Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 10, No. 2

Jah rgan g X .

U nterrichtsblätter

1904. Nr. 2.

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

O rg a n des V e re in s z u r F ö rd e ru n g

des U n te rric h ts in d e r M a th e m a tik u n d den N a tu rw isse n sc h a fte n .

Begründet, unter M itw irkung von B ernhard S ch w alb e,

herausgegeben von

F. P i e t z k e r ,

P r o f e s s o r a m G y m n a siu m z u N o rd h a u se n .

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 3 0 .

R ed ak tio n : Alle, f ü r d ie R e d a k tio n b e s tim m te n M itte ilu n g e n u n d S e n d u n g e n w e rd e n n u r a u d ie A d resse des P r o f . P i e t z k e r in N o rd n a u s e n e rb e te n .

V e re in : A n m e ld u n g e n u n d B e i tr a g s z a h lu n g e n f ü r d e n V e re in (3 M k. J a h r e s b e i t r a g o d e r e in m a lig e r B e i tra g v o n 45 M k.) s in d a n d e n S c h a tz m e is te r . P r o fe s s o r P r e s 1 e r in H a n n o v e r , L i n d e n e rs tra s s e 47, z u ric h te n .

V erlag : D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n 6 N u m m e rn is t 3 M ark , f ü r e in z e ln e N u m m e rn 60 P f . D ie V e re in s m it­

g lie d e r e r h a lte n d ie Z e i t s c h r i f t u n e n tg e ltlic h ; fr ü h e r e J a h r ­ g ä n g e s in d d u rc h d e n V e rla g b ez. e in e B u e h h d lg . zu b e z ie h e n . A n z e i g e n k o s te n 25 P f . f ü r d ie 3 -g e s p . N o n p a r .- Z e ile ; bei A u fg a b e h a lb e r od . g a n z e r S e ite n , so w ie b ei W ie d e r h o lu n g e n E r m ä s s ig u n g . — B e ila g e g e b ü h re n n a c h U e b e r e in k u n f t.

N a c h d r u c k d e r e in z e ln e n A r tik e l is t, w e n n ü b e r h a u p t n i c h t b e so n d e rs a u sg e n o m m e n , n u r m i t g e n a u e r A n g a b e d e r Q u elle u n d m i t d e r V e rp f lic h tu n g d e r E i n s e n d u n g e in e s B e le g e x e m p la rs a n d e n V e rla g g e s ta t t e t .

lu ll a l t : T a g e s-O rd n u n g d er XI I I . H auptversam m lung zu H alle a. S., Pfingsten 1904 (S. 25). — E ine neue B e­

handlung des U nendlichen im m athem atischen U n terrich te. Von K u r t G r e i s s l c r , Schluss (S. 2fi). — Z u r F ra g e des U n terrich ts in der Infinitesim alrechnung an den höheren L ehranstalten. V on K . F r a n z (S. 33). — Inform ations-K urse und -Reisen fü r M athem atiker un d N aturw issenschaftler. V on Dr. W . B r U s c h (S. 36). — E lem entare B ehandlung d er M axim um - und M inim um -A ufgaben. Von Ing en ieu r E. P u l l e r (S. 37). — K leinere M itteilungen (S. 39). — V ereine und V ersam m lungen [I II. In tern atio n aler M athem atiker-K ongress zu H eid elb e rg ; H essischer O berlehrertag und V erbandstag von V ereinen akadem isch g eb ild eter L e h re r D eutschlands; V erein fü r S ch u lrefo rm ; 76. V ersam m lung der G esellschaft deutscher N aturforscher und A crzte zu Breslau vom 18. bis 24. S eptem ber 1904] (S. 40). — Schul- und U niversitäts- N achrichten [R atschläge für die K andidaten des höheren L eh ram ts in M ath em atik u nd P hysik an der U n iv ersität Jen a] (S. 41). — Lehrm ittel - B esprechungen (S. 41). — B ü ch er- Besprechungen (S. 41). — Z u r B esprechung eingetrotfene B ücher (S. 44). — A nzeigen.

Verein zur föröerung Des Unterrichts in Der jYiathematik unD Den JVaturwissenscha/ten.

T a g e s o r d n u n g d e r X I I I . H a u p t v e r s a m m lu n g zu H a l l e n . S , P fin g s te n 1904.

M ontag, 23. Mai, abends

U h r: Geselliges Beisammensein im „Goldenen Schiffchen“ , Grosse Ulrichstrasse.

D i e n s t a g , 24. Mai, vorm ittags 9 Uhr : E rste allgemeine Sitzung.

E röffnung un d B egrüssung. — G eschäftliche M itteilungen.

V ortrag von E . G r i m S e h l (H am b u rg ): U eber den B etrieb d er P hysik als N aturw issenschaft.

V o rtra g von M. N a t h (N ordhausen): lieb er die B ildungsaufgabe d er M athem atik innerhalb des L e h r­

plans der höheren Schulen.

1 1

—

Uhr: Frühstückspause.

1 2 '4 — 2 'Ai U hr: Abteilungssitzungen.

N achm ittags:

/-> U hr: Besichtigungen.

Abends

U hr: Festm ahl (mit Damen) im Hotel „S tadt H am burg“.

(P reis des trockenen G edecks: 4 Mk.)

M ittw och, 25. Mai, vorm ittags 9 U hr: Zweite allgemeine Sitzung.

D iskussion ü b e r den U n terriclitsb etrieb in der Physik (im Anschluss an den V o rtrag von G r i i n a e h l ) .

I I

,

— 12 U hr: Frühstückspause.

12

U hr: Abteilungssitzungen.

27* U h r: Einfaches M ittagessen im Goldenen Schiffchen.

4 l / 2

U h r: Saalfahrt (mit Damen), E n d ziel: Zoologischer Garten.

B esichtigung unter sachkundiger F ü h ru n g . — Geselliges Beisam mensein.

A bends: Festkneipe des mathematischen Vereins zur F eier seines Stiftungsfestes (Flotel

„Kaiser Wilhelm“), bei der

Versammlungsteilnehmer willkommen sind.

S . 2 6 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg. X. Nö. 2.

D onn erstag, 26. Mai, vorm ittags S’/a Uhr : D ritte allgemeine Sitzung.

D iskussion üb er die B ildungsaufgabe d er M athem atik (im Anschluss an den N athschen V ortrag).

11 U h r : G e s c h ä f t li c h e S it z u n g . K assenbericht. — W ahl von 3 V orstandsm itgliedern an Stelle von HamdoriV. P resler und S chotten, — B estim m ung des O rtes d er näch stjäh rig en H au p tv er­

sam m lung. — Beschlussfassung über etw aige V e rtre tu n g des V ereins a u f der diesjährigen N atu r­

forscher-V ersam m lung. — A n tra g von P resler (s. w eiterhin). — Sonstige geschäftliche A nträge.

12 U h r: M ittagessen im B ahnhofrestaurant.

1 U hr 16 Min.: A bfahrt nach Naumburg. Spaziergang über den K nabenberg nach der R udelsburg (2 Stunden Marsch), ev. Fahrt, bis Krisen, von da Aufstieg zur R udels­

burg. — A bends: Geselliges Beisammensein im „M utigen R itte r“ in Kosen.

Angemeldete A bteilungsvorträge:

K . G e i s s l e r (C h arlo tten b u rg ): D er anschauliche Zusam m enhang der K egelschnitte durch die unend­

liche K egelsclm ittkngel.

E. G r i m s e h l (H a m b u rg ): P hysikalische Schulversuche.

(W eitere V ortragsanm eldungen sind erw ünscht.)

A nträge für die H auptversam m lung:

P r e s l e r (H a n n o v e r): Es ist w ünschensw ert, dass an je d e r technischen H ochschule ein S tudienplnn fü r die S tudierenden der M ath em atik aufgestellt w ird.

An Besichtigungen sind in Aussicht genommen :

E lek trizitätsw erk ; B otanisches I n s titu t; L andw irtschaftliches I n s tit u t; M oritzburg.

Alle Sitzungen finden im neuen Sem inargebäude der U niversität am U niversitätsplatz s ta tt. D ort befindet sich auch das A uskunftsbureau.

Als FrühstückslokÄle w erden em pfohlen: T ulpe, R eichshof, Goldenes Schiffchen, säm tlich in der Nähe d er Sitznngsräum c.

Als H otels em pfeldeu sieh 1. in d er N ähe des B ahnhofes: G oldene Kugel, H otel C ontinental, E uropäischer Hof, H otel B ach ; 2. in d er M itte der S ta d t: S ta d t H am b u rg , Goldenes Schiffchen; V creinshaus, T u lp e ; 3. in grösserer E n tfe rn u n g : K aiser W ilhelm , P rin z H einrich.

W ie alljährlich, w ird sieli der Vereins Vorstand auch in diesem J a h r e an die U nterriehtsvenvaltungeii d er deutschen S taaten m it d er B itte w enden, den L eitu n g en d e r einzelnen A nstalten eine w ohlw ollende B erück­

sich tig u n g der behufs T eilnahm e an unserer V ersam m lung eingehenden U rlaubsgesuche zu empfehlen. Es ist zu hoffen, dass diese B itte, wie es b ish e r regelm ässig geschehen ist, auch in diesem J a h r e G ew ährung finden wird.

D er H au p tvorstan d. D er O rtsau sschu ss.

Pietzker. Schotten.

E in e n eu e B eh an d lu n g d es U n e n d lich e n im m ath em a tisch en U n terrich te.

V o rtra g au f d er H auptversam m lung in Breslau.*) Von K u r t G e i s s l e r (C hnrlottenburg).

(Schluss.)

Es ist nicht verw ehrt, sich neben endlichen Grössen auch eine unendlichkleine oder mehrere vorzustellen, e i n e S u m m e mi t g e m i s c h t . e r W e i t e n b e l i a f t u n g zu bilden. D en W e rt

einer solchen kann man aber für beide Beliaf- tungen nicht, durch ein einziges Zeichen aus- drüeken; das einzelne Unendlichkleine trä g t

*) S . U n t.-B l. X , 1, S. 3.

I zur endlichen Summe nichts bei, ist für sie N u ll, das Endliche trä g t zur Veränderung von ' einer unendlichkleinen Summe nichts b e i, ist für sie nicht verw endbar. Man sieht., dass schon in den Anfängen die A r i t h m e t i k sich m it

| der Geometrie verbindet. Ich möchte aber zu­

erst die B etrachtung des Unendlichen für letztere fortsetzen. D e r W i n k e l , dieser unvermeid­

liche Begriff, veranlasst, noch heute Meinungs- difterenzen. E r ist ohne das U ntersinnlich­

vorstellbare kaum zu definieren. Ich habe mich darüber ausführlicher in unserer Zeitschrift aus- I gelassen. Die unendliche W inkelfläche erlaubt eine genaue Vergleichung n ur durch Begrenzung.

Man pflegt sie durch Kreisbogen zu begrenzen.

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S. 27.

Die Schwierigkeit ist aber die Gleichheit von Kreisbogen nachzuweisen. Bestehen die Bogen aus unendlichkleinen geraden Strecken in der­

selben, durch irgend ein Dreieck bestimmten Ebene, so sind diese Streckenzüge gleich, wenn die betreffenden von je zwei Radien und der kleinen Sehne gebildeten Dreiecke (m it ge­

m ischter W eitenbehaftung) kongruent sind. Ich nehme darum den K o n g r u e n z s a t z b e i G l e i c h h e i t a l l e r S e i t e n a l s e i n A x i o m an. Ohne ein solches geht es nicht ab, ent­

weder für Sektorengleichheit oder Dreiecks­

gleichheit.

Zwei Kongruenzsätze gestalten sich dann einfach. W ird der W inkel durch den gebrochenen Streckenzug definiert auf irgend einem Kreise als Anzahl von G rad en , so folgt aus dem Kongruenzsatze bei drei Seiten sofort der v o n z w e i S e i t e n u n d d e m e i n g e s c h l o s s e n e n W in k .e l. Zum W eiteren ist freilich das be­

rühm te Parallelenproblem nötig.

Es ist bekannt, dass der Satz von der W i n k e l s u m m e i m D r e i e c k hinausläuft auf den Satz von der Gleichheit der W echselwinkel bei zwei von einer dritten geschnittenen P a ­ rallelen, und es steckt darin das Axiom von der einzigen Parallelen durch einen P u n k t zu einer Geraden. Nach dem Vorgetragenen hat dies nur G iltigkeit für bestimmte Behaftungen, z. B. für endliche Gerade und endliche Parallele, (die sich im Endlichen niemals schneiden).

S etzt man voraus, dass die Wechselwinkel gleich sind oder die Ergänzungsw inkel supple­

mentär, so kann man nach der bisherigen Auf­

fassung die P arallelität der Geraden beweisen durch die Kongruenz der beiden Halbstreifen, und zw ar pflegt m an, wie überhaupt für Kon­

gruenz D e c k u n g s b e w e i s e zu machen. Dies erscheint zwar für den U nterricht sehr bequem, indem man z. B. Modelle fortbew egt und auf­

einander le g t, wirkliche Beweise sind es aber nicht. Denn es w ird bei der Fortbew egung irgend einer F igur vorausgesetzt, dass sie u nter­

wegs dieselbe bleibt oder dass die verschiedenen Lagen, die sie räumlich einnimmt, dieselbe, d. h.

kongruente in jed er Beziehung, ausser der Lage, gleiche Figuren liefern. Man setzt also einfach schon voraus, dass die Lagen kongruent sind, und es h at genau genommen nun keinen Zweck mehr zu zeigen, dass die Endlage der bewegten Figur, d. h. die zweite F ig u r der ersten kon­

gruent. ist. S tellt man sich vor, die Figur be­

wege sich nur unendlichwenig fort, "so haben wir hierbei unzweifelhaft eine unendlichkleine O rtsveränderung und es kommen alle die Schwierigkeiten und Grundsätze in Betracht, welche für dieses nötig sind. Obenein aber gehört auch noch die Zeitvorstellung m it unend­

lichkleinen Zeitabschnitten dazu, und auch darin stecken die Grundsätze des Unendlichen. Des­

wegen halte ich es für gründlicher, die Bewegung nur nachträglich als Hilfsm ittel anzuwenden, niemals aber, um etwas Elem entares wie die Kongruenz zu zeigen. Sie ist ein bequemes W ort für die Zusammenfassung einer grossen, vielleicht unendlichen Anzahl von kongruenten Lagen.

Die Kongruenz scheint, mir ferner nur klar zu sein hei völliger Begrenzung. D ie b e i d e n H a l b s t r e i f e n sind daher nu r insoweit kon­

gruent, als sie a b g e g r e n z t w erden, z. B.

durch kongruente Dreiecke beiderseits. Von diesen wird Gleichheit der Seiten oder zweier Seiten und des eingeschlossenen W inkels benutzt.

Unterscheiden sich aber die W echselwinkel nur um Unendlichwenig, so w ürden die Dreiecke für das Endliche doch noch übereinstim m en;

auch die Dreiecksseiten sind als Gerade für bestim mte W eitenbehaftungen zu definieren. Der Deckungsbeweis g ilt darum immer n ur für be­

stim m te W eitenbehaftungen. Das heisst. die K o n g r u e n z d e r b e i d e n H a l b s t r e i f e n i s t z. B. f i i r e n d l i c h e L ä n g e n b e w e i s ­ b a r oder auch für unendliche erster Ordnung usw., und dem entsprechend sind die Parallelen zu definieren. Man kann in dem U nterrichte das Beispiel des Endlichen herausgreifen und bew eisen, dass bei gleichen W echsel winkeln die Geraden im Endlichen, aber bis auf be­

liebig endliche Entfernungen sich nicht schneiden, also endliche Parallele sind. Macht man den Beweis nur in der bisherigen A rt, ohne Behaf­

tungen, so bleiben die Schwierigkeiten des Unendlichen darin, und der denkende Schüler h at das Bewusstsein, dass etwas nicht stimmt oder unsicher ist..

Setzt man um gekehrt das Vorhandensein endlicher Parallelen v o rau s, so kann man die Gleichheit der W echsel winkel und den Satz von der W inkelsumme für das Endliche beweisen, vorausgesetzt, d a s s es n u r e i n e e n d l i c h e P a r a l l e l e g i b t . Bei anderer Gelegenheit werde ich zeigen, dass die Lehre von den B e­

haftungen sehr wohl Geometrien erlaubt, die mehrere Parallele zu einer Geraden durch einen P u n k t zulassen, also n i c h t e u k l i d i s c h e G e o m e t r i e n oder besser die ..übereuklidische“

und zwar für unsere tatsächliche, aber auf unendliche Gerade und unendlichkleine W inkel ausgedehnte Raumvorstellung. Das braucht man j im U nterrichte nur anzudeuten. Es ist aber richtig, dies zu tun, denn nur dadurch kann der Schüler später verstehen, wie m ittels des Un­

endlichen die Lehrsätze im Zusammenhänge stehen, ich erinnere an den Satz von Ceva und Menelaus, dessen Zusammenhang ich in unserer Zeitschrift geschildert habe.

Es ist auch sehr wohl möglich, schon hier

von dem Gegensätze der Geometrie auf einer

Kugelfläche und der Ebene zu sprechen. Sind

S. 28. U.NTEERIG

die beiden endlichen Geraden unendlichste*Teile von Kreisen auf einer Kugelfläche, so befinden sie sich für die B ehaftung m it dem Endlichen auf einer endlichen E bene, und schneiden sich doch als Krumme auf der Kugelfläche. Also könnte man sagen, diese endlichen Geraden wären Linien, die sich einmal schnitten, oder auch diese endlichen Geraden kehrten einmal in sich zurück (an einer Apfelsine vorzumachen, indem man, was sehr leicht ist, sich diese unendlichgross vorstellt, d. h. die sinnliche W elt nur in einem unendlichsten Teil derselben sich abspielen lässt).

Bei der Lehre von den Dreiecken und Parallelogrammen kommen Parallele bekanntlich ungemein viel vor, es ist demnach die ganze Geometrie durchsetzt mit den Schw ierigkeiten des Unendlichen. L öst man dieselben etwa auf dem W ege, den ich vorschlage, so kann es nur nützlich sein, wenn man oft w ieder an das Unendliche d e n k t, während man mit endlichen Figuren wie Dreiecken zu tu n hat. Ich erinnere noch einmal an die Transversalen, will auch kurz die harmonische Teilung erwähnen, bei der für den inneren, in der M itte liegenden P u n k t, der äussere, wie man sagt, in das U n­

endliche rückt. Die Schw ierigkeit, dass man nicht weiss, ob das Unendliche rechts oder links liegt, und etw a d e n u n e n d l i c h f e r n e n P u n k t für einen blossen Ausdruck erklärt, der nichts Räumliches nielir betrifft, fällt für die B ehaftungslehre hinweg. D er M ittelpunkt ist das Grenzenloskleine, er stelle nur eine M itte für das Endliche vor, dann w ird das Unendliche zum grenzenlos Grossen und es ist dam it von einer Grenze, d. h. von einem fernen Teilpunkte aussen g a r k e i n e R e d e m e h r . A ber darum sind wir keineswegs genötigt, etw a das innere Hin- und H errücken des P unktes m i t e i n e r A u s n a h m e zu versehen, bei der es keinen zugehörigen äusseren P u n k t gibt. Diese Ausnahme ist mit R echt dem M athem atiker und auch dem U nterrichte unangenehm. W ir stellen uns nun die unendlichkleine M itte je nach Be­

dürfnis wieder als eine irgend wie begrenzte unendlichkleine S trecke vor. Auf dieser kann der P unkt, der nun etwas Grenzenloskleines niederer Ordnung ist, wieder hin- und herrücken, es kann also für ihn entw eder ein entsprechender P u n k t links oder ein entsprechender Punkt rechts liegen, je nachdem, ob dev kleinere Teil der unendlichkleinen M ittelstrecke links oder rechts liegt. Die äusseren P unkte liegen dann im Unendlichen erster O rdnung, aber insofern an bestim m ter Stelle, als auch im Unendlichen bestimmte Verhältnisse der Grössen angenommen werden. Und so kann man fortfahren. Eine a b s o l u t e M i t t e und eine a b s o l u t e G l e i c h ­ h e i t gibt es natürlich nach dieser Lehre wieder nicht, d. h. nicht in der räumlichen Anschauung,

t s b l ä t t k r.

Jah rg . X. No.

.

welche sicli stets in Behaftungen zerlegt, wohl aber logisch (Iden tität) oder bei Z a h l e n - g r ö s s e n.

W enn ich hierm it vorläufig zum Unendlichen in der A rithm etik übergehe, so muss ich be­

merken, dass man keineswegs berechtigt ist, eine stets passende P arallelität des Geometrischen und Arithm etischen anzunehmen. Ich wüsste w enigstens nicht, wie man so etw as beweisen wollte. Vielmehr müssen w ir auch hier empirisch vorgehen, d. h. durch i n n e r e E m p i r i e erst aufsuchen, was Zahlengrössen m it ihren Gesetzen sind und was R aum grössen, und erst durch Vergleichung feststellen, inwiefern sich diese M a n n i g f a l t i g k e i t e n ähnlich sind oder unter­

scheiden. Die Zahlen hängen am innigsten mit den logischen Grundgesetzen, z. B. m it dem S a t z d e r I d e n t i t ä t zusammen. Man kann Schülern sehr wohl zur E rinnerung bringen, die vielbenutzte, nicht w eiter erklärbar und uns darum selbstverständlich erscheinende Tatsache, dass w ir uns Gleiches denken können. Ob man dabei etwa noch bestimmte Beziehungen be­

rücksichtigen, z. B. in der Raum vorstellung, die gleichen Strecken durch P un kte begrenzen muss und auf die P u nktschw ierigkeit R ücksicht nehmen, das ist eine Frage w eiteren Nachdenkens.

Da zeigt es sich nun, dass rein logisch, d. h.

ohne räumliche oder sogenannte äussere An­

schauung ein Begriff ganz wieder ebenso w e n i g s t e n s g e d a c h t werden kann. Mögen wir auf die gleichen Grössen auf anderen psy­

chischen W egen, durch andere psychische Be­

ziehungen gelangen, so viel ist gewiss, dass w ir für B ehaftung m it rein Logischem sagen können, man denke sich 5 a und dies dann wieder fort. Das W o rt ..dies“ bedeutet schon die völlige logische Gleichheit. Darum g ib t es e i n e N u l l , eine von Unendlichklein ver­

schiedene Vorstellung. Trotzdem sind w ir im­

stande, uns auch u n e n d l i c h k l ei n e Z a h l e n vorzustellen, etwa bei der Bruchrechnung. Das muss auf einem tatsächlichen Vermögen beruhen.

Dies Vermögen nenne ich den W e c h s e l d e r W e i t e n b e h a f t u n g e n a u c h f ü r d i e Z a h l e n . Und es gilt auch hier der bereits genannte Grundsatz, dass der unendlichkleine Summand oder ein endliches Vielfaches davon neben dem endlichen gleich Null ist.

Man pflegt die Z a h l e n direk t a u f L i n i e n darzustellen, diese Lehre ist ja auch für die Schule von grösser W ichtigkeit, z. B. für die Grundlagen der Trigonom etrie (Sinus, geome­

trische und trigonom etrische Tangente usw.).

Es ist w ichtig, sich der B edeutung dieser Ueber- tragung genau bew usst zu sein. Eine Strecke a, etw a von 5 cm, kann man in einer R ichtung und dann wieder in der entgegengesetzten ver­

folgen. weil tatsächlich der Geist die Vorstellung

einer Hin- und H errichtung fü r jede Linie be­

1904. No. 2.

S. 29.

sitzt. W ir werden das Zurückkehren zum N ull­

punkt nicht als absolute Null, sondern anders auflassen. Man denkt sich einen Anfangspunkt als ausgedehnt, aber grenzenlos klein, daran die räumliche Grösse einer Strecke, z. B. die end­

liche Grösse, wenn der P u n k t unendlichklein war. K ehrt man wieder u m d i e e n d l i c h e S t r e c k e a zurück, so hat für diese ein unend­

lichkleiner U nterschied keine B edeutung m ehr;

man k eh rt also zu einem unendlichkleinen Gebiet zurück, welches der ursprüngliche P u n k t sein, oder auch grösser als derselbe oder kleiner aufgefasst werden kann, sobald man ihn nicht mehr als grenzenlos klein nimmt, sondern in ihm begrenzt Kleines unterscheiden will. Man könnte dies andeuten durch a — (a—<

) oder auch durch (5-j- a — a, wobei dann (5 grenzenlos auf­

zufassen ist.

Tn der Raum vorstellung kann man ein Ver­

hältnis ohne weiteres umkehren, z. B. das Ver­

hältnis einer unendlichkleinen zu einer endlichen bilden

c m : a cm. Dies gib t die reine Zahl oder

: o o .

Es ist aber sehr fraglich, ob wir auch in der A rithm etik jedes V erhältnis ohne weiteres umkehren können, ob z. B. 1 : 0 einen Sinn hat, wenn 0 : 1 möglich ist. M a n k a n n d u r c h a u s n i c h t o h n e w e i t e r e s a u s d e r U m k e h r b a r k e i t e i n e s r ä u m l i c h e n V e r - h ä l t n i s s e s a u f d i e U m k e h r b a r k e i t j e d e s b e l i e b i g e n a r i t h m e t i s c h e n s c l i l i e s s e n . Das Verhältnis

: 1 gibt es im Raume nicht in dem Sinne, dass diese Null eine absolute Null sei, sondern n ur in dem Sinne, dass es eigentlich (für Berücksichtigung des Unendlichkleinen) <5:

heisse und dieses V erhältnis als Summand nebengereiht w ird neben eine endliche, durch

dividierte Grösse, also

<5 . a

j — f— j . Dann ist nach den Grundsätzen des Unendlichen für dieses Endliche der erste Summand Null, also relativ 0 : 1 gleich 0. In der A rithm etik aber kann 0 auch absolut ge­

fasst werden und es bedeutet 0/1 die Zahl, die m it 1 m ultipliziert 0 ergibt. In der T at ist. aber

oder (a— a) l = l a — l a =

. Oder um gekehrt ist die berühm te bekannte Form 0/0 gleich

oder gleich irgend einer anderen Zahl; sie ist stets unbestimmt. Falsch geradezu ist aber die arithm etische Um kehrung 1 :

zu b ild en ; es gibt keine Grösse, die mit

0

m ultipliziert

ergäbe. Gäbe es eine und liiesse sie o o = x, so w äre

=

■ x = (a—a) • x = a • x — a x und da hier a genau dieselbe Grösse im Minuendus wie Subtrahendus ist, ebenso das x, welches ja nu r eine zweimalige Schreibung von g e n a u d e r s e l b e n Grösse x ist, so muss diese Differenz sicher

geben, aber nicht

. M i t h i n e n t s t e h t U n s i n n und x ist unmöglich. Sie. kann nicht, wie man

noch in vielen Büchern linden kann, gleich unendlich gesetzt werden.

Selbstverständlicherweise fü h rt dies zur T r i g o n o m e t r i e hinüber. Man definiert sin

als Verhältnis der G egenkathete zur Hypotenuse, d. h. als eine Zahl, die man aber aus dem Räumlichen nimmt und nicht etwa aus einem anderen Gebiete, z. 13. nicht wie die Zahl 3 auch aus ,,drei G edanken“. A l s o i r g c n d w i e v o m R ä u m l i c h e n m u s s d i e R e d e s e i n , w e n n m a n v o m S i n u s i u u r s p r ii n g - l i e b e m S i n n e s p r i c h t . Nun w ird der B e­

griff auf alle möglichen W inkel ausgedehnt, man spricht sogar einfach vom sin 0. Was ist ein W inkel von 0 G rad? Das ist doch nicht an sich verständlich. Ist es eine einzige Gerade, ein einziger Strahl, der aus zwei Schenkeln zusamm enfällt? W ie gross ist der Kreisbogen, auf dem man 0 Grad abliest? Nach dem Ge­

sagten w ird hier von einer absoluten Null nicht, die Rede sein, sondern nur von unendlichkleinen Gradbogen beliebiger W eitenbehaftung nach unten hin. Man kann auch kaum k lar machen, dass sin

gleich

sein soll, wenn man nicht von kleinen, kleinerwerdenden, unendlichkleinen W inkeln spricht. Sin 0 hat geom etrisch dadurch Sinn, dass man eigentlich sin

d enkt und dieses

als Null rechnet gegenüber irg en d ­ welchen endlichen Grössen. A l s o s i n

i s t g l e i c h N u l l f ü r d i e e n d l i c h e W e i t e n ­ b e h a f t u n g , sin

gleich Null für alle höheren Behaftungen usw. Dann stellt man sich in der T a t das Lot, auf dem sin abgelesen wird, unend­

lichklein vor und kann es sich als grenzenlos­

klein und dam it als P u n k t denken. W ir hätten also vom Scheitelpunkte des W inkels aus, etw a einem grenzenlos Kleinen von der B ehaftung <V-, zwei Schenkel bis zu dem E ndpunkte (Schnitt m it dem Einheitskreise); diese beiden Schnitte bilden für das endliche einen P unkt, seine Grösse ist relativ, für d a s E n d l i c h e Null, und insofern ist sin 0 gleich 0. Ich habe mehrfach auf den F ehler hingewiesen, den mau begeht, indem man tan 9 0 0 bildet und dies als

1

:

oder unendlich ansieht; es muss heissen tan (9 0—(5)°; und dies ist in der T at unendlich, während tan 90

in dem Sinne g a r nicht existiert, dass 9 0 ° die absolute H älfte von einem H alb­

kreise wäre. Man w ird diesen durch einen P u n k t halbieren und dieser ist grenzenlos klein, aber nicht Null.

Ich will dam it keineswegs sagen, dass man nicht in der A rithm etik von einer Funktion sin

sprechen könne und dabei auch

als eine absolute Null fassen, sin als 0 : 1 oder 0. Aber

; diese Funktion liat dann nicht m ehr in ihrem ganzen Umfange einen eigentlich räumlichen, unserem uns bekannten Raume entsprechenden,

| sondern einen — wie ich sagen möchte —

I r a u m v e r w a n d t e n Sinn,

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg . X. No.

.

G estatten Sie mir, dass ich mich wegen der Kürze der Zeit nur noch zu der wichtigen V or­

stellung des Inhaltes in der Geometrie wende, z. B. des Pyram iden- und K ugelin h alts, die durchaus nicht ohne das Unendliche behandelt werden können, und zum Schlüsse noch zu den Reihen und zu den Kegelschnitten !

Nachdem der I n h a l t von Dreiecken durch H albierung eines Parallélogram mes und dieses durch Gleichheit m it einem Rechtecke leicht gefunden worden ist, m acht auch die Q uadratur des Kreises keine besondere Schw ierigkeit mehr, so bald die R e k t i f i k a t i o n d e s K r e i s u m ­ f a n g e s geglückt ist. Diese freilich erfordert alle Kunst, welche überhaupt beim Unterschiede von Krumm und Gerade in B etracht kom m t:

sie ist nicht möglich ohne das Unendliche oder ohne den Grenzbegriff, der überhaupt immer da auftaucht, wo sich das Unendliche zeigt.

W enn w ir nach dem Vorhergehenden Uber den Grenzbegriff hinausgehen und nach den G rund­

sätzen des Unendlichen feste W e rte , nicht an­

genäherte bilden, so werden w ir auch den Umfang des Kreises d erartig finden, freilich auch auf die Tatsache geraten, dass es in dem Raume irrationale Strecken g ib t, dass also ausser der V orstellung von V erhältnissen zweier Strecken m it rationalen Zahlenw erten tatsächlich solche m it einer neuen A rt von W erten besteht. Eine einzelne irrationale Z ahl, für sich genommen, hat keinen Sinn ; das W o rt spricht ganz richtig bereits von ratio, Verhältnis, und stellt fest, dass sich im Vergleich m it anderen (rational genannten) Zahlen oder Strecken solche bilden lassen, die sich nicht durch die rationalen Zahlen 1, 2, 3 . . . oder Brüche ausdrücken lassen.

Kurz, es b esteh t die Tatsache, dass w ir in der Zahlenvorstellung oder im Räumlichen zwei Gruppen von Verhältnissen besitzen oder dass w ir das Räumliche m it rationalen Verhältnissen, aber auch m it irrationalen behaften können.

W ie man nicht im stande is t, fü r die Tatsache endlicher und unendlicher Behaftungen Gründe anzugeben, so auch nicht hierfür. Aber man entdeckte diese Tatsache und zw ar für das Irrationale schon sehr früh. Haben die K atheten eines rechtw inkligen Dreiecks gleiche Länge, ich nenne sie I a oder

, so h at nach dem Pythagoreischen Lehrsätze die Hypotenuse eine Länge, die zu den K atheten in irrationalem Verhältnisse steht, sie ist

Eine solche Hypotenuse an sich oder vielmehr mit anderen Strecken verglichen, die doppelt, dreifach usw.

so gross sind, hat nichts Irrationales an sich, dies liegt nur in der Vergleichung m it der K athete, je nachdem ich einen bestim m t aus- drückbaren Teil der K athete oder auch der Hypotenuse als E inheit anselie. So auch tr itt in der Vergleichung des krummen Kreisumfanges m it dem Radius das Irrationale auf. So wenig

man nun die Hypotenuse jenes rechtw inkligen Dreiecks in endlichen Zahlen durch die K athete genau ausdrücken kann, so wenig auch den Umfang durch den Radius. D am it ist aber keineswegs eine Ungenauigkeit in der B ehaftung m it solchen V erhältnissen vorhanden. Man kann tatsächlich K atheten und Hypotenuse in an­

schauliches Verhältnis bringen. W enn man auf die allbekannte W eise durch zweimalige An­

wendung des Pythagoras oder durch A ehnlichkeit und Pythagoras die Seite des 2 n-Eckes durch die des endlichen n-Eckes ausdriiekt, so hat.

man bereits irrationale Verhältnisse, aber durch­

aus noch nicht das irrationale Verhältnis von Umfang zu Durchmesser. Vorstellen kann man sich auch dieses räumlich als ein endlich-genaues und dies ausdrücken durch einen Buchstaben

indem man den Umfang nennt 2 r jt. Es ist auch sehr wohl möglich, sich von vornherein das Bestim m ungsdreieck eines w irklichen Un­

endlichecks m it seiner Höhe vorzustellen und sich die Form 2 r

so entstanden zu d en k en ; a u s d r ü c k e n aber kann man

nicht, sondern nur die Länge des Umfanges irgend eines end­

lichen n-Ecks durch den Radius, d. h. die Zahl

als Dezimalbruch bis zu irgend einer Stelle, z. B. 3,14159.

Leicht ist es nun, den I n h a l t d e s K r e i s e s durch ein genaues Verhältnis zum Umfange auszudrücken und zw ar deshalb, weil man hier­

bei beim Dreiecke m it unendlichkleiner Seite verbleibt. D er K reisinhalt besteht aus unendlieh- vielen solchen Dreiecken, der In h alt eines jeden ist Grundlinie mal Höhe durch 2, also der Kreisinhalt-Um fang mal Radius durch 2 ; denn es is t in der T a t die Höhe als endliche Grösse gleich dem Radius und es ergibt sich für das Endliche genau r ‘2.-r oder das Verhältnis r'L-r:

r.v.

B ekanntlich ist der Kreis die Brücke zur Berechnung der Kugel und überhaupt anderer krum m er Gebilde. Es tau ch t aber plötzlich in der Raumlehre beim Inhalte der Pyram ide und der Kugel eine neue Schw ierigkeit des Unend­

lichen auf, die man gewöhnlich durch ein Prinzip, d. h. m it einem nun plötzlich aufgestellten Grundsätze, den man nicht beweist, um geht:

das bekannte P r i n z i p d e s C a v a l i e r i . W ie sonderbar muss es dem Schüler Vorkommen, wenn er plötzlich wieder an einen Grundsatz glauben soll, w ährend er glaubt, gleich im An­

fänge bei den Axiomen ein fü r allemal die Grundsätze abgem acht zu haben und nun nur logisch w eiter zu scliliessen!

Man w ird ein starkes methodisches Interesse haben, dieses sogenannte Prinzip erstlich in Zusammenhang m it den früheren Inhaltsvor­

stellungen zu bringen und zweitens es nicht Prinzip sein zu lassen, sondern einen nicht an­

g en äh ert, sondern genau bew eisbaren Satz.

Beides gelingt nach der neuen D arstellung des

1904. No. 2.

S. 31.

Unendlichen, natürlich nur m it einer U m gestal­

tung des Satzes.

Es ist selbstverständlich, dass der Satz so­

fort als Satz und richtig angesehen wird, sobald die sämtlichen, zwischen je zwei Ebenen liegen­

den Schichten inhaltsgleich sind, die man nur zu addieren braucht, um die körperlichen Inhalte der ganzen K örper zu erhalten. Es liegt aber daran z. B. zu beweisen, dass für Pyram iden m it gleichen Grundflächen und Höhen die durch (zur Grundfläche) parallele Ebenen ausgeschnitte­

nen Dreiecke, Vierecke usw. inhaltsgleich s in d ; und man führt diesen Nachweis nur für diese flächenhaften Schnitte, nicht für Körper. Nach unseren B etrachtungen sind die schneidenden Ebenen auch körperlich aufzufassen, sie haben eine Dicke, freilich eine nur grenzenlos geringe I von niederer W eitenbehaftung. Es gelingt das Prinzip zu erw eitern und zu beweisen, wenn man die grenzenlose Dünne in zwar auch un­

endlichkleine, aber begrenzbare verwandelt. Es ist dies eine ähnliche Vertauschung, wie w ir vorher für einen P u n k t eine unendlichkleine S trecke nahmen. Danach muss das Prinzip oder vielmehr dieser Hilfssatz lauten. Z w e i z w i s c h e n z w e i E b e n e n l i e g e n d e G e ­ b i l d e s i n d i n h a

s g

e i c h , w e n n d i e d u r c h a l l e z u j e n e n E b e n e n p a r a l l e l e n E b e n e n h e r a u s g e s c h n i t t e n e n r ä u m ­ l i c h e n E l e m e n t e i n h a l t s g l e i c h s i n d u n d w e n n di e z u r I n h a l t s a n g a b e n ö t i g e G r ö s s e n i e d r i g e r e r W e i t e n b e h a f t u n g n i c h t g r e n z e n l o s , s o n d e r n b e g r e n z t k l e i n g e n o m m e n w i r d .

Der Satz wird dem Schüler ausserordentlich angenehm dadurch, dass er z. B. auch ohne Fehler auf zwei Linien angewendet werden kann, die zwischen zwei Parallelen liegen; er sieht sofort ein, dass die G leichheit stimmt, wenn diese Geraden unter sich parallel liegen (Parallelo­

grammseiten) oder im selben W inkel zur Grund­

linie geneigt sind (gleichschenkliges Trapez).

E r sieht bald ein, weshalb ein L ot zwischen Parallelen und eine H albkreislinie, die dieses L ot zum Durchm esser hat, nicht inhaltsgleich sind, wohl aber die Oberflächen einer Kugel und eines zwischen denselben Ebenen liegenden geraden Zylinders, dessen Seitenkante gleich dem Durchmesser des Zylinders ist und der die Kugel berührt (4 r-

= 2 r

• 2 r). Auch die Inhaltsgleichheit der Pyram iden fügt sich ohne grosse Schwierigkeiten ein, die Ausführung im Einzelnen fü h rt hier zu w eit und ist an anderer ; Stelle (die Grundsätze des Unendlichen, Teubner) gegeben.

Bei allen diesen Summierungen, deren Me­

thode sich der Integration sehr nähert, wenn es auch nicht ausgesprochen zu werden braucht, kommen S u m m e n v o n u n e n d l i c h v i e l e n G l i e d e r n vor. Ihre R esultate sind anschaulich

leicht zu erkennen, weil die begrenzenden Um­

stände (die Grenzen der Integrale) vor Augen liegen. Dies ist auch bei anderen der An­

schauung entnommenen Problem en der Fall, und doch haben sie seit Jahrtausenden sehr in Erstaunen gesetzt, ich meine die P r o b l e m e d e s Z e n o , die scheinbare Unmöglichkeit, dass Achilles eine Schildkröte einholen kann, die vor ihm irgend welchen V o rsp run g' hat, oder aus der T ür zu gehen, da man erst die H älfte des Weges und immer wieder die H älfte des Restes zurücklegen muss. Die e i n f a c h e n u n e n d l i c h e n g e o m e t r i s c h e n R e i h e n dieser A rt lern t je d e r Schüler summieren, aber schon bei diesem Beispiele einer konvergenten unendlichen Reihe, deren Summe er sofort, über­

schaut, beschleicht jeden das Gefühl des E r­

staunens, womit uns das Unendliche erfüllt.

Und das hat nicht aufgehört, seitdem man auf die bekannte A rt die Reihe auch arithm etisch summieren kann. Es soll sein

■ = i + K + K s ) , + — .

Man begnügt sich nicht damit, die Gleichsetzung in dieser Form m it dem F ak to r * zu m ulti­

plizieren und von der vorigen abzuziehen, wo­

bei auch natürlich sofort die richtige Gleich­

setzung ergibt ~ = i . Dies wäre ebenso, als ob man von der ganzen Strecke die zweite H älfte abziehen w ollte, wobei natürlich die erste H älfte übrig bleibt. In dem Ganzen hätte man dann die unendliche Halbierung entfernt durch die unendliche Halbierung der zweiten Hälfte. Man m erkt, dass dies nur eine Ver­

schiebung um

ist. Man pflegt die Schwierig- k eit nun auf eine andere A rt fortzustreichen, indem man die gesetzmässige Aufeinanderfolge je zweier Glieder irgendwo noch m ittels der unbestim mten Zahlen n— 2, n — 1 und n an­

d eu tet und erhält nicht t = ~ , sondern I _

_ .

V >

2 2 2 \ 2 J '

Nun kommt der für jeden Schüler sonderbare Gedanke, dieses n gleich unendlich zu setzen, weil ja die Reihe niemals aufhören sollte. Jed er sagt sich un w illk ürlich : wenn sie niemals auf­

hören soll, so kann sie auch nicht bei irgend einem W erte m it n aufhören, selbst wenn man dies n unendlich nennt. Und es kommt nun noch hinzu, dass wir dies

(yy)n, für n gleich unendlich, als Null betrachten sollen, weil es kleiner wird, wenn n immer grösser wird. Das Zeitliche „im m er“, welches ursprünglich hinein gebracht wurde, um das räumliche Unendlich­

klein zu ersetzen, ist nun doch wieder hinaus­

gestrichen.

ÜN T EKRICHTSBLÄTTKR

Jah rg . X. No. 2.

Nach der Lehre von den W eitenbehaftuiigen h at eine unendlichkleine Zahl wie überhaupt jede Zahl nur Sinn als Beziehungszahl, darum ist auch der Grundsatz wohl verständlich, dass eine unendlichkleine Zahl, als Summand neben endlichen, Null ist. Es wird dann in dieser Formel kein F ehler (auch kein „noch so k leiner“) begangen, sondern es ist einzig und allein richtig, gleich Null zu setzen. Aber m it dem plötz­

lichen Abbrechen jen er Reihe bei n oder nun bei Unendlich ist die Schw ierigkeit des „Immer­

w eitergehens“ auch nicht genügend erledigt.

Und auch hier hilft die neue Auffassung, indem sie den Satz aufstellt, dass d i e W e i t e n b e ­ h a f t u n g e n d e s U n e n d

i c h e n n i c h t . a u f ­ h ö r e n , d a s s a b e r f ü r a l l e j e n e r B e ­ z i e h u n g s g r u n d s a t z g i l t . Die E rklärung der unendlichen Reihe ist aber auch dam it nicht been d ig t; denn es darf nicht verschwiegen werden, dass man bei jenem Subtrahieren beider Reihen i m m e r g l e i c h e G l i e d e r von ein­

ander abzog. Es gehört noch der Grundsatz des Unendlichen dazu, dass in jed er B ehaftung Verhältnisse bestim m ter A rt, also auch die G leichheit unendlichkleiner Glieder bestim m ter Ordnung vorstellbar is t; diese geben zu je zweien stets Null beim Abziehen der Reihen, und die einzelnen durch das Verschieben da­

durch in den Behaftungen übrig gebliebenen sind gegenüber den endlichen, also dem en t­

stehenden Anfangsgliede w irklich Null. W ir erhalten dam it o h n e F e h l e r das richtige endliche R esultat.

Das hier am Beispiel der geometrischen Reihe G esagte lässt sich entsprechend an den übrigen auf der Schule zu behandelnden unend­

lichen Reihen ausführen, w orauf ich hier n atü r­

lich nicht m ehr eingehen kann. Es w ird nach dem Gesagten gewiss vielen der H erren Kollegen möglich sein, im U nterrichte gute G estaltungen zu erlangen. Sie werden gewiss ebenso wie ich eine sehr lebhafte B eteiligung der Schüler dabei wahrnehmen.

N icht m inder interessant ist es, in der a n a l y t i s c h e n Geometrie die B estätigung der entsprechender G leichheit unendlicher Vor­

stellungen im Räum lichen und Zahlengebiete zu finden. Besonders die V erw andtschaft der K egelschnitte erscheint in einem neuen Lichte.

Z. B. ist die für den unendlichen L eitkreis konstruierte Hyperbel für die Gegend des E nd­

lichen tatsächlich e i n e P a r a b e l . Es muss nach der Behaftungslehre nicht heissen: ., an­

g en ä h ert“, sondern genau, allerdings immer nur für bestim mte Behaftungen, hier fü r das E nd­

liche.

Die A s y m p t o t e , dies wunderliche, die Schüler höchlichst befremdende G eb ild e, lässt sich nach der neuen A rt der B ehandlung des Unendlichen m it ganz bestim m t m athem atischen

Ausdrücken präzisieren und w ird dadurch dem Schüler w eit klarer. Ein endliches S tück der Hyperbel in der Gegend des Unendlichen (un­

endlich en tfern t vom Scheitel) fällt tatsächlich mit der Asym ptote zusammen für die seitliche B ehaftung m it dem Endlichen, h a t also keinen endlichen A bstand von ihr.

W enn man den W inkel, den die Asym ptote m it der H auptaxe bildet, unendlich klein w ählt, so kann man leicht angeben, dass für bestim m te B ehaftung der Zug der Hyperbel z u r g e r a d e n L i n i e wird, für andere aber hyperbelartig gekrüm m t blieb. (Nähere A usführung in Schottens Zeitschr. für mathem. und naturw . U nterricht, H eft 5, 1903: Die A sym ptote und die W eiten- behaftungen; B. G. Teubner).

Die Schule wird nicht gern auf die Behand­

lung des M a x i m u m und BI i n i m u m ver­

zichten. Dieses interessante P roblem , das bekanntlich für die Erfindung der höheren Blathem atik (Leibniz) eine so grosse Rolle ge­

spielt hat und das so eng m it dem Unendlich­

kleinen verknüpft ist, g estaltet sich rech t einfach, wenn man, wie ich es überhaupt bei der U n ter­

suchung der Krüm m ung tat, das wesenswichtige D re ie c k , das D reieck dreier unendlichnaher P u nk te betrachtet. F ü r die Stelle des Biaximums einer Kurve liegt die Spitze des Dreiecks nach oben, für das Blinimum nach unten. Die Höhe dieses Dreiecks ist unendlichklein von zw eiter O rdnung, da die Seiten, ebenso die beiden kleinen W in k e l, unendlichklein von erster Ordnung sind. An der negativen oder positiven R ichtung dieser Höhe erkennt man den U n ter­

schied von Maximum und Blinimum.

Sehr geehrte H erren Kollegen, viele von Ihnen werden gewiss beim U nterrichte den E indruck erhalten haben, dass eine strenge Scheidung der höheren von der niederen Blathe- m atik sich nicht f ü r i m m e r w ird festhalten lassen. Die neue D arstellung des Unendlichen erstreck t sich, wie aus dem Gesagten schon hervorgeht, ebenso wohl auf die Differential- und Integralrechnung, und es w ird dadurch der enge Zusammenhang zwischen beiden Teilen der Blathematik hergestellt. Das Rechnen m it Differentialen schliesst sich bisher an den G renz­

begriff an, es lässt sich, wie ich an anderer Stelle zu zeigen versucht habe, einfacher und ausgiebiger m it denW eitenbehaftungen gestalten.

Das Endliche ist n ich t getren n t vom Unend­

lichen ; das letztere ist nicht von der Rechnung und V orstellung ausgeschlossen, beides weist fortw ährend auf einander hin. V ielleicht d arf ich mich der Hoffnung nicht verschliessen, dass Sie einverstanden sind, wenn ich s a g e : w ir müssen dem Schüler von vornherein den Aus- ] blick in das Unendliche erlauben und klären, j gleichviel ob er später Blatliematik stu d iert

; oder nicht.

1 0 0 4 . N o . 2 . Zu r Fr a g e d e s Un t e r r i c h t s i n h e r In f i n i t e s i m a l r e c h n u n g. S . 3 3 .

Auch in dieser Beziehung schliesse ich mich : auf das W ärm ste an das gestrige W o rt unseres Vorsitzenden an, dem Schüler weniger Stoff­

liches, mehr allgemein Interessantes, selbst scheinbar Kontroverses zu geben und ihn in der Ueberwindung der Schwierigkeiten kräftig zu machen für die künftigen Schw ierigkeiten seines Lebens.

Z u r F r a g e d e s U n t e r r i c h t s in d e r I n f in it e s i m a l­

r e c h n u n g a n d e n h ö h e r e n L e h r a n s t a l t e n . Von K . F r a n z (Berlin).

W ohl die m eisten L e h re r der M athem atik w ürden, wenn ihnen die M öglichkeit geboten w ürde, den U n ter­

rich t in der Analysis gern erteilen, einer W issenschaft, in der sie frü h er m it jugendlichem F e u e r und heissem Bem iihen"[die P alm e zu erringen b estreb t w aren. Sie haben n ich t vergessen, dass die D ifferential-und In te g ra l­

rech n u n g gew issennassen das H andw erkszeug abgibt, um beispielsweise in die Flächen- und K urventheorie, in die so elegante F unktionentheoric und in die V aria­

tionsrechnung einzudringen, dass ferner, um die R ech­

nungen in der m athem atischen Physik u nd speziell in d er hochinteressanten M echanik bew ältigen zu können, die höhere Analysis n ich t zu entbehren ist. M it w elcher Eleganz w urde n ich t die R ektifikation, die Q uadratur und die K u b a tu r gew isser von der Schule her b ekannter F ig u ren und K ö rp er ausgeführt, wie schnell konnte ein M axim um oder M inim um einer K u rv e oder einer F unktion m ittels der T a y l o r ’sehen lle ih e erm ittelt w erden, und wie sicher stellte der erste und zw eite D ifferentialquotient nach d er Z eit die G eschw indigkeit und die B eschleunigung einer gegebenen Bewegung dar. W ie viel um ständlicher ■ und wie viel schw er­

fälliger gestalten sich alle diese R echnungen auf G rund desA nnähcrungsverfahrcns in d er Schule! W enn dem ­ nach kein Zweifel besteht, dass die L e h re r der M athe­

m atik m it F reu d en die G elegenheit begrüssen w ürden, höheren m athem atischen U n te rric h t erteilen zu dürfen, und wenn andererseits feststeht, dass die H ochschul­

lehrer, an ih re r S pitze H e rr Professor K l e i n in G öttingen*), die E in fü h ru n g der D ifferential- und In teg ralrech n u n g in den m athem atischen U n te rric h t der M ittelschule w ünschen, w eil eben diese Disciplinen vom G esichtspunkte dos H ochschulunterrichtes zu den E lem enten gehören, und weil diese E lem en te nirgends verständlicher und grü n d lich er als in der Schide, wo die Schüler sich bis zuletzt einem festen W illen unter- zuordnenjhaben, gelernt und eingepriigt w erden dürften, so ste h t doch sehr in F rage, ob es im Interesse der S chüler an g eb rach t ist, den A nfangsunterricht in der Infinitesim alrechnung bereits in der Schule zu erteilen.

Das V erlangen nach d er E in fü h ru n g dieses U n ter­

richts in die Schule w äre doch n u r dann begründet, wenn sich herausstellen w ürde, dass K enntnisse in den j E lem enten der A nalysis zur allgem einen B ildung er­

forderlich wären, und wenn n ic h t etw a n u r ein geringer P rozentsatz der S chüler aus diesem U n terrich te w irk­

lichen un d dauernden N utzen zöge. E s is t sehr die F rag e, ob fü r einen M ediziner, oder fü r einen Ju riste n und erst re c h t fü r einen T echniker d er B egriff des D ifferentials durchaus unentbehrlich ist. F ü r den Me- diciner und J u ris te n scheint m ir das V erständnis dieses

*) J a h r e s b e r i c h t d e r d e u ts c h e n M a th e m a tik e r -V e r e in ig u n g , B d . u , H e f t 3, 1902, S e ite 12S—H l .

Begriffs durchaus entbehrlich, w enngleich zugegeben w erden soll, dass die K enntnis des B egriffs m anche S chw ierigkeiten au f einzelnen G ebieten, wie z. B. in der A natom ie und in der V ersich'erungswisscnsohaft leich ter überw inden hilft. Das will aber w enig b e ­ deuten, denn je d e E rw e ite ru n g der K enntnisse b rin g t V orteil, u nd m an könnte dem nach m it dem selben R ech t wie die A nalysis noeh viele andere g u te und nützliche und vielleicht w ichtigere D inge in das Schul- pensum aufnehm en. A uch T echniker haben, wie H e rr D irektor H o l z m ü l l e r ausgeführt h a t* ), erk lärt, in ihren R echnungen m it der elem entaren M athem atik

! auskom men zu können und n ich t die Z e it zu haben, sieh durch ein erneutes Studium den flüchtigen Infini- tesim albegritf von neuem anzueignen. Die grosso M enge der S tudierenden w ürde w ahrscheinlich sich d am it be­

gnügen, im A biturientenexam en rein äusserliche K en n t­

nisse in d er A nalysis nachgew iesen zu haben, um re c h t b ald und re c h t gründlich die ganze Sache zu vergessen, u nd die K ritik e r w ürden m it gutem (¡ru n d e einen G egenstand m eh r fü r den N achweis d e r IJberbürdiing d er arm en, geplagten S chüler aufzuzählen haben. So blieben denn n u r die S tudierenden d er M athem atik und vielleicht der N aturw issenschaften übrig, fü r die die B ehandlung des Them as auf d er Schule von nicht zu unterschätzendem Vox-teile sein w ürde. A b er soll m an um dieser w enigen G erechten w illen au f der Schule ein neues U nterrich tselem en t einführen, w ährend fü r das M axim um der S chüler eine N otw endigkeit fü r die A ufnahm e einer schw ierigen m athem atischen Dis­

ziplin in den U n te rric h t n ich t b esteh t 'i Denn dass der in F rag e stehende U n te rric h t zur allgem einen B ildung erfo rd erlich ist, w ird schon aus dem G runde niem and behaupten, weil m it den M ethoden d er elem entaren M athem atik ebenso g u t und leichter logische Schärfe und klares D enken — das Ziel des m athem atischen U nterrichtes — auf d er Schule g efö rd ert w erden kann wie m it denen d er höheren M athem atik. V om G esichts­

pun k te der allgem einen B ildung aus erscheint also die in tro d u ctio in analysin durchaus überflüssig.

F e rn e r g ib t folgender U m stand zu starken B e­

denken Anlass. D er m athem atische U n te rric h t soll n ich t bloss zur A neignung einer gewissen rechnerischen F e rtig k e it in d er A rithm etik und A lgebra dienen, sondern soll sieh auch die Pflege der räum lichen A n­

schauung angelegen sein lassen. D iese w urde a u f der Schule u nd zum T eil auch au f der U n iv ersität bisher a rg vernachlässigt, w ährend es je tz t nach E inführung der neuen L ehrpläne auf der Schule etwas besser ge­

w orden ist. Z w ar w ird au f der U n iv ersität analytische G eom etrie und F lüchentheorie doziert, indessen tr i t t in diesen G ebieten w eniger die R aum anscliauung als die R echnung in den V orderg ru n d . N u r bei d er synthe­

tischen und projektiven G eom etrie, die auch au f den meisten U niversitäten und höheren Schulen re c h t stief­

m ütterlich b ehandelt w ird, kom m t die räum liche V or­

stellung zu ihrem R echt, besonders dann, wenn in der ersteren n ich t n u r ebene G ebilde, wie au f d er Schule, sondern auch räum liche in B efracht gezogen w erden.

D ie einzige S tä tte , wo die räum liche A nschauung w irk­

lich ausgebildet wurde, w aren bisher die Technischen H och- und M ittelschulen, wo die darstellende G eom etrie in V erbindung m it d er p rojektiven g eleh rt wurde.

Diese D isciplin eignet sich wie keine zw eite zur Auä-

*) cf. 2. J a h r g a n g 9. u n d 1 0. H e f t d e r M o n a ts s c h r ift f ü r h ö h e re S c h u le n .

S. 34.

Jahrg. X. No. 2.

bildung, K rä ftig u n g und S tärk u n g der räum lichen A n­

schauungsweise, weil durch die Zeichnung in den ver­

schiedenen P rojektionsebenen das vorgestellte räu m ­ liche G ebilde gew isserm assen von allen Seiten beleuchtet w ird und diese Zeichnung n ich t ausgeführt w erden kann, ohne dass v o rh er eine scharfe F ix ieru n g und ge­

naue V orstellung des räum lichen G egenstandes in bezug au f seine L age u n d seine Dim ensionen vorangegangen wäre. D ie Z eichnung is t eben so sehr das S u b strat fü r die darstellende G eom etrie, wie die R echnung cs fü r die m eisten anderen m athem atischen D isziplinen ist. Die E rk en n tn is von d er hohen W ich tig k eit d er darstellenden G eom etrie fü r räum lichen S inn und räum liche V orstellung h a t sich in jü n g s te r Z eit Balm gebrochen u nd w ird durch ih re E in fü h ru n g in den U n terrich tsb etrieb der höheren Schulen, durch ihre A ufnahm e in die P rüfu n g so rd n u n g fü r die K an d id aten des höheren Schulam ts, sowie d urch die E in ric h tu n g von besonderen K u rsen a u f verschiedenen U niversitäten, z. B, G öttingen, zum A usd ru ck gebracht. W e r w ollte leugnen, dass diese in teressan te u n d die m anuelle Ge­

schicklichkeit fö rd ern d e W issenschaft, die leider auf dem G ym nasium noch g a r n ich t zu ihrem R echte kom m t, fü r die J u g e n d von ungleich höherem W e rte als die K en n tn is des D ifferentialquotienten ist? W äh ­ ren d fü r die D ifferentialrechnung die G efahr vorliegt, dass d er B egriff des D ifferentials den m eisten Schülern nichts als ein Schem en bleiben w ird, sieh dem U n te r­

ric h t schlecht anpasst und verm utlich n u r wenige dauernden G ewinn davon erzielen, w ird durch die organisch sich an die S tereom etrie anschliessende d ar­

stellende G eom etrie und d urch das m it ih r verbundene Zeichnen b ei jed em S chüler die geom etrische A n­

schauungsweise gefestigt, u nd d am it ein w irklicher, all­

gem einer B ildungsw ert gew onnen. W enn nun die I n ­ finitesim alrechnung in die Schule e in g efü h rt w ürde, so d ü rfte sehr bald d er U n te rric h t in d er darstellenden G eom etrie, zumal da alle L eh rer in d e r D iffcrential- und In teg ralrech n u n g , alter bisher n u r w enige in der darstellenden G eom etrie ü b er ausreichende K enntnisse verfügen, d a ru n te r leiden, es w ürde d adurch d ie von der R eg ieru n g bezw eckte A usbildung im projektiven D enken und Zeichnen sowohl der S chüler als auch der L e h re r sehr b ald ins S tocken kom m en. A uch aus diesen G ründen d ü rfte sich dem nach die E in fü h ru n g der I n ­ finitesim alrechnung a u f den höheren Schulen n ich t em pfehlen.

Das G ebiet der E lem en tarm ath em atik ist von dem d er höheren M ath em atik sch arf g etren n t, der U n ter­

schied b esteh t m eist darin, dass in ersterer m it end­

lichen, in letzterer m it unendlich kleinen od er m it unendlich grossen G rössen, also m it G renzübergängen o p e rie rt w ird. Schon dieser U m stand m üsste davon abselirecken, den S c h ritt von der niederen zur höheren M athem atik b ereits a u f d er Schule zu vollziehen.

W enn aui der Schule im Französischen das A lt­

französische, im E nglischen angelsächsische Id io m e ge­

leh rt und im Lateinischen und G riechischen g ar Q uellen­

studien gem acht w erden sollten, so w ürde m an diesen V orschlag belächeln und ihn fü r einen blossen Scherz halten. W aru m ist m an bei d er M ath em atik anderer M einung, v e rh ä lt es sich da m it der E in fü h ru n g der Analysis etw a an d ers? In der P hysik und Chemie ist eine solche natürliche Grenze zwischen elem entarem und akadem ischem U n terrich t n ich t vorhanden, so dass d er S tudierende eine grosse Anzahl von E xperim enten und E ntw icklungen a u f der Schule bereits gesehen und

g eh ö rt hat. D am it h ä n g t zusam men, dass in dem Masse der A nforderungen in diesen F äch ern sich ganz erhebliche Schw ankungen fü r die einzelnen höheren L ehranstalten ergeben, und dass z.T . diese A nforderungen sehr zum N achteil d er S chüler und zum Schaden für andere L chrgegenständc g ar zu stark in die H ö h e ge­

sch rau b t w erden. W enn nun fü r d ie ’ M athem atik eine solche n atü rlich e Grenze zw ischenjielem entarem und akadem ischem W issen sieh findet, so sollte man sie doch n ich t ohne Zw ang überschreiten und in ein Ge­

b ie t einzudringen versuchen, das fü r die m eisten Schüler doch stets ein B uch m it sieben Siegeln bleiben w ird. D er U eb ertreib u n g auch in den m athem atischen K enntnissen w ürde m it dieser G renzöfihung T ü r und T o r geöffnet, und die K lagen ü b e r U eberbiirdung, be­

sonders in den alten S prachen und m athem atischen F äch ern , die erst kürzlich w ieder a u f der N aturforscher- Versammlung zu Cassel von H e rrn P rofessor G r i e s ­ b a c h erhoben sind, w ürden kein E n d e nehm en.

G erade in d e r M athem atik sollte das W o rt „Non m ulta, sod m u ltu m “ so re c h t zur G eltung komm en.

Diesem P rinzip w ürde zuw ider gehandelt, w enn einer­

seits durch die E in fü h ru n g der Analysis der L ehrstoff v erm ehrt, und dadurch andererseits der elem entare U nterrichtsstoff n ich t genügend d u rch g earb eitet würde.

Dass a b er der U n te rric h t in d er elem entaren M athe­

m atik noch in vieler H in sich t ergänzt und v ertieft w erden kann, lässt sich leicht nachw eisen. In der A l­

g eb ra w ürde die B ehandlung d er W ahrscheinlichkeits­

rechnung und ih re A nw endung a u f die L ebensversicher­

ung. die B erechnung von A nuitäten, P räm ien und R e­

serven in F ra g e kom m en. D adurch w ürden die Schüler einen B lick in hochinteressante, p rak tisch e A nw endungen d er M athem atik a u f das sieh je tz t im m er m ehr e n t­

w ickelnde V ersicherungsw esen erhalten. Die G eom etrie könnte d u rch E in fü h ru n g in die synthetische G eom etrie und S t e i n e r ’sehe Ideen, die S tereo m etrie d urch die M ethoden der darstellenden G eom etrie ergänzt und v e rtie ft w erden. U m sich E rscheinungen und F ig u ren m athem atisch erklären zu können, g re ift m an doch stets a u f die elem entare M ath em atik zurück, n u r der in höherer M athem atik durchaus E rfah ren e is t im stande, die letztere anzuw enden, eine E in fü h ru n g in dieses G e­

b ie t w ürde ihn n ic h t dazu befähigen. S elbst B esucher von Technischen H ochschulen, an denen die D ifferen­

tial- u nd In teg ralrech n u n g viel g rü n d lich er betrieben w ird, als sie an den M ittelschulen betrieben werden könnte, haben, w ie b ereits b em erkt, erk lärt, dass sie in späteren J a h re n stets sich d er elem entaren M athem atik bedienten. A us eigener E rfah ru n g ist m ir, d er ich eine T echnische H ochschule besuchte, bekannt, dass es daselbst im w esentlichen a u f die schnelle B erechnung von D ifferentialen und In teg ralen , von M axim en und M inim en, von U m fä n g e n , Oberflächen und Inh alten ankom m t, w ährend von einer w irklichen E insicht au f G rund einer strengen Definition des U nendlichkleinen wohl kaum die R ed e ist. W as altes m it der niederen M athem atik geleistet w erden kann, das sieht m an so re c h t aus den B üchern von H e rrn D irektor H o 1 z - m i i l l e r — ich hebe besonders die S tereom etrie, 4 B ände, u nd die In g en ieu rm ath em atik h ervor —, u nd es w ar m ir seh r interessant von dem genannten H e rrn brieflich zu erfahren, dass an der K öniglichen M aschinenbauschule zu H agen die verschiedensten K u rv en und F lächen, w ie Cykloiden, E p i- und H ypo- eykloiden, E volventen, logarithm isohe S piralen, elasti­

sche L inien, cyklisehe K urven der Ellipsen und des