Zadania przygotowuj¸ace do kolokwium

Zadania przygotowuj¸ace do kolokwium

(budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 2020)

[13.III] (1) Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia.

Oblicz A · A^T + A^T · A.

(2) Podaj przykład dowolnej macierzy A o dwóch wierszach i trzech kolumnach.

Oblicz A · A^T oraz A^T · A.

(3) Oblicz

"

1 3 2 5

#

·

"

2 1 3 0

#

. (4) Oblicz

"

2 1 3 0

#

·

"

1 3 2 5

#

.

(5) Oblicz

"

1 3 5 2 4 6

#

·







2 1 2





.

(6) Oblicz A · A^T, gdy A =^h 1 2 3 4 ⁱ.

(7) Oblicz B · B^T oraz B^T · B, gdy B =^h 2 3 ⁱ.

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego.

(9) Rozwi¸aż podany układ równań stosuj¸ac wzory Cramera:







x + 2y + z = 1 2x + y + z = 1 x + y + 2z = 1

.

(10) Rozwi¸aż układ równań











2x + y + 2z + t = 0 x + 2y + z + 2t = 0 3x − 2y + z − 2t = 0

−x + 2y + z + t = 1

stosuj¸ac wzory Cramera.

Prawdopodobne odpowiedzi:

(3):

"

11 1 19 2

#

(4):

"

4 11 3 9

#

(5):

"

15 20

#

(6): A · A^T =^h 30 ⁱ (7): B · B^T =^h 13 ⁱ, B^T · B =

"

4 6 6 9

#

(9): x = y = z = ¹₄ (10): x = 0, y = 1, z = 0, t = −1

[27.III] [1] Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6).

[2] Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach (3, 2, 4), (5, 2, 5), (4, 3, 6), (4, 4, 4) oraz oblicz długość wysokości tego czworościanu opuszczonej z do- wolnego wierzchołka (tego czworościanu).

[3] Czy prosta ^x₁ = ^y₂ = ^z+2₁ i płaszczyzna x + 2y − 5z + 9 = 0 s¸a równoległe?

[4] Czy prosta ^x₁ = ^y₂ = ^z+2₁ i płaszczyzna 2x+4y +2z +1 = 0 s¸a prostopadłe?

[5] Znajdź punkty przecięcia prostej ^x−1₋₁ = ^y−1₋₁ = ^z₂ z elipsoidą ^x₂²+^y₂²+^z₄² = 1.

[6] Znajdź punkty przecięcia prostej ^x−2₋₄ = ^y−1₂ = ^z₂ z hiperboloidą

x²

8 + ^y₂² − ^z₁² = 1.

[7] Znajdź rzut punktu (4, 1, −3) na płaszczyznę x − y + 2z − 3 = 0.

[8] Dla jakiego m płaszczyzny 2x−my+z+2019 = 0 oraz x+y−mz−2019 = 0 są prostopadłe?

[9] Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (1, 2, 3) i prosto- padłej do prostej ^x−2₂ = ^y−1₁ = ^z+6₋₁

[10] Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (0, −2, 1) i rów- noległej do prostej ^x−2₂ = ^y−1₁ = ^z+6₋₁ .

Prawdopodobne odpowiedzi:

[1]: ¹₂√

14 [2]: v = ⁷₆, wysokość z (4, 4, 4) to h = ¹₂√

14 [3]: tak

[4]: tak [5]: (1, 1, 0), (0, 0, 2) [6]: prosta leży na hiperboloidzie (zawiera się) [7]: (5, 0, −1) [8]: m = 1 [9]: 2x + y − z − 1 = 0 [10]: x + 2y + 4z = 0 [17.IV] 1. Naszkicuj dziedzinę funkcji f (x, y) = √⁴

9 − x²− y²+ ln(x²+ y²− 1) −√ xy.

2. Naszkicuj dziedzinę funkcji f (x, y) = arc sin(¹₃x) + arc sin^1₂y^− _y−x¹ . 3. Naszkicuj dziedzinę funkcji f (x, y) = arc sin(x²+ y²) +√

y²− x.

4. Naszkicuj dziedzinę funkcji f (x, y) = arc sin(¹₄x²+ ¹₉y²) + _xy¹ . 5. Naszkicuj dziedzinę funkcji f (x, y) =√

1 − xy +√

y + x −_x−y¹ . 6. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji

f (x, y) = x²y³+ x.

7. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f (x, y) = sin(x²y³+ x).

8. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f (x, y) = y sin(x²y³e^2x).

9. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f (x, y, z, t) = ^x2y+z_y3+t^{3+sin z4} .

10. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f (x, y, z, t, u, v) = 3xz + arctg(y³+ tu²) + _ev^uv+1+cos v².

Prawdopodobne odpowiedzi:

6: f_x⁰ = 2xy³+ 1, f_y⁰ = 3x²y²

7: f_x⁰ = cos(x²y³+ x) · (2xy³+ 1), f_y⁰ = cos(x²y³+ x) · 3x²y² 8: f_x⁰ = y cos(x²y³e^2x) · (2xy³e^2x+ 2x²y³e^2x),

f_y⁰ = sin(x²y³e^2x) + y cos(x²y³e^2x) · 3y²x²e^2x

9: f_x⁰ = _y^2xy3+t⁴, f_y⁰ = ^{x2(y3+t4)−(x}_(y3²+t^y+z4)^{23+sin z)·3y2}, f_z⁰ = ^3z_y²3^{+cos z}+t⁴ , f_t⁰ = ^−(x2y+z_(y3³+t^{+sin z)·4t4})^{2 3}

10: f_x⁰ = 3z, f_y⁰ = _1+(y3¹+tu²)² · 3y², f_z⁰ = 3x

f_t⁰ = _1+(y3¹+tu²)² · u², f_u⁰ = _1+(y3¹+tu²)² · 2tu +_ev+cos v^{v 2}

f_v⁰ = ^{u(ev+cos v2}_(e^)−(uv+1)(ev+cos v²)^{2v−2v sin v2)}

[24.IV] (i) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x¹⁰+ 10x + y⁸− 8y + 1.

(ii) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y⁷+ 7xy + x⁷. (iii) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y⁷− 7xy + x⁷.

(iv) Znajdź wartość najwi¸ekszą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x²−y² w zbiorze D : x²+ y² ¬ 100, y ­ 8.

(v) Znajdź wartość najwi¸ekszą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 3x − y³ w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2).

(vi) Znajdź wartość najwi¸ekszą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x² − y² w prostokącie o wierzchołkach (−1, −1), (−1, 2), (1, −1), (1, 2).

(vii) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x − y przy warunku x²+ y² = 8 dla x ­ 0.

(viii) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 2x + 3y przy warunku x²+ y² = 13.

(ix) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = 4x + y przy warunku 4x²+ y² = 5.

(x) Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (x, y) = x + y przy warunku x⁴+ y⁴ = 2.

Prawdopodobne odpowiedzi:

(i): minimum w punkcie (−1, 1)

(ii): maksimum w punkcie (−1, −1); w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum (iii): minimum w (1, 1); w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum

(iv): wartością największą funkcji jest −28, a najmniejszą −100 (v): wartością największą funkcji jest 6, a najmniejszą −2 (vi): wartością największą funkcji jest 1, a najmniejszą −4 (vii): wartością największą jest 4, a najmniejszą −2√

2 (viii): wartością największą jest 13, a najmniejszą −13 (ix): wartością największą jest 5, a najmniejszą −5 (x): wartością największą jest 2, a najmniejszą −2

[8.V] Oblicz:

[α] ^RR_D2ydxdy, gdzie D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1);

[β] ^RR_Dxdxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y = 1 − x², y = 0;

[γ] ^RR_Dx²dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y = 1 − x², y = 0;

[δ] ^RR_Dxdxdy, gdzie D to trapez o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 2);

[] ^RR_Dydxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi y =√

−x, y = −x;

[ζ] ^RR_D(x²+ y²)dxdy, gdzie D to koło x²+ y² ¬ 1;

[η] ^RR_D(x²+ y²)⁻¹dxdy, gdzie D : 1 ¬ x²+ y² ¬ 4, y ­ 0;

[ϑ] ^RR_D(x²+ y²)⁻¹dxdy, gdzie D : 1 ¬ x²+ y² ¬ 4, x ¬ 0;

[ι] ^RR_Dxdxdy, gdzie D : x²+ y² ¬ 4;

[κ] ^RR_D√

x²+ y²dxdy, gdzie D : x²+ y² ¬ 9, y − x ­ 0, y + x ­ 0.

Prawdopodobne odpowiedzi:

[α]: 1/3, [β]: 0, [γ]: 4/15, [δ]: 5/6, []: 1/12, [ζ]: π/2, [η]: π, [ϑ]: π, [ι]: 0, [κ]: 9π/2.

[22.V] [i] Oblicz ^RRR_B7xz⁶dxdydz, gdzie B to pięciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (2, 0, 0), (2, 2, 0), (0, 0, 1), (2, 0, 1), (2, 2, 1).

[ii] Oblicz ^RRR_Bxdxdydz, gdzie B to sześciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 1, 2).

[iii] Oblicz ^RRR_B2zdxdydz, gdzie B to pięciościan o wierzchołkach (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

[iv] Oblicz ^RRR_B7(x²+ y²+ z²)²dxdydz, gdzie B : x² + y²+ z² ¬ 1, z ­ 0, x ¬ 0, y ­ 0.

[v] Oblicz ^RRR_B(x²+ y²+ z²)⁻¹dxdydz, gdzie B : 1 ¬ x²+ y²+ z² ¬ 4.

[vi] Rozwiąż równanie (1 + e^x)e^−x· y⁰ = 1 + y². [vii] Rozwiąż równanie (1 + e^2x)e^−x· y⁰ = 1 + y². [viii] Rozwiąż równanie (sin y + cos y)e^x· y⁰ = 1.

[ix] Rozwiąż równanie _ex+x^y20+x³ = _1+y¹ 2 z warunkiem początkowym y(0) = 0.

[x] Rozwiąż równanie y⁰ = (2+sin x)·y² z warunkiem początkowym y(0) = −1.

Prawdopodobne odpowiedzi:

[i]: ⁸₃, [ii]: ⁵₆, [iii]: ¹₃, [iv]: ^π₂, [v]: 4π,

[vi]: arctgy = ln(1 + e^x) + C, [vii]: arctgy = arctge^x+ C,

[viii]: − cos y + sin y = −e^−x+ C, [ix]: y + ¹₃y³ = e^x+ ¹₃x³+¹₄x⁴ − 1, [x]: y = _{2x−cos x+2}⁻¹ .

[19.VI] (1) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁰ = ^y_x + 2^q_x^y z warunkiem początkowym y(1) = 4.

(1b) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁰ = ⁽

y x)³ (^y_x)²+1.

(1c) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁰ = (y + 3x + 4)² − 2.

(2) Rozwi¸aż równanie różniczkowe liniowe: y⁰+ 2xy = (x + 1)e^−x2. (3) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁽⁵⁾+ 6y⁽⁴⁾+ 10y⁰⁰⁰ = 0.

(4) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁽⁴⁾+ y⁰⁰= 0 . (4b) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁽⁴⁾− 3y⁰⁰− 4y = 0 .

(4c) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁰⁰⁰+ 3y⁰⁰+ 3y⁰+ y = 0 . (4d) Rozwi¸aż równanie różniczkowe: y⁰⁰+ 8y⁰+ 25y = 0 .

(5) Zbadaj zbieżność szeregu: ^P∞_n=1²ⁿ⁺¹_n! . (5b) Zbadaj zbieżność szeregu: ^P∞_n=1⁹_nⁿ9.

(5c) Zbadaj zbieżność szeregu: ^P∞_n=1⁽ⁿ⁺³⁾_n2nⁿ. (5d) Zbadaj zbieżność szeregu: ^P∞_n=1^(n+1)!_(n!)2 .

(6) Zbadaj zbieżność szeregu: ^P∞_n=1^n_πn²⁺ⁿ⁺²2−1

n

.

(7) Stosując kryterium Leibniza badaj zbieżność szeregu: ^P∞_n=1 ⁽⁻¹⁾_{n ln n}ⁿ⁺¹. (8) Stosując kryterium całkowe zbadaj zbieżność szeregu: ^P∞_{n=1n ln n}¹ . (9) Rozwiń w szereg pot¸egowy (do wyrazu z x⁸) funkcję: f (x) = 1 − cos x.

(9b) Rozwiń w szereg pot¸egowy (do wyrazu z x⁵) funkcję: f (x) = e^−x. (9c) Rozwiń w szereg pot¸egowy (do wyrazu z x⁵) funkcję: f (x) = ln(1 − x).

(10) Rozwiń w szereg pot¸egowy funkcję: f (x) = e^3x.

Prawdopodobne odpowiedzi:

(1): y = x(ln |x| + 2)², (1b): ¹₂ · (^y_x)² + ln |^y_x| = − ln |x| + C oraz y = 0, (1c): arctg(y + 3x + 4) = x + C, (2): y = e^−x2(¹₂x²+ x + C),

(3): y = C₁+ C₂x + C₃x³+ C₄e^−3xcos 2x + C₅e^−3xsin 2x, (4): y = C₁+ C₂x + C₃cos x + C₄sin x,

(4b): y = C₁e^2x+ C₂e^−2x+ C₃cos x + C₄sin x, (4c): y = C₁e^−x+ C₂xe^−x+ C₃x²e^−x,

(4d): y = C1e^−4xcos 3x + C2e^−4xsin 3x,

(5): zbieżny, (5b): rozbieżny, (5c): zbieżny, (5d): zbieżny, (6): zbieżny, (7): zbieżny, (8): rozbieżny,

(9): f (x) = 1 − cos x = ^x_2!² − ^x_4!⁴ +^x_6!⁶ −^x_8!⁸ + . . ., (9b): f (x) = e^−x = 1 − _1!^x +^x_2!² − ^x_3!³ + ^x_4!⁴ − ^x_5!⁵ + . . ., (9c): f (x) = ln(1 − x) = −x −^x₂² −^x₃³ − ^x₄⁴ − ^x₅⁵ + . . ., (10): f (x) = e^3x = 1 +^3x_1! +³²_2!^x2 +³³_3!^x3 + . . . =^P∞_n=1³_n!ⁿxⁿ.