J a h r g a n g V I I I .
U nterrichtsblätter
1 9 0 2 . N r . 2 .
für
Mathematik und Naturwissenschaften.
O rg a n des V e re in s z u r F ö rd e ru n g
des U n te r ric h ts in d e r M a th e m a tik u n d d en N a tu rw is se n s c h a fte n .
B egründet u n ter M itw irkung von B e r n h a r d S c h w a l b e ,
herausgegeben vonF . P i e t z k e r ,
P r o fe s so r am G y m n a siu m zu N ordhausen.
V e r l a g * v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 3 0 .
R edaktion: A lle fü r d ie R e d a k tio n b estim m ten M itte ilu n g e n und S e n d u n g e n w erd en nu r an d ie A dresse des P r o f. P i e t z k e r in N o rd n a u sen erb eten .
V erein : A n m e ld u n g e n und B e itr a g sz a h lu n g e n fü r den V erein (3 Mk. J a h r e sb e itr a g oder e in m a lig e r B e itr a g v o n 45 Mk.) sin d an den S c h a tzm eiste r , P r o fe sso r P r e s l e r in H a n n o v er, L in d e n e r stra ssc 47, zu r ich ten .
V erlag: D er B e z u g s p r e i s fü r den J a h r g a n g is t 3 M ark, fü r e in z e ln e N um m ern 60 P f.
v o n 6 N um m ern D io V e re in sm it- g lie d e r e rh a lten d ie Z e itsc h r ift u n e n tg e ltlic h ; früh ere J a h r g ä n g e sin d durch den V e rla g bez. e in e B u c h h d lg . zu b e z ie h e n . A n z e i g e n k o s t e n 2 5 P f . fü r d ie 3 - g e s p .N o n p a r .- Z e ile ; b ei A u fg a b e h a lb e r o d . g a n z e r S e ite n , so w ie b ei W ie d e r h o lu n g en E rra ä ssig u n g . — B e ila g e g e b ü h r e n n a ch U e b erein k u n ft.
N a ch d ru ck der e in z e ln e n A r tik e l is t , w e n n üb erh au p t n ic h t b esonders a u sg en o m m en , nu r m it g e n a u e r A n g a b e der Q uelle und m it der V e rp flic h tu n g der E in s e n d u n g e in e s B e le g e x e m p la r s an den V e rla g g e sta tte t.
I n h a lt:
Tages-Ordnung der X I. Hauptversammlung zu Düsseldorf, Pliugsten 1902 (S. 25). — Anordnung und V erteilung des botanischen Lehrstoffes und dessen erzieherische Aufgaben. Von B a s t i a n S c h m i d (S. 26). — Wissenschaftliche Strenge im mathematischen Unterricht. Von F r a n z W e i s s (S. 32).R elative Einfachheit und Genauigkeit geometrischer Konstruktionen und ihre Bestimmung. Von S. L e i s e n (S. 35) m it Nachschrift von F. P i e t z k e r (S. 38). — Gleichung und Kurve der harmo
nischen Teilung. Von Prof. Dr. Z ü g e (S. 39 . — D ie dreifache Ausdehnung des Raumes. Von F . P i e t z k e r (S. 39). — Vereine und Versammlungen. [73. Versammlung deutscher Naturforscher und Aerzte zu Hamburg 1901, Fortsetzung] (S. 41). — Lehrmittel - Besprechungen (S. 44). — Bücher- Besprecliungcn (S. 45). — Zur Besprechung eingetroffene Bücher (S. 46.) — Anzeigen.
Verein zur föröerung Des Unterrichts in Der Mathematik und Den flaturwissenschaften.
T a g e s o r d n u n g d e r X I . H a u p tv e r s a m m lu n g zu D ü s s e ld o r f, P fin g s t e n
1902
.M i t t w o c h ,
21. Mai, abends 9 U h r: Gesellige Zusammenkunft im „Europäischen Höf“, Friedrichstrasse.
D o n n e r s t a g ,
22. Mai, vorm ittags 9 U h r: E rste allgemeine Sitzung in der Aula der O berreal
schule, Ecke P ürstenw all- und Flora-Strasse.
Eröffnung und Begrüssung. — Geschäftliche Mitteilungen.
Vortrag von T h o m a e (Elberfeld): „D ie Naturwissenschaften als Grundlage der allgemeinen Bildung“.
Diskussion über die Stellung der biologischen Unterrichtsfächer im Lehrplan der höheren Schulen.
F rühstückspause.
12 U hr bis
2 1/ iU h r: A bteilungssitzungen.
M ittagspause.
4 U h r: B esichtigung der Industrie- und Gewerbe-Ausstellung.
A bends: Zusammentreffen im A usstellungsrestaurant und M alkasten.
F r e i t a g , 23. Mai, vorm ittags 9 U h r: Zweite allgemeine Sitzung:
Vortrag von S c h o t t e n (H alle): „Heber eine geplante Encyklopädie der Elementar-Mathematik“.
V ortrag von L e i s e n (Dülken): „Wodurch wird die A rbeit des Lehrers und des Schülers im mathe
matischen und naturwissenschaftlichen Unterricht unnötiger W eise erschwert?“
Frühstückspause.
12 U hr bis 3 U hr: Abteilungssitzungen.
3 1/ , U hr: B esichtigung der Industrie- und Gewerbe-Ausstellung.
Abends 6 U hr: F estm ahl in der Tonhalle.
S o n n a b e n d , 24. Mai, vorm ittags 9 U hr: D ritte allgemeine S itzung:
Vortrag von F r c y b e (W eilburg): „Der Unterricht in der Wetterkunde".
Fortsetzungen der Diskussionen von den vorhergehenden Tagen.
Frühstückspause.
S. 26.
U N T E R R I C H T S B L Ä T T E R .Jahrg. VIII. No. 2.
I I 1/ -- U hr: Geschäftliche S itzung:
Kassenbericht. — Neuwahl von zwei Vorstandsmitgliedern. — Antrag auf Erhöhung der Zahl der V or
standsmitglieder. — .Bestimmung des Orts der nächstjährigen Hauptversammlung. — Ordnung der Ver
tretung des Vereins auf der diesjährigen Naturforscher-Versammlung. — Sonstige geschäftliche A nträge.
3 U h r: Ausflug nach der M üngstener Brücke und der Rem scheider Thalsperre.
Angern eldete A bteilungs-V orträge:
B e r g h o f f (Düsseldorf): „Die Verwendung des Projektions-Apparats im physikalischen Unterricht“.
B o c l i o w (Magdeburg): „Zur Behandlung der regelmässigen V ielecke“.
G r i m s c h l (Hamburg): „Neue Apparate und Versuchsanordnungen aus der Elektrizitätslehre“.
H a r t m a n n (Frankfurt a. M .): „Ueber neue elektrische M essinstrumente.“
K r e b s (Barr i. E .): „Das Zeichnen und seine Beziehungen zum naturwissenschaftlichen und erdkund
lichen Unterricht“.
L e y (Linz a. R .): „Die Konstruktionsaufgaben im mathematischen Unterricht des Gymnasiums“, l i o o s e r (Essen a. d. R .): „Versuche aus der W ärmelehre“.
P a h d e (Krefeld): „Kurze Bemerkungen zu dem neuen Lehrplan der Erdkunde mit besonderer Berück
sichtigung der .Methodischen Bemerkungen*
R i s c h b i e t h (Hamburg): „Die Gasbürette im chemischen Unterricht“ . W a n n e r (Hannover): „Ueber ein neues optisches Pyrometer“.
Ausserdem : D i s k u s s i o n ü b e r d i e A b g r e n z u n g d e s m a t h e m a t i s c h e n P e n s u m s im E in zeln en : a) in der darstellenden Geometrie.
b) in der Algebra.
Während der Dauer der Versammlung wird eine A usstellung von Lehrmitteln in den Räumen der Oberrealschule stattfinden. —
Der Zutritt zur K u n s t h a l l e , dem K u n s t g e w e r b e - M u s e u m , dem R a t h a u s s a a l e , der A u l a d e r K ö n i g l i c h e n K u n s t - A k a d e m i e wird unentgeltlich gestattet sein. Zu dem Besuch der I n d u s t r i e - u n d G e w e r b e - A u s s t e l l u n g werden für die Dauer der Versammlung (3 Tage) Karten zu crmässigten Preisen ausgegeben.
An den der Versammlung vorhergehenden Tagen wird in Düsseldorf das N i e d e r r h e i n i s c h e M u s i k f e s t stattfinden. —
B ei dem starken Fremdenzufluss, der in der Pfingstwoche in Düsseldorf stattfinden wird, muss den Versammlungsteilnehmern d r i n g e n d e m p f o h l e n werden, sich m ö g l i c h s t f r ü h z e i t i g eine W ohnung zu sichern. Diesbezügliche W ünsche (H otel oder Privatquartier) nim mt bis zum 10. Mai Herr Oberlehrer Dr. S c h l a b a c h (Pempelforterstrasse 69) entgegen.
Für die Unterhaltung der aus Anlass der Versammlung nach Düsseldorf kommenden Damen werden eine R eihe der dort wohnhaften Damen zu sorgen bereit sein.
Um den Besuch der Versammlung zu erleichtern, hat sieh der Vereins Vorstand, wie alljährlich, an die Unterrichts-Verwaltungen der grösseren Staaten m it der B itte gewendet, den Anstaltsleitungen eine wohl
wollende Berücksichtigung der behufs Teilnahme au der Versammlung einlaufenden Urlaubsgesuche zu empfehlen.
Hierauf ist insbesondere von dem K öniglich preussischen Unterrichts-M inisterium durch V erfügung vom 28. Februar d. J . (U I I , 843) die Anweisung ergangen, den Teilnehmern an unserer Versammlung den hierfür etwa nötigen Urlaub zu bewilligen, sofern dies ohne N achteil für die betreffende Lehranstalt irgend geschehen kann.
D e r H a u p t v o r s t a n d D e r O r t s a u s s c h u s s
P ietzker. Viehoff.
A n o r d n u n g u n d V e r t e i l u n g d e s b o t a n i s c h e n L e h r s t o f f e s u n d d e s s e n e r
z i e h e r i s c h e A u f g a b e n .
Vortrag, gehalten auf der 10. Hauptversammlung des Vereins Sächsischer Realschullehrer zu L eipzig am
28. Septem ber 1901.
Von B a s t i a n S e h m i d (Bautzen).
Von jenen A nsichten, die der A usbreitung des naturw issenschaftlichen U nterrichtes hem
mend im W ege stehen, begegnet man am häufigsten der, welche die biologischen Disci
plinen allein nach dem praktischen W e rt be
u rte ilt und diesen sodann äusserst gering befindet.
Thatsächlich lieg t die praktische Verwertung, vor allem die der zoologischen K enntnisse nicht offen zu Tage, wie dies bei der P hysik und Chemie der Fall ist. Dass man aber bei allen und nam entlich bei den biologischen N atur-
; Wissenschaften den erzieherischen W e rt über
sieht, dass man nicht beachtet, wie ein Zeitalter,
| das unter ganz anderen socialen Bedingungen lebt und aus den Ergebnissen der verschiedensten
| W issenszweige sich eine neue Lebensanschauung
| herausgebildet hat, die m it allen M itteln nicht
m ehr aus dem W eg zu räum en ist, dass wir
i andere gew orden sind und die Aufgabe haben,
1902. No. 2.
An o r d n u n g u n d Ve r t e i l u n g d e s b o t a n i s c h e n Le h r s t o f f e s.S. 27.
das, was w ir m it heissen Mühen an Idealen und F o rtsch ritten erworben haben, dem kom
menden G eschlecht zu überliefern, und dass derartige G rundlagen nicht zum geringsten Teil aus den biologischen W issenschaften fliessen, das weiss man noch lange nicht überall zu w ürdigen, oder man übergeht diese Thatsachen m it Stillschweigen, nicht ah n e n d , dass jede Hemmung eines geordneten F o rtsch rittes ein Vergehen an S ta at und G esellschaft ist.
Solange man bei den biologischen W issen
schaften nur das eine Ziel, das praktische, im Auge hat, solange daher nur eine fü r die wissenschaftliche und erzieherische B edeutung sehr zw eifelhafte Auswahl getroffen wird, ver
dienen diese F ächer w irklich nicht m ehr Be
achtung, als dies heutigen Tages noch vielfach der F all ist.
Ich übergehe die grossen erzieherischen F aktoren, die aus diesen W issenszweigen fliessen und verweise au f meinen A u fs a tz : „D er Bil
dungsw ert der N aturw issenschaften und die R ealschule“ *). Aus diesen und sonst einleuch
tenden Gründen ist wohl zu ersehen, dass ein U nterrichtszw eig nur dann den gew ünschten E rfolg hervorbringt, wenn er als abgeschlossenes Ganzes und in der vielseitigsten B eleuchtung an den Schüler h eran tritt. Und wie w ir bei dem zoologischen U nterrichte nicht etw a nur ausgew ählte K apitel behandeln, sondern den Schüler m it allen Gebieten desselben v ertrau t machen, so dürfen w ir uns auch in der Botanik nicht scheuen, nach demselben Prinzip vorzu
gehen. Es sind also nicht nur gewisse B ilder aus dem Pflanzenleben vorzuführen, so etw a aus der Biologie die Insektenbestäubung oder die Beziehungen der Pflanzen und ihres Baues zur U m gebung oder, um auf die System atik Uberzugehen, nur die Phanerogam en. D er Schüler muss vielmehr ein ausführliches Bild bekommen in system atischer, biologischer, anatom isch
physiologischer H insicht. Zu diesem Zwecke müssen w ir auf eine gleichmässige V erteilung unseres Stoffes von Anfang an dringen, wozu uns in den Realschulen glücklicherweise fünf Sommersemester zur Verfügung steh en , und zugleich auch dem Auffassungsvermögen der einzelnen Klassen gerecht werden. Dass die B otanik eine andere B ehandlung erfäh rt als die Zoologie liegt in der N atur des Stoffes, und wenn w ir hierbei nicht strenge nach der E n t
w icklung vorgehen können, so liegen die Gründe darin, dass hier die B etonung derselben für den Schüler erstens lange nicht von der B edeutung ist wie in der Zoologie und zweitens eine solche auch nicht so eklatant, in den einzelnen Typen (Phanerogam en) ausgeprägt ist, wie etw a in der
*) Zeitschi', für lateinl. höh. Schulen. XII. Jahrg.
6. Heft.
höheren Tierw elt. Ausserdem wäre die niedere Pflanzenwelt — und das ist der H auptgrund
— in diesem Falle nicht das einfachere, sondern, der kom plizierten Fortpflanzungs weise wegen, das schwierigere. Im m erhin w ird man auf die E n t
wicklung, sow eit thu nlich , R ücksicht nehmen.
B etrachten w ir nun die U nterrichtsziele der einzelnen K lassen :
VI. Klasse.
Aus nahe liegenden Gründen erstreckt sich das Pensum der Sexta hauptsächlich auf die einfacheren E rörterungen über W urzel, Stamm, B latt. Blüte. W ie es nun einmal in der N atur der Verhältnisse liegt, hat die höhere Schule m it ihren höheren Zielen eine andere Methode als die Volksschule, und um den Schüler auch in den N aturw issenschaften an diese zu ge
wöhnen, könnte man w ahrlich m it nichts besserem beginnen als mit den einfacheren anatomischen Verhältnissen. Selbstredend werden, wenn man die W urzel Verhältnisse in erster Linie erledigen m ö ch te, Pflanzen m it all ihren Teilen — die Schlüsselblume, das W indröschen — vorgeführt und nicht etw a die W urzel für sich behandelt, wie man ja überhaupt in den einleitenden Stunden nicht gleich m it Einzelheiten beginnen kann.
Begriffe wie H aupt- und Nebenwurzel und Zweck der W urzel bieten im allgemeinen so wenig Schw ierigkeiten wie die E rörterungen über den Stamm. Beide Pflanzenteile aber erfahren im grossen Ganzen w eniger Beachtung, als etw a das B latt und seine Formen. W enn auch im allgemeinen diesen Verhältnissen des B lattes keine hervorragende wissenschaftliche Bedeu
tun g zukommt, so haben w ir denuoch beim Schüler darauf zu dringen, dass er sich dam it v ertrau t macht. Denn einmal sind es gerade die Form enverhältnisse, die das ungeübte Auge an das Sehen gewöhnen, und sodann haben w ir für die System atik und das Pflanzenpressen einen wichtigen Nebenerfolg zu verzeichnen.
Es empfiehlt sich für den Schüler das Anlegen einer Blattsam m lung, in der sich typische Ver
tre te r für die Form en des einfachen B lattes
— des geteilten und m ehrteiligen — des zu
sam m engesetzten B lattes finden und ausserdem noch die w ichtigsten Form en des B lattrandes.
A uf diese W eise können w ir schon e i n Ziel s p i e l e n d erreichen. D er Schüler h at sich m it Interesse m it der Pflanzenwelt beschäftigt, und er hat sich den Stoff auf denkbar leichteste W eise und dauernd angeeignet. Es soll nicht gesagt sein, dass man bei Behandlung des B lattes inzwischen von der B etrachtung anderer Pflanzenteile ganz absehen soll. Die B latt
sammlung ist doch abhängig von der B e
schaffung der B lätter! man denke an den Z eit
raum, der zwischen dem E ntstehen des linealischen
Grases und des gebuchteten E ichblattes liegt.
S. 28.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jahrg. VIII. No. 2.
D a kann man inzwischen nun ganze Pflanzen besprechen und bei jed er die B lüte zerlegen lassen und zw ar in der Reihenfolge, in der die B liitenteile aufeinander folgen, so dass der Schüler dieselben ebenso spielend le rn t wie die B la tt
formen. Auch die einzelnen Teile des Stempels und der Staubgefässe werden ihm geläufig, wie e r andererseits schon über die H aupt- und N ebenteile u n terric h tet werden kann. D er nun einmal erw eckte Sammeleifer und die ausreichende Z eit ermöglichen ausserdem eine Sammlung der hauptsächlichsten B lütenstände, die insofern von grösser B edeutung ist, als w ir dam it alle Vor
arbeiten für die in der Q uinta beginnende Syste
m atik erledigt haben. E s b raucht wohl kaum hervorgehoben werden, dass bei Besprechung von einzelnen Pflanzen — z. B. um zwei Gegen
sätze anzuführen, der Sum pfdotterblum e und der Königskerze — die biologischen Merkmale schon in der sechsten Klasse B erücksichtigung finden. An den gegebenen und ähnlichen Bei
spielen lernt, der Schüler bereits zweckmässige E inrichtungen sowie ökonomische Verhältnisse der Pflanzen kennen. Es w ürde sich nach alledem der Stoff in der sechsten Klasse folgender- massen g ru p p ie re n : W urzel, Stamm, B latt (Knospe), Blüte, B lütenstand. Besprechung ein
zelner blühender Pflanzen m it B erücksichtigung der biologischen Verhältnisse. H ierzu kämen dann noch die erw ähnten Sammlungen und wie in allen Klassen ein p aar Exkursionen.
Eine derartige Stoffauswahl h a t nich t nur den Zweck, durch die A rt der physischen Be- th ätig u n g dem botanischen U nterrich t allein, sondern dem naturw issenschaftlichen überhaupt vorzuarbeiten. W ir haben also dam it eine Vor
schule für den im W intersem ester beginnenden zoologischen U nterricht *), als auch eine u nent
behrliche V orübung für die in der Q uinta ein
setzende System atik.
V. Klasse.
In der 5. Klasse t r i t t nach einer kurzen R ekapitulation des vorjährigen Pensum s die K lassifikation der Pflanzen in den M ittelpunkt.
E s is t daher vor allem der B egriff „B lü te“ be
sonders zu befestigen und zu erw eitern, was am besten durch die G egenüberstellung von E ingeschlechtiger und Z w itterblü te erreicht wird. H ier ist eine Exkursion angebracht,, welche den Schüler m it blühenden Weiden, B irken etc. v e rtra u t m acht, und die zugleich Anlass zur Behandlung der Salicaceae, Amen- taceae, U rticaceae giebt. In w elcher Reihen
folge die System atik der Phanerogam en zu W erke geht, darüber w erden sich wohl nie
*) Vergl. m. Abhandl.: „W ert und Ziel des natur
wissenschaftlichen Unterrichtes in der 6. Klasse“ (R eal
schule) in Ztschr. f. lateinl. höhere Schulen, X II. Jiirg.
V II. Heft.
V orschriften machen lassen, weil bei unserm U n terrich t verschiedenste äussere V erhältnisse eine grosse Rolle spielen. So müssen w ir in unserer A bhängigkeit vom A nschauungsm aterial die einzelnen G ruppen ze rreissen ; Schneeglöck
chen, Schlüsselblume, W indröschen, drei Ver
tre te r verschiedenster Gruppen, die w ir aber wegen ihrer bald zu Ende gehenden B lütezeit rasch nacheinander b etrach ten müssen. D aher ergiebt sich die notw endige Forderung eines H erbarium s, um derartige Beispiele ein fü r allemal fest zu halten.
Angenommen, w ir h ä tte n uns zur Aufgabe gestellt, folgende Ordnungen in der Q uinta zu besp rech en : Lilicaceae, Iridaceae, Prim ulinae, Salicaceae, L abiatae, Ranunculaceae, Nym pha- ceae, Cruciferae, Papaveraceae, Papilionaceae, so bliebe uns dabei nichts anderes übrig, als manchmal in sehr bu nter Reihenfolge — wir haben doch auch m it dem Abmähen der W iesen zu rechnen — die verschiedensten Typen zu besprechen. D afür aber haben w ir dem Schüler stets das Diagram m angegeben, das er dann aus dem K opf zeichnet und das ihn gleich, m it Zuhilfenahme des gesam ten H abitus, instand setzt, die Pflanze rich tig einzuordnen. M it derselben Sicherheit, m it der er einen L ippen
b lü tler erkennt, bestim m t er auch z. B. das Hahnenfussgew ächs.
So h at diese U nannehm lichkeit doch auch das w ieder für sich, dass sie stets zur W ieder
holung zw ingt. Im allgemeinen ist es w ün
schensw ert, system atisch vorzugeheri, also w o
m öglich in der Q uinta die Monocotyledoeae und C horipetalae zu berücksichtigen; allein man muss wohl notgedrungen einige Ausnahm en w alten lassen und z. B. die für den Q uintaner ziemlich schw ierigen Verhältnisse der Gram inaeae in die Q uarta versparen. Selbstredend k ann au f die Bestim m ung von U n terarten etc. kein G ew icht geleg t werden. Diese zeitraubende und im G runde genommen für die A usbildung des Schülers höchst gleichgiltige B eschäftigung übersieht das grosse Ganze und h at zur Folge, dass man kein G esam tbild bieten kann, das allein A nspruch auf w issenschaftlichen und er
zieherischen W e rt hat.
H a t dann der Schüler die erforderliche A n
zahl von Pflanzen gepresst, so erw ächst ihm die Aufgabe, eine H auptrevision zu unternehm en, sodass in jedem Umschlag, au f welchem Ord
nung und Diagram m verzeichnet ist, die en t
sprechenden V ertreter zu finden sind. W ir können das Pensum der Q uinta nicht verlassen, ohne noch einen Blick auf die F ru c h t gew orfen i zu haben. N atürlich kann es sich hier n ur um j die A eusserlichkeiten handeln, die uns die ein
zelnen Form en bieten und zu diesem
Z w e c k eeignet sich eine kleine F ruchtsam m lung von
Seiten des Schülers, welche die hauptsächlichsten
1902. No. 2.
An o r d n u n g u n d Ve r t e i l u n g d e s b o t a n i s c h e n Le h r s t o f f e s.S. 29.
A rten um fasst und die nach Gelegenheit ange
legt wird.
Som it h ätten w ir fü r diese Klasse folgenden U n terrich tssto ff: Kurze W iederholung des P en
sums aus der (j. Klasse, Z w itterblüte und ein
geschlechtige Blüte. M ehrere Ordnungen aus der Klasse der Phanerogam en.
IV. Klasse.
Die 4. Klasse h at u nter anderem das Ziel, die bedecktsam igen Phanerogam en zum Abschluss zu bringen, sie h a t also den Stoff der 5. Klasse in einer H insicht in derselben W eise w eiterzu
führen, nämlich die Typen kennen zu lernen und sie einzuordnen. Dass bei diesem K ennen
lernen die biologische Seite stets zu betonen ist, wenn sie nicht überhau pt in den V order
grund tritt, ist eine selbstverständliche Sache.
D er Schüler muss sich — und das h a t er schon in der 5., wenn nicht g ar schon in der 6. — über den Zweck z. B. des Haariilzes, über Schutzvorrichtungen, über Zweck und V orteile I verschiedener B lattstellungen, über die Bedeu
tung von H arz und Pech k lar sein, er muss wissen, warum die W asserpflanze andere B lätter hat als die Landpflanze, aus welchem Grunde das B latt der ersteren dünn is t und einen weichen, fast gleich dünnen Stengel besitzt; er w ird vor allem au f den K am pf ums Dasein hingewiesen, auf die W ind- und Insektenbe- stäubung, auf die grosse Sam enproduktion der j W indblütler und die lebhaften F arben und ähnliche Lockm ittel der von Insekten zu be
fruchtenden Pflanzen, und er w ird in manchem dieser Prinzipien ein Analogon in der T ierw elt linden. In der Q uarta kann auch schon auf die einfachsten V erhältnisse über E rnährung und Atmung, auf die Beziehungen der Pflanze zu L icht hingewiesen werden, die durch ein paar Experim ente leicht nachgewiesen sind, und j die in der Frühlingsw aldflora uns ein anschau- j liches Beispiel im Grossen geben. Ueber die j E rnährungsverhältnisse können schon elementare j E rörterungen gepflogen werden, namentlich, da
\es uns an Pflanzen,, die in Nährsalzlösungen j aufgezogen werden, nicht fehlen darf. Schon i hier kann man den Schüler von der T hätigkeit der W urzeln, deren ganzes Geflecht er sieht, w iederholt sich überzeugen lassen, wie auch von der Aufgabe des Stengels, den er bei ver
schiedenen W asser- und Landpflanzen des öfteren durchschnitten hat, und von der A rt und W eise, wie und auch was die Pflanze verzehrt.
W eil es sich aber doch in der IV. Klasse um A ufstellung der System atik der bedeckt- i sämigen Phanerogam en handelt, so sind auch ] die Samen und K eim verhältnisse zu erörtern.
Selbstredend müssen die B efruchtungserschei
nungen vorausgehen, bei w elcher Gelegenheit
der Schüler ans M ikroskop tritt, um die Pollen
körner unter W asser zu beobachten. Zugleich w ird auf die verschiedenen B estäubungsverhält
nisse, auf die A rt und Weise, wie B estäubung verhindert wird, auf die A npassungsverhältnisse der B lum enblätter näher eingegangen. Es empfiehlt sich, etw a Bohnen und eine G etreide
a r t anzubauen und die Keim ungserscheinungen hier genau zu beobachten, von dem A uftreten des W ürzelchens, des Stengels und der B lättchen bis zum Schwund der K eim blätter. Nun kann nian es an der Hand des Herbarium s wagen, die grossen Abteilungen der Monokotyledonen und Dikotyledonen und die betreffenden U nter
abteilungen m it dem Schüler zu bilden. Ich glaube, es dürfte sich als unerlässlich erweisen, auch das L i n n e s c h e System dem Schüler der Quarta vorzuführen, eine Aufgabe, die sich in wenigen Stunden leicht erledigen lässt. Ausser
dem wird sich die Besprechung der w ichtigsten Kolonialpflanzen (natürlich m it Abbildungen) empfehlen. — Sonach h ätten w ir folgende P u nk te zur Erledigung geb rach t: Fortsetzung und Abschluss der in der Q uinta erörterten Pflanzenfamilien m it B etonung der biologischen Verhältnisse, B efruchtung, W ind- und Insek ten bestäubung, Einfache E rörterungen über Licht- und Atm ungsverhältnisse, Aufstellung der Syste
m atik der Phanerogam en, die Kolonialpflanzen, das L i n n e s c h e System.
III. Klasse.
In der III. Klasse müssen w ir baldm öglichst auf Abschluss der Phanerogam en dringen, wes
halb w ir sofort m it B etrachtung der Coniferen beginnen und an ihnen den Begriff der Nackt- sam igkeit veranschaulichen (m it Gegenüber
stellung der Bedecktsamigen).
Nun erst kann man die grosse Phanero- gam ensystem atik aufstellen, was zugleich den Vorteil hat, dass die bisherige System atik noch
mals kurz zur E rö rteru ng kommt. — Im An
schluss an diese G esam tübersicht empfiehlt es sich, gleich zur Pflanzengeographie überzugehen, ein K apitel, das so recht die in der Organi
sationsw elt w altende K ausalität und Zweck
m ässigkeit veranschaulicht. W ie der Schüler schon in der Tiergeographie erfahren hat, spielen 1 vor allem Lage und Klima die hervorragendste Rolle in der V erbreitung, und noch w eit mehr ist das bei der Pflanzenw elt der Fall. Und wenn dabei die näheren Umstände, u n ter denen V erbreitung stattfindet, erö rtert werden, so t r i t t ein biologisches M aterial, ein Blick ins Grosse, vor den staunenden Schüler, wie es ihm selten ein Kapitel bietet. Der ganze Kam pf ums Dasein, die Verhältnisse der tierischen Schutzfärbung, das grosse W erden und Vergehen leben in dieser gedrungenen D arstellung — es kann sich doch nur um einige Stunden handeln — in neuer
| B eleuchtung wieder auf.
S. 30.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jahrg. VIH. No. 2.
Damit haben w ir einen grossen Teil unseres botanischen Lehrstoffes hinter uns, es ste h t aber ein nicht zu unterschätzendes Gebiet vor uns, das D ank verschiedener Nebenum stände (An
knüpfung an Zoologie) in verhältnissm ässig kurzer Z eit bew ältigt werden kann. Es bleibt noch zu erledigen übrig das hauptsächlichste über die Zelle und ein geeignetes Eingehen auf Algen, Pilze und Flechten. Dem Begriff der Zelle h a t die Zoologie bei B etrachtun g der U r
tiere, die dem Schüler in verschiedensten Form en vor Augen traten , schon vorgearbeitet. *). Es handelt sich daher noch um die Teile, die ausser K ern und Protoplasm a eine hervorragende Be
deutung haben. So lern t der Schüler in ver
hältnissm ässig kurzer Z eit (natürlich m it Be
nutzung des M ikroskops!) F arbstoffkörper, S tärkekörner, Zellsaft, die Form en der Zell
w and etc. kennen. W enn w ir nun an die Algen herangehen, so findet er bei den niedersten Form en wie z. B. Closterium, Spirogyra oder bei Form en wie Chara, Vaucheria die einzelnen Z ellverhältnisse m ehr oder m inder deutlich. Zu
gleich kann er hier fü r die sp äter noch zu be
trachtenden B efruchtungserscheinungen (Eigen
bew egung der Spermazoiden) w ertvolle K ennt
nisse sammeln. Ueber die Ausdehnung des Pensum s Algen sind die Z eitverhältnisse und das Sehülerm aterial ausschlaggebend. Dasselbe gilt auch von den Pilzen, die sich an die Algen anschliessen. Die Ein- oder V ielzelligkeit, die A rten der Verm ehrung, der Parasitism us im G egensatz zu den Algen, ihre W ichtigkeit und ih re verderbliche Bedeutung im N aturhaushalte, das sind P unkte, die vor allem hervorgehoben w erden müssen und die dann auch teilweise im W in ter bei der Somatologie v erw ertet werden können.
Die höheren Pilze, ih r Bau oder Leben, ihre V erw endbarkeit und endlich noch die F lechten bilden den Abschluss des Stoffes der dritten Klasse, der also, um kurz zu wiederholen, aus folgenden K apiteln bestehen k önnte:
Coniferen, System der Phanerogam en, Pflan
zengeographie — die Zelle, Algen, Pilze, Flechten.
* *
*
Es Hesse sich darüber streiten, ob die Ge
webe gleich im Anschluss an die Zelle oder erst in der II. Klasse behandelt w erden sollen.
Beide Anschauungen haben etw as für sich.
Schliesslich w ird aber die Zeitfrage w ieder zu entscheiden haben. F ü r alle Fälle müsste, selbst wenn sie in der III. Klasse behandelt w urden, eine gründliche R epetition erfolgen, da die nun einsetzende Pflanzen-Physiologie
*) V ergl. m. Aufsatz in Unterriehtsbl. f. Mathem.
u. Natuvwissenseh. Jahrg. V II, N o. 2: „Ein Beitrag zur Behandlung der wirbellosen T iere.“
ohne eine anatom ische N aturlage n icht m it dem gew ünschten E rfolg vorgetragen w erden könnte.
II. Klasse.
H auptthem a der II. Klasse muss nach allem vorausgegangenen die Pflanzen-Physiologie m it B erücksichtigung der w esentlichsten P u n k te ihrer säm tlichen K apitel werden, sow eit diese dem Schüler k lar gem acht werden können.
Thatsächlich linden w ir von Seite des Schülers, der nun doch auch Physik- und Chem ieunter
rich t geniesst, grosses Interesse, sowie auch aus
reichendes Verständnis.
D am it w ir nun den um fangreichen Stoff in der leider zu kurz bemessenen Z eit bew ältigen können, ist eine Reihe von fortlaufenden E x
perim enten nötig. D er Stoff ist fürw ahr kein geringer, handelt es sich doch um die K ap itel:
F estigung des Pflanzenkörpers, D ruck, Span
nung, E rnäh ru n g — Stoff und W asseraufnahm e
— Verdunstung, Assim ilation, Stoffveränderung, Stickstoffaneignung, Atmung, W achstum , Be
w egungen der Pflanze, Fortpflanzung.
Freilich sind es von manchen K apiteln nur einzelne H auptsätze, die gem erkt werden. Es dürfte doch genügen, wenn der Schüler z. ß . über die Festigung der Pflanze Beispiele er
fährt, wie etwa, dass der einfache Getreidehalm in seinem A ufbau alle unsere technischen L eistun
gen übertrifft (verhält sich doch die Höhe zum D urchm esser wie 1 : 500), es genügt, au f den T u r
g or und die Spannung hinzuweisen und hierzu ein p aa r Experim ente zu machen. (H ier sieh t man übrigens wieder, wie unum gänglich notw endig die G ewebelehre im Schüler sitzen muss). H in
sichtlich der E rn ährun g geben die im Schul- zimmer aufgestellten Nährsalzpflanzen anschau
liche Beispiele. Da stehen Mais und andere Pflanzen in Cylindern m it W asser oder in Töpfen m it Sägespänen, die einen Pflanzen, wie der angeklebte Z ettel aufw eist, m it allen N ähr
stoffen versehen, die anderen, unzureichend ernährt, an Eisen oder Stickstoff M angel leidend und daher gelb und dürftig in ihrem Aussehen.
D er Schüler sieht wie die Salze abnehmen, und die Pflanze w ächst und gedeiht, wie W asser v erd un stet w ird, und wie man jed erzeit in das Leben des Organismus eingreifen kann. W asser
aufnahm e und V erdunstung w erden wie die
A ssim ilation und Stoffw anderung experim entell
nachgewiesen, und hier stehen uns bekanntlich
verschiedenste Experim ente zu Gebote. (T hätig-
k e it der W urzelhaare, deren Spitzen m it den
B odenteilchen verw achsen sind, Ausscheidung
von W asser an g la tt abgeschnittenem Stum pfe,
S aftsteigen im Holze, das von der Rinde ent-
blösst w ird, S augkraftnachw eis an tran sp irieren
den Sprossen, Jodprobe au f S tärk e etc.) —
H insichtlich der Stickstoffaneignung kom m t uns
bereits die Chemie zu H ilfe; auch dürfen die
1902. No. 2.
An o r d n u n g u n d Ve r t e i l u n g d e s b o t a n i s c h e n Le h r s t o f f e s.S. 31.
eigentlichen V erhältnisse der Leguminosen nicht vergessen werden.
An dem vortrefflichen Beispiel der Elodea Canadensis. lernt der Schüler die Sauerstoffaus
scheidung kennen, und ein hübsches Beispiel von C O
2Abscheidung geben junge Keime und nam ent
lich Pflanzen, die u n ter verdunkelten Glasglocken stehen, in welchen ein m it K alkw asser gefülltes Glas alsbald eine K ruste von kohlensaurem Kalk bildet. Das Auslöschen eines in die Kohlen
säureatm osphäre gesteckten Spanes sowohl, als das Entw eichen der C O
2beim Uebergiessen des K alkes m it Salzsäure sind überzeugende That- sachen.
Soweit sie nicht dm-ch Experim ente nach
gewiesen w erden können, sind die W achstum s
verhältnisse in ihren einfachsten Erscheinungen und ihren Beeinflussungen durch Klima und T em peratur ohne besondere Schw ierigkeiten begreiflich zu machen. Ebenso verh ält es sich m it den Bewegungen. H ier haben w ir stets Topfpflanzen zur Verfügung, an denen sich die Erscheinungen des Geotropism us, des H elio
tropism us, die Schlingbew egungen (Bohne), ver
schiedene Reizbewegungen etc. verfolgen lassen.
Alle diese Experim ente sind fortlaufende. So kann man z. B. Pflanzen in Nährsalzlösungen von Ostern bis zu den grossen F erien oder noch länger im Schulzimmer aufstellen. So lassen sich eine Menge von Versuchen anstellen, die dem Schüler nach und nach einen Einblick in das Leben und Schaffen der Pflanze gewähren.
Die F ortpflanzung endlich fasst nochmals die schon früher gewonnenen R esultate über vege
tativ e und sexuelle Verm ehrung zusammen — der Schüler w urde auf die verschiedenen Fälle sowohl bei Phanerogam en als auch Cryptogam en hingewiesen. N amentlich werden die geschlecht
lichen Fortpflanzungsverhältnisse bei den P hane
rogam en nochmals erö rtert. Die noch fehlenden Pflanzenklassen Moose und Farne, welche also in der II. Klasse noch zu erledigen w ären, bieten auch in jed er H insicht des Interessanten genug, zumal sie die lehrreichen V erhältnisse des G enera
tionsw echsels zeigen. D er U nterrichtsstoff der II. Klasse erstreck t sich demnach auf folgende P u n k te :
Die Gewebe (oder, wenn schon in der III. Klasse behandelt, W iederholung derselben).
Pflanzenphysiologie. Moose und Farne.
* *
*
W enn nun das vorliegende Program m für die einzelnen Klassen einen bestim m ten Stoff angiebt, so soll dam it nicht gesagt sein, dass irgendw elche Erscheinungen auf pflanzlichem Gebiet, die erst in einer höheren Schulklasse zur A bhandlung gebracht w erden können, aus den niederen absolut zu verweisen sind. Es ] w ird jederzeit, sobald der Schüler für eine j
Pflanze ein Interesse bekundet und dieselbe in die Schule m itbringt, darüber auch gesprochen werden müssen, natürlich innerhalb bestim m ter Grenzen.
So haben w ir nun ein Program m entrollt, das den Schüler m it der Pflanze und deren Leben gründlich v ertrau t m acht. E r h at in hunderten von Fällen einen stillen K am pf ums Dasein gesehen, der zw ar w ieder ganz anders g ea rtet ist als der tierische, in W irklichkeit aber doch dasselbe bedeutet, er h at die w under
barsten Anpassungs- und V ariationsverhältnisse kennen gelernt und gesehen, dass die A rten keine feststehenden Typen sind. Die zahlreichen zweckm ässigen Einrichtungen, die sich der Or
ganismus in seiner W echselw irkung m it der Um gebung schafft, erw eitern die G esichtspunkte, die durch den zoologischen U n terrich t geboten wurden. Im m erfort begegnet der Schüler der Zw eckm ässigkeit im Verein m it dem K ausal
gesetz, den grossen N aturgesetzen, u nter denen alles, was Leben heisst, steht, denen der Mensch so g u t wie alle ändern Organismen unterw orfen ist. Die G leichheit in der grossen N atur und die Gewissheit, dass das Tüchtige stets siegt
— solche G esichtspunkte enthalten eine Fülle von bildenden F aktoren in rein w issenschaft
licher als auch in sittlicher H insicht und ausser
dem geben diese Kenntnisse dem Schüler, wenn er einmal in das sociale Leben ein tritt, eine
| gute A usrüstung für den K am pf ums Dasein, das ihm das Gegenteil von der lächerlichen Gleichheitsidee zeigt — die Auslese des Tüch
tigen. —
D i e B o t a n i k u n d d i e k ü n s t l e r i s c h e E r z i e h u n g d e r J u g e n d .
W ährend des Zeitraum es, der zwischen Schillers Briefen über die ästhetische Erziehung des Menschen und dem Erscheinen von Ed.
v. H a r t m a n n s E th ik liegt, tr a t w iederholt die F orderung an die gebildete W elt heran, der künstlerischen A usbildung des Menschen m ehr S orgfalt zuzuwenden, ohne jedoch beson
deres Gehör zu finden. J e tz t beginnt es wohl zu dämmern. In verschiedenen Ländern wie Oesterreich, Frankreich, in der Schweiz und auch in manchen Gegenden D eutschlands (Ham
burg) will man sich der notwendigen F orde
rung, dass die ästhetische Erziehung nicht länger als etwas Nebensächliches b etrach tet werden dürfe, n ich t m ehr verschliessen. Man versucht, den Zweck durch Ausschm ückung der Schul
zimmer m it Bildern zu erreichen. Gewiss kann dieser Gedanke ein g u ter genannt werden, und es wäre nur zu wünschen, dass derselbe in rech t vielen Stunden V erw irklichung f ä n d e ; allein vergessen w ir nicht, dass w ir doch das B este stets von der N atu r empfangen werden.
E iner unserer bedeutendsten Maler der
S. 32.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jahrg. VIII. No. 2.
Gegenwart, F ritz v. U h d e , sa g t: „Gewiss ist es von grösser W ichtigkeit, dass die jungen Leute frühzeitig gute K unst anschauen lernen, nicht bloss von derselben hören. E i n a n d e r e s
K a p i t e l w ä r e , d i e u m g e b e n d e N a t u rv e r s t ä n d i g a n s e h e n z u l e r n e n , d a s i s t v i e l l e i c h t n o c h w i c h t i g e r . Es würde durch beides vielleicht das grosse Unverständnis für bildende K unst, das förmlich zur Ausbildung des Deutschen gehört, nach und nach etwas gebessert w erden.“
Bezeichnend sind auch die W orte des am erikanischen Pädagogen L i b e r t y T a d d :
„Den besten U n terricht empfangen w ir von den Dingen selbst, nicht in erster Linie durch das K unstw erk. D u r c h d a s S t u d i u m d e r N a t u r w i r d e r s t d i e r e c h t e A u f f a s s u n g
f ü r d a s K u n s t w e r k e r z e u g t . “In dieser Form ulierung, wie beide C itate denselben Gedanken geben, is t allerdings selten auf die künstlerische B ildung hingewiesen w or
den, und das kann uns wiederum nicht wundern, wenn w ir bedenken, dass die K unst noch nicht zu lange in dem Stadium ist, wo ihr erster Grundsatz die W ah rh eit wurde. U nsere reale W eltanschauung, der auch die ideale Seite nicht fehlt, ist m it den Besti'ebungen der K unst — der Poesie so g u t wie auch der Malerei und S kulptur — im Einklang. H ier und dort ein D urchdringen vom Naturalism us zu einem ge
sunden Kealismus und Idealism us, hier und dort E rrungenschaften von bleibendem W erte — vor allem keine Rückkehr.
Und wenn w ir unseres Amtes als Erzieher vollauf walten, wenn w ir N aturw issenschaftler zur ästhetischen A usbildung beitragen wollen, so haben wir, nam entlich was die Erziehung des Auges anbelangt, die besten M ittel zur Hand.
Vor einem Uebel müssen w ir uns hüten, vor dem H ineindeuteln in Dinge, die durch ihre reine Schönheit w irken, und dem Suchen und Jagen nach Ideen, wo keine zu finden sind.
D erartige lästige E rklärer, deren K unstverständnis gew öhnlich in leerer E inbildung besteht, töten m itunter nur den frischen, natürlichen Kunstsinn.
W as aber das Erfassen eines w irklich vor
handenen Inhaltes eines K unstw erkes betrifft, so muss das Leben erst einen gewissen In h alt gesam m elt haben, um uns zum Genüsse des
selben fähig zu machen. Die Zeit, wo der Mensch sich jenen Stimmungen hingeben kann, die die Seele zu ihren F esttagen rechnet, be
ginnt in der Regel erst nach den Schuljahren.
Unser Zweck ist, den Schüler vorzubereiten, dass er anschauen und empfinden lernt, das übrige w ird sich sp äter schon einstellen. Ver
gessen w ir dabei nich t „unm erklich, m ehr durch das Vorbild und die Gelegenheit, als durch
A nw eisung“ wie Goethe sagt, zu W erke zu gehen.
Unser F all ist die einzelne Pflanze sowohl in ihren F arbenw irkungen, K ontrasten und ihren Form en als auch die grossen Genossenschaften, die der Landschaft ih r Gepräge verleihen — die A rm ut und E in tö nig keit der Heide, der eigenartige Z auber der M oorlandschaft, die tau- schweren G räser in der Morgensonne, die klare F läche des schilfum randeten Teiches, das w ogende G etreidefeld, die stille Grösse des W aldes etc. — Es müssen die jungen Leute m it den sich ergebenden F arbenk ontrasten und dem Zusammenvorkommen verschiedenster Pflan
zen, m it der V erschiedenartigkeit des U n ter
grundes in Nadel- und Laubw ald usw., schon deshalb b ekannt gem acht werden, dam it sie sich sp äter einmal an gem alten Landschaften nicht diesbezügliche Verstösse — die doch nicht m in
der schreiend als historische F ehler sind — bieten lassen.
Gerade das Landschaftsgem älde und die N atur, die ja dem M ittelalter und A ltertum fremd blieben, sollen für den modernen Menschen ein besonderes O bjekt der Freude und der künstlerischen B ew ertung bilden. B ehalten w ir nun diese unsere W irk sam k eit im Auge, und bedenken w ir ferner, dass der ganze Mensch schon Gelegenheit hat, das W irk en der K ausali
t ä t zu erkennen, so können w ir uns sagen, wenn w ir in der jungen Seele diese beiden zur künstlerischen Auffassung der N atur unerläss
lichen F aktoren Anschauen und Erkennen glück
lich vereinigen : W ir haben ein g u t Teil m it
gearb eitet an der ästhetischen E rziehung un
serer Jugend.
W is s e n s c h a f t lic h e S tr e n g e im m a t h e m a tis c h e n U n te r r ic h t.
Von F r a n z W e i s s (Gross-Liehterfelde-Berlin).
D er heutige mathematische Schulunterricht unter
scheidet sich wesentlich von dem der früheren Jahr
zehnte. H eute ist es das Bestreben des mathematischen Lehrers, auch die minder begabten Schüler so w eit zu fördern, dass sie den Anforderungen der Klasse genügen, früher beschäftigte man sich m it den drei oder vier für die Mathematik besonders veranlagten Schülern, während man die übrigen sich selbst überliess. Die Veranlassung zu diesem Verfahren gab die falsche, jetzt überwundene Anschauung, dass zum Verständnis auch der elementaren mathematischen Sätze eine spezi
fische Begabung erforderlich sei.
Am meisten fühlbar machen sich die modernen Bestrebungen in den Stadien des Unterrichts, wo es gilt, die Grundlagen der einzelnen Disziplinen zu schaffen, also im Anfänge des geometrischen Unterrichts, bei der Einführung in die A lgebra und beim Beginn der T rigo
nometrie. B efreiung von althergebrachten allzu formalen M eth od en , die sich M enschenalter hindurch in den Lehrbüchern dahinschleppten, Veranschaulichung, wo es nur irgend angeht, dies sind die Gesichtspunkte, die die neuen Methoden von den alten unterscheiden, und
1902. No. 2.
Wi s s e n s c h a f t l i c h e St r e n g e im m a t h e m a t i s c h e n Un t e r r i c h t.S. 33.
aus deuen die neueren Lehrbücher verfasst sind. Es liegt nun auf die Hand, dass unter diesen Verhältnissen im Lehrer der Mathematiker m it dem Pädagogen leicht in Konflikt geraten wird. W as pädagogisch opportun ist, ist nicht immer wissenschaftlich streng, und umge
kehrt. Häufig werden sich beide Anforderungen, der Strenge und der pädagogischen Zuträglichkeit, m it ein
ander vereinbaren lassen; in Fällen, in denen dies nicht angeht, wird m eist die Pädagogik den S ieg davontragen müssen. Denn es ist sicher besser, dass der Schüler einige Einsicht, als dass er gar keine oder statt der Einsicht nur W orte gewinnt.
E s sollen nun im folgenden einige Punkte diskutiert werden, die w ichtig genug erscheinen, dass man sich darüber ausspreche. Die Darstellung macht nicht darauf Anspruch, erschöpfend zu sein, sie will vielmehr als Anregung gelten.
In vielen Lehrbüchern und häufig in der Praxis wird der geometrische Unterricht m it der Aufzählung einer Reihe von Axiom en eröffnet. W ir erfahren, dass jede Grösse sich selbst gleich ist, dass das Ganze grösser ist, als jeder seiner Teile, dass man Gleiches für Gleiches setzen kann, dass Gleiches zu Gleichem addiert, Gleiches ergiebt, usw. V ielfach werden diese Sätze zwar nicht an die Spitze der Erörterungen gestellt, aber doch wenigstens im Verlaufe des Unterrichts als Grundsätze eingeprägt.
Hierzu ist folgendes zu bemerken. Die ersten beiden Sätze sind gar keine mathematischen, sondern logische Grundsätze, die man m it demselben Rechte an die Spitze jeder Wissenschaft steilen könnte. (Davon, dass der zweite Satz für unendliche Vielheiten infolge deren Definition nicht gilt, können wir hier füglich abschen). Nun ist der Satz der Identität, dass a = a ist in seiner Bedeutung wohl für denjenigen verständlich, der formale Logik treibt, für den Quartaner jedoch enthält er nur leere Worte, hinter denen er bestenfalls etwas ihm Unverständliches, Geheimnisvolles vermutet, das er eben hinnimmt und nachspricht, weil es der L ehrer vorspricht. Aber auch das blosse Gefühl der Unklarheit und das geduldige Hinnehmen einer solchen scheint dem Zwecke dos mathematischen Unterrichts, der A nleitung zum bewusstklaren Denken zu wider
sprechen. Gewöhnlich tritt der Satz in der Form auf A B = A B , wo A B eine zwei kongruenten Dreiecken gemeinsame Seite bezeichnet. Warum soll man hier nicht einfach sagen „A B ist beiden Dreiecken gem ein
sam ?“ Das trifft die Sache, da cs sielt doch um K on
gruenz handelt, w eit besser, als das umständliche A B = A B , denn jede Grösse is t sich selbst gleich. Die Mathe
matik wendet die logischen Grundsätze im plicite an und es scheint hinreichend, dass auch der Schüler dies thue; andernfalls wäre es konsequent, dem Unterricht in der Mathematik einen Kursus in der formalen L ogik vorangelten zu lassen.
Was ferner die vielen Siitze über gleiche Grössen betrifft, so sind diese, w ie schon G r a s s m a n n in seiner Ausdehnungslehre bemerkt, gar keine Grundsätze, son
dern sic fliessen aus der Definition gleicher Grössen.
Zwei Grössen werden eben in irgend einer Beziehung gleich genannt, wenn man sie in dieser Beziehung für einander setzen kann. Inhaltsgleiche Figuren ersetzen einander in Bezug auf den Inhalt, kongruente Figuren können in Form und Inhalt für einander gesetzt werden.
Es ist also nicht nur überflüssig, sondern geradezu falsch, die oben angeführten Sätze als Grundsätze lernen zu lasscu.
Schon in den ersten Stadien des geometrischen Unterrichts müssen die Schüler Gleiches für Gleiches setzen; dieses wird ihnen um so leichter werden, einen je klareren Begriff sie m it der G leichheit in einem speziellen Falle verbinden. Sobald es ihnen zum B e
wusstsein kommt, dass a = b bedeutet: „Die Strecke a ist obensoviele Meter lang, wie die Strecke b “ und
■dfia — <£./}: „Der W inkel a enthält ebensoviele Grade, w ie der W inkel ß “, so werden sie keine Schwierigkeit darin finden, die bezüglichen Grössen mit einander zu vertauschen, sie werden alsdann leicht den aus der Gleichheit folgenden Satz, dass man Gleiches für Gleiches setzen kann, als solchen verstehen, und im Verlaufe des Unterrichtes wird es ihnen ein Leichtes sein, aus diesem Satze die allgemeine R egel zu finden: „Wenn man mit gleichen Grössen gleiche Rechenoperationen ausführt, so erhält man gleiche Resultate“.
Aus dem Gesagten folgt, dass man den A nforde
rungen der W issenschaft genügt, wenn man das Ge
dächtnis nicht m it den oben angeführten Sätzen belastet.
W issenschaftlichkeit und pädagogische Nützlichkeit stimmen also in dieser Beziehung überein. Zu einem ähnlichen Resultate gelangen wir, wenn wir die A nfangs
gründe des eigentlichen geometrischen Unterrichts näher ins A uge fassen.
Der Anfangsunterricht in der Geometrie setzt haupt
sächlich zwei Begriffe voraus, den der Geraden und den der Ebene. Es liegt auf der Hand, dass es am zweck- mässigsten is t, zunächst Ebenen und Geraden dem Schüler wirklich vor Augen zu führen, z. B. am W ürfel;
so geschieht es wohl auch meistenteils. Nun aber macht sich das Bestreben geltend, auch eine Definition der geraden Linie und der Ebene zu entwickeln. Zunächst sei die Bemerkung gestattet, dass es durchaus nicht immer unumgänglich notwendig ist, Begriffe, m it denen man operiert, zu definieren, und zwar dann sicher nicht, wenn man die Begriffe als klar voraussetzen kann.
Beim botanischen und zoologischen Unterricht wäre es ein Unsinn, eine Definition von Pflanze und Tier vor- auszuBchieken, zumal, wie jedermann weiss, dies auf unüberwindliche Schwierigkeiten stossen würde. Der naturwissenschaftliche Unterricht nimmt trotzdem seinen erspriesslichen V erlauf, weil jedes K ind w eiss, was unter Pflanze und Tier, sow eit es für den vorliegenden Zweck iubetraeht kommt, zu verstehen ist.
Definitionen sind nur dann notwendig, wenn ich Begriffe einführe, die vorher noch nicht da waren, wenn ich neue Begriffe schaffe, wie die Mathematik, besonders in ihren höheren Teilen, dafür unzählige Beispiele liefert.
Die Begriffe Ebene und gerade Linie besitzt der Schüler bereits. Besässe er sie nicht, so könnten sie ihm m it Hilfe des Würfels sofort gegeben werden. Es handelt sich beim Unterricht zunächst nur darum, vorher nicht beachtete Eigenschaften jener Gebilde ans L icht zu stellen. Definitionen der Geraden und der Ebene sind seit dem Altertum vielfach gegeben worden; überlegen wir es uns aber recht, so sagen diese wohl E igen
schaften der Geraden und der Ebene aus, passende Definitionen jedoch sind es nicht, können es auch nicht sein, da diese Gebilde in ihrer Einfachheit sieh nicht noch einfacheren unterordnen lassen.
Sehen wir uns die Sache näher an. A n sieh kann ich ein Ding dadurch definieren, dass ich von ihm eine Eigenschaft aussage, welche alle seinen übrigen E igen
schaften konnotiert, um mich eines M i l l ’schen A us
drucks zu bedienen. Beispielsweise könnte ich das D rei
eck definieren als eine von geraden Linien begrenzte
S. 34.
Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.Jahrg. VIII. No. 2.
ebene Figur, deren Winkelsumme gleich zwei Rechten ist. Warum würden wir eine solche Definition als unpassend anselien? Offenbar deshalb, weil die ausge
sagte Eigenschaft den Begriff des Dreiecks zum Beweise voraussetzt oder besser gesagt, weil sie thatsächlich m it H ilfe der Vorstellung des Dreiecks gefunden ist. B e
achte ich, dass Definitionen nichts anderes sind als Er
klärungen von Benennungen, so kann ich obige Defi
nition so w enden: Eine von Geraden begrenzte ebene Figur, deren Winkelsumme zwei Rechte beträgt, heisst Dreieck. Rein formal lässt sich gegen diese Definition nichts sagen, aber es springt in die A ugen, dass durch sie kein Mensch zur Vorstellung eines Dreiecks gelangen wird. Solche Definition könnte einmal unter Umständen für einen bestimmten Zweck nützlich sein. W enn es sich aber darum handelt, die Vorstellung des Dreiecks erst herzuleiten, so ist sie durchaus zu verwerfen.
Der Kern der Sache liegt darin, dass wir in der Geom etrie nicht von dem Begriff im allgemeinen lo
gischen Sinne, sondern von der V orstellung ausgehen.
Deshalb lassen wir eben Gebilde, die wir neu einführen, entstehen, oder definieren sie durch solche Eigenschaften, die es uns möglich machen, sie in unserer Vorstellung entstehen zu lassen.
E ine ähnliche Betrachtung findet auf die Definitio
nen der geraden Linie Anwendung. W enn ich definiere:
„Die Gerade ist der kürzeste W eg zwischen zwei Punkten,“ so setze ich die Vorstellung von der Geraden voraus, setze ferner die Thatsache voraus, dass sie existiert, und dass ich die erwähnte E igenschaft an ihr erkannt habe. E igentlich müsste die Definition h eissen :
„Der kürzeste W eg zwischen zwei Punkten heisst Ge
rade.“ In dieser Form wird die Sachlage sofort klar, das oben Gesagte erübrigt eine weitere Erörterung.
W enn man ferner die Definition gieb t: „Eine gerade L inie ist eine solche, welche, in zweien ihrer Punkte festgehalten, und gedreht, ihre Lage nicht ändert“, so brauche ich diese Definition wiederum nur in die richtige Form zu bringen, um zu sehen, dass sie unbrauchbar ist.
W enn man die gerade Linie als die L inie definiert, d ie in jedem ihrer Punkte dieselbe R ichtung hat, so begehe ich streng genommen, einen groben Fehler, da die R ichtung von einem Punkte zu einem anderen, und die Gerade zwischen ihnen offenbar identisch ist.
Jed och hat P l a t o , wenn er die Gerade als L inie de
finierte „y ę nie f u o a roTg a z g o t ę i:iooodf.lu, „R ichtung“
m it dem W ege eines Lichtstrahls identifiziert. Nehmen wir „R ichtung“ in demselben S in n e, so wird durch d ie angeführte Definition, abgesehen davon, dass wir eine physikalische V orstellung einm engen, nicht einmal ein e wesentliche Eigenschaft der Geraden ausgesagt, sondern nur festgesetzt, dass man den W eg eines L icht
strahls als Gerade bezeichnen will, d. h. also eigentlich, dass eine Gerade gerade ist.
W ill man also pädagogisch und wissenschaftlich einwandsfrei verfahren, so scheint es angemessen, den B egriff oder besser die V orstellung der geraden L inie vorauszusetzen und dann auszusagen: E ine wesentliche E igenschaft der Geraden ist es, 1. dass sie der kürzeste W eg zwischen zwei Punkten ist, 2. dass sie unter Fest- lialtung zweier Punkte gedreht, dieselbe Lage behält.
Aehnliche Betrachtungen gelten für die Ebene.
W ir können die Vorstellung von der Ebene erzeugen, indem wir einen Punkt einer Geraden als fest annehmen und dieselbe gedreht denken, indem sie auf einer anderen Geraden gleitet. Ist diese Vorstellung vorhanden, so wird auch als wesentliche Eigenschaft der Ebene er
kannt, dass jed e Gerade, die zwei Punkte m it ilir g e meinsam hat, ganz in sie fällt. Die letztere Eigenschaft als Definition zu benutzen, hiesse denselben Fehler be
gehen, den wir oben charakterisiert haben.
Ich möchte hier noch einen Punkt erwähnen, der für die ganze M ethodik des geometrischen Unterrichts von W ichtigkeit ist. Man legt in neuerer Z eit beson
deren W ert auf die Veranschaulichung im geometrischen Unterricht und m it Recht, man arbeitet m it M odellen und achtet auf korrektes Zeichnen. Jedoch verfällt man hierbei leicht in den Fehler, das logische Element in der Mathematik zu unterschätzen. N icht, dass etwas so ist, sondern, dass etwas so sein muss, zeigt die Geometrie. D ie logische Erkenntnis des Zusammen
hanges der geometrischen Gebilde- ist für sie Hauptsache.
Der Schüler muss zu der E insicht gelangen, dass seine Phantasie durch U eberlegung korrigiert werden kann und dass er imstande ist, durch Nachdenken viel mehr aus einer Figur herauszulassen, als er anfänglich ver
muten konnte.
W ie unzuverlässig unsere Phantasie ist, dafür liefern die bekannten B ew eise, dass jedes D reieck gleich
schenklig ist, dass der dritte Kongruenzsatz falsch ist, oder auch die H a n k o 1 sehe Zickzacklinie einen Beweis.
E s lässt sich nun schwer allgemein sagen, wie w eit man der Anschauung Konzessionen machen soll. V iel
leicht lässt sich an einem Beispiele das W esentliche der Frage klarlegen. In dem bekannten H o l z m ü l l e r - schen Buche „Methodisches Lehrbuch der Elementar
mathematik“ findet sich S. 34 eiu Beweis für die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks, der etwa auf folgendes hinausläuft. Man weiss, dass man eine Gerade m inde
stens um 180° drehen muss, um sie in die entgegen
gesetzte Lage zu bringen. Dann betrachtet man ein Dreieck A B C m it den W inkeln a, ß , y und erteilt der R ichtung der einen Dreiecksseite A C eine Linksdrehung um «, dann unter Festhaltung von B eine Rechtsdrehung um ß , schliesslich wieder eine Linksdrehung um C um den W inkel y. So erhält man eine der ursprünglichen entgegengesetze R ichtung, also usw. Hierzu is t folgen
des zu bemerken. Man sieht allerdings, dass die ur
sprüngliche R ichtung die entgegengesetzte Lage erhalten hat, aber daraus folgt noch nicht, dass die Drehung 180° beträgt, sie könnte auch 540° betragen. Damit die Sache klar würde, müsste gezeigt werden, dass die ausgeführte Drehung um drei Drehungspunkte der um einen Drehungspunkt aeqnivalent ist, und dass dann die resultierende Drehung die betrachtete R ichtung zum ersten Male in die entgegengesetzte L age bringt. Zum Nachweise der Aequivalenz der Drehungen sind aber die Parallelensätze nötig. W enn man, um diese zu v erm eid en , die Aequivalenz der Drehungen still
schweigend voraussetzt, so täuscht mau dem Schüler etwas vor. D ie m eisten Schüler werden eine derartige Beweisführung gläubig hinnehmen, sie sollen ja erst zur K ritik erzogen werden, ich halte es aber für sehr wahrscheinlich, dass begabte Schüler stutzig werden und sich zu der Frage veranlasst fühlen, ob es denn glcich giltig sei, dass man die Drehung um einen oder um drei Punkte ausführt.
D erartige Beweise, w ie der angeführte, in denen man den Schüler durch den sogenannten A ugenschein bethört, sind durchaus zu verwerfen, denn sic wider
sprechen dem Zwecke des mathematischen Unterrichts, den Schüler zur K larheit in seinen Vorstellungen zu erziehen. A ls praktische R egel ergiebt sich vielleicht d ie : Man führe die Beweise so streng, dass eiu begabter
