m lu n g e n .

N a t u r f o r s c h e r - V e r s a m m l u n g z u A a c h e n 1 9 0 0 .* )

B e r i c h t ü b e r d i e V e r h a n d l u n g e n d e r A b t e i l u n g f ü r m a t h e m a ­ t i s c h e n u n d n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n U n t e r r i c h t .

AArie in dem allgem einen V ersam m lungsbericht b ereits b em erk t w orden ist, w ar d er Besuch der A b ­ teilu n g schw ach, d e r grösste T eil d er angekündigten

Aro rträ g e m usste w egen N ichterscheinens der R edner ausfalien. So k onnte die A b teilu n g ü b e rh a u p t n u r zwei S itzungen abhalten, deren erste u n te r dem V orsitz von ( P ro f. S c h ü l l e r in A achen durch einen längeren Vor-

| tra g von K r e b s (B a rr i. E .) ausgefüllt w urde. Das

; V o rtrag sth em ab ild ete d ie F r a g e : „ I s t v o n d e r O r g a n i ­ s a t i o n d e r h ö h e r e n S c h u l e n a l s ö r t l i c h e r C e n ­ t r a l e n f ü r l a n d e s k u n d l i c h e F o r s c h u n g w e s e n t - j l i e h e F ö r d e r u n g e i n e r s e i t s d i e s e r F o r s c h u n g ,

| a n d e r e r s e i t s d e s U n t e r r i c h t s , n a m e n t l i c h d e s

; n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n z u e r w a r t e n ? “ D iese F ra g e b ejah te der R ed n er in vollem U m fange.

| E r b e rie f sich d arauf, dass die H a u p tv e rtre te r der

; w issenschaftlichen landeskundlichen F o rsch u n g a u f die

| M itw irk u n g des L eh rerstan d es und d er S chüler vielfach

*) S . L T n t.-B l. V I , 6, S . 1 1 7 ; V I I , t , S . 12. — Z u d e m B e ­ r i c h t ü b e r d i e V o r t r ä g e i n d e n a l l g e m e i n e n S i t z u n g e n i s t e r ­ g ä n z e n d n a c h z u t r a g e n , d a s s d e r d a n n (a . a . O . S . 15) e r w ä h n t e V o r t r a g v o n B a k h u i s - R o 7. e b o o m i n S o n d e r a u s g a b e b e i I IV . E n g e l m a n n i n L e i p z i g e r s c h i e n e n i s t.