Matematyka wybrane zagadnienia: ćwiczenia 4

1

Matematyka – wybrane zagadnienia: ćwiczenia 4 Informacje dot. kolokwium w dniu 6 czerwca 2020.

Kolokwium odbędzie się w sposób zdalny (analogicznie jak dotychczasowe zajęcia). Zostaniecie państwo podzieleni na dwie grupy.

GRUPA 1: od: 13:15 do 14:00 NAZWISKA od A do M oraz

GRUPA 2: Od: 14:10 do 14:55 NAZWISKA od N do Z

Aby podejść do kolokwium należy:

- zapewnić sobie dostęp do komputera z kamerą oraz mikrofonem - mieć przy sobie legitymację studencką

- zapewnić sobie dostęp do aparatu fotograficznego lub telefonu z aparatem lub skanera

- mieć kartkę papieru i długopis

Kolokwium będzie przebiegać następująco: otrzymacie Państwo zadania do rozwiązania, czas na rozwiązanie będzie ograniczony, do ustalonej godziny wszyscy będą musieli przesłać ze swojej skrzynki studenckiej rozwiązania zadań (na adres: marcin.chwala@pwr.edu.pl). Osoby, od których wiadomość dotrze choćby minutę po wyznaczonym terminie, będą dopytywane indywidualnie w wyznaczonym terminie (zgodnie z poniższą uwagą)

UWAGA: Jeśli ktoś nie ma możliwości zorganizowania którejkolwiek z powyższych pozycji proszę poinformować mnie na min. 2 dni przed kolokwium – ustalimy termin odpowiedzi ustnej. Podobnie jeżeli w dniu kolokwium powstaną jakieś trudności techniczne uniemożliwiające udział w kolokwium, wtedy także zaliczenie będzie się odbywało w sposób

indywidualny.

2

Zad. 5/L5.

Niech 𝑋 będzie rzeczywistą przestrzenią unitarną. Udowodnić następujące własności iloczynu skalarnego:

e)

‖𝑥‖ = √(𝑥, 𝑥) Czy powyższe spełnia aksjomaty normy?

⋁‖𝒙‖ = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝟎

𝒙∈𝑿

⋁‖𝜶𝒙‖ =

𝜶∈𝑿

|𝜶| ∙ ‖𝒙‖

⋁ ‖𝒙 + 𝒚‖ ≤

𝒙,𝒚∈𝑿

‖𝒙‖ + ‖𝒚‖

Ad. 1.

𝒙 = 𝟎 ⟹ √(0,0) = 0

‖𝒙‖ = 𝟎 ⟹ √(𝑥, 𝑥) = 0 ⟹ 𝒙 = 𝟎 Ad. 2.

‖𝜶𝒙‖ = √(𝜶𝒙, 𝜶𝒙) = √𝜶²(𝑥, 𝑥) = |𝜶|√(𝑥, 𝑥) = |𝜶| ∙ ‖𝒙‖

Ad. 3.

‖𝑥 + 𝑦‖ = √(𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) = √(𝑥, 𝑥) + 2(𝑥, 𝑦) + (𝑦, 𝑦)

‖𝑥 + 𝑦‖² = (𝑥, 𝑥) + 2(𝑥, 𝑦) + (𝑦, 𝑦) ≤ (𝑥, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) + 2√(𝑥, 𝑥)√(𝑦, 𝑦) Znak nierówności wprowadziliśmy poprzez skorzystanie z własności d)

udowodnionej na wykładzie. Otrzymany rezultat możemy zapisać w kwadracie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

3

(𝑥, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) + 2√(𝑥, 𝑥)√(𝑦, 𝑦) = (√(𝑥, 𝑥) + √(𝑦, 𝑦))² Zatem:

‖𝑥 + 𝑦‖² ≤ (√(𝑥, 𝑥) + √(𝑦, 𝑦))² ⟺

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ √(𝑥, 𝑥) + √(𝑦, 𝑦)

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖

Co należało udowodnić.

Zad. 7 Lista 5.

Niech 𝑤₁, 𝑤₂ ∈ 𝐶¹[−2,3] (przestrzeń funkcji mających ciągłą pochodną), gdzie 𝑤₁(𝑥) = 3𝑥²− 4𝑥 + 4

𝑤₂(𝑥) = 2𝑥²− 2𝑥 + 7

Obliczyć odległość między funkcjami 𝑤₁, 𝑤₂ stosując do wyznaczenia tej odległości metrykę generowaną przez następującą normę:

a) ‖𝑤‖ = |𝑤(0)| + max_{−2≤𝑥≤3}|𝑤′(𝑥)|

Korzystamy z własności generowania metryki przez normę:

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = |𝑤₁(0) − 𝑤₂(0)| + max

−2≤𝑥≤3|(𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥))′|

W tym momencie pozostaje nam tylko obliczyć otrzymaną wartość.

𝑤₁(0) = 3 ∙ 0²− 4 ∙ 0 + 4 = 4 𝑤₂(0) = 2 ∙ 0²− 2 ∙ 0 + 7 = 7

𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥) = 3𝑥²− 4𝑥 + 4 − (2𝑥² − 2𝑥 + 7) = 𝑥²− 2𝑥 − 3 (𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥))^′ = (𝑥²− 2𝑥 − 3)^′ = 2𝑥 − 2

4

Zatem powyższe równanie możemy zapisać następująco:

‖𝑤₁ − 𝑤₂‖ = |4 − 7| + max

−2≤𝑥≤3|2𝑥 − 2|

Ile wynosi odległość pomiędzy wskazanymi funkcjami?

5

6

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = |4 − 7| + 6 = 9

Odległość między wskazanymi funkcjami w zadanej metryce wynosi 9.

b) ‖𝑤‖ = ∫ |𝑤(𝑥)|𝑑𝑥₋₂³

Korzystamy z własności generowania metryki przez normę:

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = ∫|𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥)|𝑑𝑥

3

−2

𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥) = 𝑥²− 2𝑥 − 3

‖𝑤₁ − 𝑤₂‖ = ∫|𝑥²− 2𝑥 − 3|𝑑𝑥

3

−2

Jak obliczyć powyższą całkę?

7

Musimy uważać na wartość bezwzględną!

∫|𝑥² − 2𝑥 − 3|𝑑𝑥

3

−2

= ∫ 𝑥² − 2𝑥 − 3

−1

−2

𝑑𝑥 − ∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

3

−1

𝑑𝑥

Równorzędnie powyższą całkę możemy zapisać następująco:

| ∫ 𝑥² − 2𝑥 − 3

−1

−2

𝑑𝑥| + | ∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

3

−1

𝑑𝑥|

Pozostaje nam obliczenie wskazanych całek oznaczonych:

∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

−1

−2

𝑑𝑥 = 𝑥³

3 − 𝑥²− 3𝑥|

−2

−1

=−1

3 − 1 + 3 − (−8

3 − 4 + 6) = 21 3

8

∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

3

−1

𝑑𝑥 = 𝑥³

3 − 𝑥²− 3𝑥|

−1 3

= 27

3 − 9 − 9 − (−1

3 − 1 + 3)

= −102 3

Ostatecznie:

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = |21

3| + |−102

3| = 13

Zatem odległość pomiędzy wskazanymi funkcjami w zadanej normą metryce wynosi 13.

Zagadnienia na kolokwium:

1) Rozwiązywanie prostych zagadnień brzegowych (jak w Zadaniu 2/L1).

2) Sprowadzenie równań różniczkowych cząstkowych II rzędu do postaci kanonicznej i rozwiązywanie zagadnień brzegowych.

3) Wyznaczanie obszarów w których dane równanie jest typu parabolicznego, hiperbolicznego lub eliptycznego.

4) Przestrzenie metryczne (definicja metryki, wykazanie, że funkcja jest metryką).

5) Rysowanie kul w zadanych metrykach.

6) Obliczanie odległości pomiędzy funkcjami w zadanej metryce.