Dynamika punktu materialnego

(1)

WYKŁAD 3 DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

DYNAMIKA

PUNKTU

(2)

Masa, pęd i siła.

Zasady dynamiki Newtona.

Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia.

Siły w układach inercjalnych. Równania ruchu.

Siły bezwładności w ruchu postępowym. Zasady zachowania pędu i energii

Siła centralna.

Związek między siłą grawitacji a natężeniem i potencjałem pola grawitacyjnego.

Energia potencjalna. Energia kinetyczna. Praca. Moc.

(3)

Definicja

Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i prędkości (wektorowej).

v

m

p

 



d d r p mv m t      _r_ _ _xi _ _{yj zk}_  t x m p_x d d  py m y_t d d  t z m p_z d d 

Pęd

k p j p i p p  _x  _y  _z





d d p mv m xi yj zk t       

(4)

Definicja

Jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to definiujemy ją jako zmianę w czasie pędu ciała.

t

p

F

d

d





t

v

m

v

t

m

t

v

m

F

d

)

(

d



_







v



_



d

Gdy masa jest stała: Gdy masa jest zmienna:

(5)

(6)

I zasada Newtona

Ciało, na które nie działa żadna siła (lub gdy siła wypadkowa jest równa zeru) pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej.

II zasada Newtona

Tempo zmian pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało. Dla ciała o stałej masie sprowadza się to do iloczynu masy i przyspieszenia ciała.

III zasada Newtona

Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało

pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie.

t p F d d wyp    _lub

_,

wyp

m

a

F







m = const 1 2 2 1

 F





F



(7)

(8)

(9)

(10)

Definicja

Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła (lub gdy siła wypadkowa jest równa zeru) to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym

prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym.

Pierwsza zasada dynamiki wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej bo gdy a = 0 to i Fwyp = 0 . Przypisujemy jej jednak wielką wagę dlatego, że zawiera ważne pojęcie fizyczne: definicję inercjalnego układu odniesienia.

(11)

WYKŁAD 3 DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO ' ' ' ' t t z z y y X x x      ' ' ' z z y y x x v v v v V v v     ' ' ' z z y y x x a a a a a a    Transformacja Galileusza

Następstwem istnienia układu inercjalnego jest zasada względności Galileusza, głosząca, że ruch jednostajny i prostoliniowy układu odniesienia nie wpływa na przebieg

zachodzących w nim procesów mechanicznych.

Do porównania wielkości fizyczne między układami inercjalnymi stosuje się transformacja Galileusza.

Z równości przyspieszeń wynika, że II prawo Newtona w układach poruszających się względem siebie ze stałą prędkością będzie miało taką samą postać, a tym samym obaj obserwatorzy stwierdzą działanie takiej samej siły (przyczyny ruchu).

a m F   F ' ma' ' a a   const m  '

F

 

F





(12)

a

m

F



_wyp





F

 

F



(

r



,

v



,

t

)





_

_

3 2 1 wyp

F

)

,

d

,

(

d

2 2

t

r

F

t

r

m







) , d d , d d , d d , , , ( d d 2 2 t t z t y t x z y x F t x m  _x ) , d d , d d , d d , , , ( d d 2 2 t t z t y t x z y x F t y m  _y ) , d d , d d , d d , , , ( d d 2 2 t t z t y t x z y x F t z m  _z

(13)

k

F

j

F

i

F





_x





_y





_z



k

t

z

j

t

y

i

t

x

t

r



(

)



(

)





(

)





(

)















)

(

)

(

)

(

t

z

t

y

t

x

k

t

z

j

t

y

i

t

x

t

r

a



₂



2 2 2 2 2 2 2

d

_

_



(14)

WYKŁAD 3 DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 2 2 1 1 2 3 N ma N N ma N F ma     

m

F

m

F

a

6

3

2 







const m F t x _ _ 6 d d 2 2 2 6 ) ( 2 t m F t x 

(15)

(16)

a

m

F





(

₁



₂

)



F



_K



m

₂

a



Siły kontaktowe są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem (opóźnieniem) to musi działać siła. Tę siłę, która przeciwstawia się ruchowi nazywamy siłą tarcia.

(17)

N

v

F

i

T

 







T jest w przybliżeniu niezależna od wielkości pola powierzchni styku ciał; T jest proporcjonalna do siły z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.

N S s F T   N K K F T   Tarcie statyczne: Tarcie kinetyczne:  N F   współczynnik tarcia siła nacisku n v T i F F    g m F _n  F v

(18)

(19)

(20)

(21)

WYKŁAD 3 DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO © Politechnika 2 A r F r r  r r

gdzie A jest stałą, a r jest odległością między oddziaływującymi cząstkami.

Siłą centralną nazywany siłę postaci:

2 1M GM A   2 1 0 4 1 q q A  

dla siły grawitacyjnej

dla siły elektrostatycznej

const ) (   r A r E_p r q q r E_p 1 2 0 4 1 ) (  

(22)

d

W



F

r

o

d

r



F r

r

d cos

r



A B O F P r r r  d r d s F r F W d _s d d   s F s d

(23)

(24)

r

_r

 

2 1 2 2 0 1

lim

dx

d

dx

x n i i x i _x x x

W

F x

W

F

r

F x

 _



 





_



o

r

_r

o

1 i i i n i i i

W

F x

W

F x





 







(25)

(26)

d

B A t B A t

p F t

p

F t









r

Zmiana pędu jest równa (wektorowo)

popędowi siły. Jeśli siła znika to pęd cząstki jest stały.

0 to

const

(27)

WYKŁAD 3 DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 2 2

d

2

B B B A A A t t v B A AB t t v

mv

v

W

F v t

m

v t m v

v

t

















r

r r

r

o

Praca rozpędzania ciała

Praca podnoszenia ciała

2 2

Mm

d

r

B B B AB A B A A A

r

Mm

W

F

r

G

r GMm

G

r

















r

_r

o

Praca odkształcenia ciała

2 2 d d d B B x x B B A x x W 



Fr o rr 



kx x k x x k 



  k

(28)

WYKŁAD 3 DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 2 2 2 2 B A AB mv mv W   r r AB A B Mm Mm W G G r r   A B AB

mgr

W





A B AB

E

W





Energia (mechaniczna) jest funkcją stanu, której zmiana jest równa pracy sił działających na ciało.

(29)

Zasada zachowania energii

Energia mechaniczna cząsteczki jest stała dopóty, dopóki nie pojawi się siła zewnętrzna (spoza układu) lub siła wewnętrzna niezachowawcza, która na nią oddziałuje. W przypadku sił niezachowawczych zmiana energii mechanicznej jest równa pracy wykonanej przez te siły.

(30)

A B

AB

E

W





Jeśli praca wykonana przez siły wewnętrzne układu (np. siłę grawitacji, sprężystości itp.) nie zmienia całkowitej energii mechanicznej układu (spełniona jest zasada zachowania energii), to takie siły nazywamy zachowawczymi. Praca sił zachowawczych nie zależy od toru.

BA

AB

W





Z powyższego wzoru wynika, że praca sił zachowawczych na torze zamkniętym jest równa zero.

(31)

Siły zachowawcze należą do klasy sił mających POTENCJAŁ, czyli sił potencjalnych.

( ) ( ) d B P P AB A E A  E B W 



Fr o rr ( ) ( ) d B P P A E B  E A 



Fr o rr

Jeśli dla E(A)=0 (punkt A jest punktem odniesienia) to

( )

d

B P

A

(32)

grad

_P

F

r

 

E

,

P P P

E

F

x

y

z







 

_







r

W układzie kartezjańskim: 2

Mm r

F G

r



r

2

M r

E G

r r



r

Mm

G

E

_P





r

M

G

V





(33)

Sprężyste zderzenia centralne cząstek poruszających się w układzie laboratoryjnym

.

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2

2 m v

_

m v

_

m u

_

m u

Zasadę zachowania energii można zapisać następująco:

Zasada zachowania pędu ma postać

1 1 2 2 1 1 2 2

(34)

Podzielmy równania stronami











 





 



2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

m v

u

m u

v

m v

u

v

u

m u

v

u

v































2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

m v

u

m u

v

m v

u

m u

v



_

_

_





















1 1 1 2 2 2

m v



u



m u



v



 





 











1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

m v

u

v

u

m u

v

u

v

m v

u

m u

v























(35)

Rozwiązując równania względem u

₁

i u

₂

łatwo otrzymamy









1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2

2 ,

2 .

v m

m

m v

u

m

v

m

m v

u

m

















Rozpatrzmy przypadek gdy kulki mają równe masy tj m

₁

=m

₂

=m









1 2 1

2 ,

2 v m

m

mv

u

m

v

m

mv













1 2 2 1

u

v

u

v



(36)

Niesprężyste zderzenia centralne cząstek poruszających się w układzie laboratoryjnym

.

Zasadę zachowania energii nie stosuje się w tym przypadku

Zasada zachowania pędu ma postać





1 1 2 2 1 2

m v



m v



m



m

u

1 1 2 2

m v

u



