Elementy obwodów prądu stałego Na pocz

Elektrotechnika podstawowa ⁴¹

ROZDZIAŁ 3

E l e m e n t y o b w o d ó w p r ą d u s t a ł e g o

Na początku objaśniono konwencje strzałkowania prądu i napięcia w elementach obwodu oraz przypomniano prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych.

Podstawowymi elementami obwodów prądu stałego są idealne źródła napięciowe i prądowe oraz rezystory liniowe i rożnego rodzaju rezystory nieliniowe. Cechy elementów są wyrażane analitycz- nie – wzorami, albo graficznie – poprzez charakterystyki statyczne prądowo-napięciowe lub napię- ciowo-prądowe. Dla rezystorów nieliniowych definiuje się pojęcia rezystancji statycznej i dyna- micznej.

Gałęzie obwodu pełnią role generatorów („wydajników”) bądź odbiorników mocy elektrycznej, zależnie od zwrotów prądu i napięcia względem zacisków. Trzeba to mieć na uwadze przy sporzą- dzaniu bilansu mocy obwodu.

Istotnych informacji dostarcza analiza prostych układów, utworzonych z idealnych elementów, a mianowicie: rzeczywistego źródła napięciowego i rzeczywistego źródła prądowego (charakterysty- ki, sprawność, dopasowanie), źródeł powstałych z połączenia kilku źródeł (parametry źródeł zastęp- czych), linii zasilającej odbiornik (spadek napięcia, strata mocy), dzielnika napięcia i dzielnika prą- du (reguły podziału).

Możliwe są zamiany rzeczywistych źródeł – napięciowego na prądowe albo prądowego na napię- ciowe, przy czym jest to zabiegi czysto obliczeniowe, dotyczące równoważności wielkości zaci- skowych (napięć oraz prądów na zaciskach).

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 3 C pojemność elektryczna

e napięcie źródłowe E stałe napięcie źródłowe

G konduktancja (przewodność elektryczna) G_w konduktancja wewnętrzna źródła prądowego i prąd

i_gen prąd „generatorowy”

iodb prąd „odbiornikowy”

I prąd stały

I_gen stały prąd „generatorowy”

Iodb stały prąd „odbiornikowy”

Iz prąd zwarcia gałęzi aktywnej (źródła) I_źr prąd źródłowy

∆^I zmiana (przyrost) prądu l długość przewodu L indukcyjność p moc

pgen moc „generatorowa”

podb moc „odbiornikowa”

P stała moc

Pgen stała moc „generatorowa”

Podb stała moc „odbiornikowa”

∆^P strata mocy w źródle lub linii prądu stałego

∆^p% procentowa strata mocy w linii prądu stałego R rezystancja (opór elektryczny)

R_dyn rezystancja dynamiczna (różniczkowa) RL rezystancja linii

Rs rezystancja statyczna

R_w rezystancja wewnętrzna źródła napięciowego S pole przekroju przewodu linii

t czas u napięcie

ugen napięcie „generatorowe”

u_odb napięcie „odbiornikowe”

U napięcie stałe

U_gen stałe napięcie „generatorowe”

Uodb stałe napięcie „odbiornikowe”

U0 napięcie stanu jałowego

∆^U zmiana (przyrost) napięcia; spadek napięcia w linii prądu stałego

∆^u% procentowy spadek napięcia w linii prądu stałego x odległość (od początku linii)

γ przewodność właściwa (konduktywność) przewodu η ^sprawność

Literatura do rozdziału 3 [1], [2], [4], [6]

3. Elementy obwodów prądu stałego ⁴³

Obwód z połączonymi szeregowo:

źródłem napięciowym e(t) i elementami pasywnymi R, L, C Wykład V. ELEMENTY UKŁADÓW I OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

Podstawowe elementy funkcjonalne i schemat obwodu elektrycznego

Obwód elektryczny jest zbiorem elementów, połączonych ze sobą przewodami w taki sposób, że możliwy jest przepływ prądu elektrycznego. Obwody elektryczne można przedstawiać na dwa spo- soby – w tzw. ujęciach: zaciskowym i sieciowym.

Elementami obwodu w ujęciu zaciskowym są struktury o określonej liczbie zacisków: dwójniki, trójniki, czwórniki, wielobiegunniki, wielowrotniki. Właściwości elementów obwodu są opisywane przez zależności między ich wielkościami zaciskowymi, tj. prądami i napięciami wybranych par za- cisków. Struktury wewnętrzne elementów obwodu mają znaczenie drugorzędne, mówiąc poglądo- wo: stanowią „czarne skrzynki”.

Elementami obwodu w ujęciu sieciowym są struktury tworzone w określony sposób z elementów podstawowych, którymi są: idealne źródła napięciowe, idealne źródła prądowe, rezystancje, pojem- ności i indukcyjności. Źródła to główny czynnik motoryczny w obwodzie (wymuszający ruch ładun- ków elektrycznych). Rezystancje to elementy rozpraszające energię. Pojemności i indukcyjności to elementy magazynujące energię (w polu elektrycznym kondensatorów oraz w polu magnetycznym cewek indukcyjnych). Terminy: dwójniki i trójniki, występują również w ujęciu sieciowym jako na- zwy układów o 2 i 3 zaciskach. Wymienione elementy podstawowe to najprostsze dwójniki.

Równania wiążące napięcie i prąd elementów podstawowych: rezystancji R, pojemności C i induk- cyjności L (definicja indukcyjności będzie podana później), są następujące:

u_R =R⋅i_R

dt C du

i_C = ⋅ ^C

dt L di u_L = ⋅ ^L Stałe wartości parametrów R, C i L znamionują elementy liniowe. Obiekty zbudowane z elementów skupionych, liniowych i stacjonarnych tworzą klasę układów SLS, których badaniu poświęcona jest zasadnicza część teorii obwodów.

Odwzorowaniem struktury połączeń elementów występujących w obwodzie elektrycznym jest schemat elektryczny (rys. obok).

Elementy przedstawia się używając ustalonych normami sym- boli graficznych i literowych . Linie między elementami traktu- je się jako połączenia bezoporowe – o ile nie symbolizują umownie jakichś elementów, opisanych symbolami literowymi lub danymi liczbowymi (uproszczenie wyższego stopnia).

Elementy aktywne i pasywne. Strzałkowanie generatorowe i odbiornikowe

Elementy obwodu dzielą się na aktywne i pasywne. Ogólnie, przez aktywność bądź pasywność ele- mentu rozumie się jego zdolność bądź niezdolność do wydania energii elektrycznej większej od pobranej w przeszłości. Chodzi o bilans energii elementu względem reszty obwodu w długim prze- dziale czasu. Podział elementów obwodu elektrycznego na aktywne i pasywne nie przesądza więc o tym, czy – w pewnej chwili – dany element wydaje energię elektryczną do obwodu, czy też ją z nie- go pobiera. W określonej sytuacji, element aktywny może z obwodu energię pobierać, a element pasywny (nie każdy, co prawda, i tylko w ograniczonym czasie) może zwracać do obwodu energię wcześniej z niego pobraną. Elementy magazynujące nie mogą jednak dostarczyć do obwodu energii większej od tej, jaką wcześniej z niego przejęły, więc zalicza się je do elementów pasywnych.

Źródła wytwarzają energię elektryczną poprzez zamianę na nią różnego rodzaju nieelektrycznych nośników energii ewentualnie energii elektrycznej o innych parametrach. Źródła czerpią energię z otoczenia i oddają do obwodu, ale w określonych konfiguracjach mogą też energię z obwodu elek- trycznego pobierać a oddawać do otoczenia (procesy przemian energii przebiegają wtedy w prze-

R L C e(t) iC C

uC

iL L uL iR R

uR

ciwnym kierunku, ale nie muszą być zwierciadlanym odbiciem cyklu wytwarzania energii elek- trycznej). Jeśli ta „odwrotna” sytuacja jest normalnym stanem pracy elementu aktywnego, to wtedy nazywa się go odbiornikiem aktywnym.

Przejmowanie energii ruchu ładunków zachodzi w rezystancjach, gdzie jest ona w całości rozpra- szana po zamianie na ciepło (wyłączając z rozważań procesy elektrochemiczne, w których zasadni- cza część pobranej energii powiększa energię chemiczną elementu), oraz w pojemnościach, gdzie pobrana energia gromadzi się w polu elektrycznym, i w indukcyjnościach, gdzie gromadzi się w polu magnetycznym. Energia zmagazynowana w pojemności lub indukcyjności uczestniczy czynnie w dalszych przemianach, stosownie do zmian zachodzących w obwodzie.

Rola generatora („wydajnika”) bądź odbiornika mo- cy elektrycznej, przypisana elementowi lub układo- wi, znajduje wyraz w odpowiednim strzałkowaniu prądu i napięcia na zaciskach. Jeśli poprzez zaciski moc jest wydawana do obwodu, to stosuje się strzał- kowanie generatorowe (rys. a), jeśli natomiast moc jest poprzez zaciski pobierana, to stosuje się strzał- kowanie odbiornikowe (rys. b).

Formalnie, każdy element obwodu może być odbiornikiem lub generatorem energii (mocy) elek- trycznej. Zależy to jedynie od konwencji strzałkowania prądu i napięcia: generatorowego – o zgod- nych zwrotach tych wielkości, albo odbiornikowego – o zwrotach przeciwnych. Jeśli zastosowane strzałkowanie nie odpowiada rzeczywistej sytuacji, to iloczyn wielkości zaciskowych ma ujemną wartość, a więc moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna.

Elementy struktury obwodów elektrycznych. Prawa Kirchhoffa

Strukturę geometryczną obwodów elektrycznych opisuje się (w ujęciu sieciowym) za pomocą takich terminów, jak: gałąź, węzeł, rodzaj połączenia, oczko. Ponieważ są to pojęcia znane z fizyki, wy- starczy krótkie przypomnienie.

Gałąź jest elementem dwukońcówkowym (dwuzaciskowym). W „środku” jej może się znajdować dowolna liczba różnych elementów podstawowych. Gałąź jest dwójnikiem. Najprostszymi gałęziami są rezystancje, pojemności i indukcyjności oraz idealne źródło napięciowe. Idealne źródło prądowe nie tworzy samo gałęzi (bo przy prądzie źródłowym równym zero stanowi przerwę w obwodzie).

Węzeł jest elektrycznym połączeniem końcówek więcej niż dwóch gałęzi. Prądy tych gałęzi spełniają I (prądowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna prądów zbiegających się w dowol- nym węźle obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:

0

1

∑

=

= n

k

ik , (3.1) gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a od- pływające ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n).

Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysun- ku, wyraża się następująco: i₁−i₂ +i₃−i₄+i₅ =0 .

Szeregowe połączenie gałęzi cechuje się tym, że w każdej z gałęzi płynie ten sam prąd, a napięcia występujące na poszczególnych gałęziach dodają się.

Równoległe połączenie gałęzi cechuje się tym, że każda z gałęzi jest pod tym samym napięciem, a prądy płynące w poszczególnych gałęziach dodają się.

Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych określa się jako mieszane połączenia gałęzi.

Oczko jest utworzoną przez gałęzie, zamkniętą drogą dla prądu, przy czym usunięcie którejkolwiek z gałęzi powoduje przerwanie tej drogi. Napięcia występujące na elementach gałęzi tworzących

a) b) Generator

mocy

pgen

igen

ugen

Odbiornik mocy

podb

iodb

uodb

i₅ i1

i2

i3

i₄

3. Elementy obwodów prądu stałego ⁴⁵

oczko spełniają II (napięciowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna napięć źró- dłowych i odbiornikowych w dowolnym oczku obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem dla wartości chwilowych:

0

1 1

= +

∑

∑

= = n

k k n

k

k u

e , (3.2) gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo, a elementów pasywnych – odbiornikowo (względem założonych zwrotów prądów); sumowanie napięć jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.

napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone prze- ciwnie do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”;

indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k – nr gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).

Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawio- nym obok na rysunku, wyraża się następująco:

−e₂ +e₄ +u₁+u₂ +u₃ −u₄−u₅ =0 . Obwód elektryczny musi zawierać co najmniej jedno oczko. Obwód zawierający jedno oczko na- zywa się obwodem nierozgałęzionym, a zawierający więcej niż jedno oczko – obwodem rozgałęzio- nym lub siecią elektryczną.

Bilans mocy obwodu elektrycznego (zasada Tellegena)

Ze spełnienia w obwodzie obu praw Kirchhoffa wynika zasada Tellegena. Mówi ona, że moce od- dawane i moce pobierane przez wszystkie elementy obwodu muszą się bilansować. Można to wyra- zić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:

∑

∑

=

=

⋅

=

⋅ ⁿ

k

odb k odb k gen

k n

k

gen

k i u i

u

1

. . .

1

. , (3.3a) gdzie elementy, stosownie do ich charakteru, strzałkuje się generatorowo bądź odbiornikowo, a wielkości ich dotyczące umieszcza, odpowiednio, po lewej lub prawej stronie równania (konwencja mieszana); indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... , n).

Dla ujednolicenia procedury sporządzania bilansu mocy przyjmuje się często tę samą konwencję strzałkowania prądu i napięcia każdego elementu, co powoduje, że moce elementów o różnym cha- rakterze mają różne znaki, ale bilans mocy wyraża się prościej. Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa), to bilans mocy zapisuje się następująco:

0

1

.

. ⋅ =

∑

= n

k

odb k odb

k i

u . (3.3b) Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako aktywne (konwencja generatorowa), to bilans mocy przyjmuje postać:

. 0

1

. ⋅ =

∑

= kgen

n

k

gen

k i

u . (3.3c) Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.

Pojęcie obwodu prądu stałego

Obwód elektryczny, w którym wartości prądu wszystkich elementów i wartości napięcia na wszyst- kich elementach są niezmienne w czasie, a przy tym nie są wszystkie równe zeru, nazywa się obwo- dem prądu stałego. Jest to ścisła definicja tego pojęcia i w tym rozumieniu będzie ono tu używane.

i1

u1

e2

R1

u2

u3

u4

u5

e4

i2

i3

i4

i5

R2

R3

R4

L2

L3

L5

C3

C5

Warto zaznaczyć, że nieformalnie używa się pojęcia obwodu prądu stałego także w szerszym zna- czeniu, obejmującym dodatkowo, oprócz stanów ustalonych, stany przejściowe układów zawierają- cych pojemności i indukcyjności, przy wymuszeniach stałoprądowych. Określenie „stan przejścio- wy obwodu prądu stałego” zawiera jednak sprzeczność terminologiczną, ponieważ obwód prądu stałego znajduje się zawsze w stanie ustalonym (poprawnie sformułowanym określeniem jest w tym wypadku „stan przejściowy obwodu ze źródłami stałoprądowymi”).

Prądy i napięcia elementów obwodu prądu stałego są zatem stałe, tj. niezmienne w czasie, co zazna- cza się pisząc symbole wielkimi literami: U, I. Wszystkie elementy obwodu prądu stałego znajdują się w stanie stacjonarnym.

Pojemności i indukcyjności, odwzorowujące określone właściwości struktury przestrzennej badane- go obiektu, nie mają wpływu na stan pracy obwodu prądu stałego. Energia zakumulowana w ele- mentach układu jest wynikiem procesów przejściowych, poprzedzających osiągnięcie stanu ustalo- nego – przedmiotu aktualnych rozważań.

W stanie ustalonym nie płyną prądy ładowania pojem- ności (rys. a) i nie występują napięcia na indukcyjno- ściach (rys. b). Nie ma więc potrzeby umieszczania tych elementów na schematach obwodów prądu stałego (po- jemność stanowi tu przerwę, a indukcyjność – zwarcie końców). Jedynymi elementami pasywnymi, występują- cymi na schematach tych obwodów, są rezystancje.

Podstawowe elementy gałęzi obwodów prądu stałego

Omawiane obwody prądu stałego będą się składać z gałęzi, zbudowanych z rezystancji (konduktan- cji) oraz idealnych źródeł prądu stałego – napięciowych (o stałej wartości napięcia) i prądowych (o stałej wartości prądu). Znane będą przy tym relacje, jakie zachodzą między wartościami napięcia U i prądu I tych elementów.

Zależność U od I nazywa się charakterystyką statyczną prądowo-napięciową U(I) elementu, a za- leżność I od U – jego charakterystyką statyczną napięciowo-prądową I(U). Przydomek „statyczna”

oznacza, że chodzi o wielkości stałe w czasie. Analogiczne zależności dla wielkości zmiennych w czasie (u, i – pisane małymi literami): u(i) lub i(u), dotyczące tych samych obiektów fizycznych, mogą się znacznie różnić od charakterystyk statycznych.

Obok przedstawiono symbole oraz cha- rakterystyki statyczne prądowo-napię- ciowe idealnych źródeł: napięciowego (rys. a) i prądowego (rys. b), oraz rezy- storów: liniowego (rys. c) i nieliniowego (rys. d). Napięcie i prąd są tu strzałko- wane w normalny sposób: przy źródłach – zgodnie (generatorowo), przy rezysto- rach – przeciwnie (odbiornikowo). Źró- dła: napięciowe przy I < 0 i prądowe przy U < 0, stają się odbiornikami ak- tywnymi.

Charakterystyka U(I) rezystora liniowego jest funkcją liniową U =R⋅I , gdzie R – rezystancja.

Pokazana wyżej charakterystyka rezystora nie- liniowego (jednoznaczna niesymetryczna) jest funkcją nieliniową. Charakterystyki elemen- tów nieliniowych nie zawsze są funkcjami (przykładowe wykresy – na rysunku obok).

iC = 0 C

≡

(rozwarcie) L

uL = 0

≡

(zwarcie)

a)

b)

E U

I

I U E

0

I

Iźr U

U I Iźr

0 a) b)

c) d)

R U

I

I U

0

U I

I U

0

I U

0 I

U

0

I U

0

3. Elementy obwodów prądu stałego ⁴⁷

Rezystancja statyczna i dynamiczna. Obwód nieliniowy prądu stałego

Poszczególnym punktom (I, U) nieliniowych, nie zawierających pętli histerezy, charakterystyk statycznych rezystorów (rys.

obok) można przyporządkować wartości rezystancji statycznej Rs i rezystancji dynamicznej (różniczkowej) Rdyn :

I

R_s =U ,

dI

R_dyn = dU . (3.4a, b) W przypadku rezystorów liniowych – rezystancja statyczna i re- zystancja dynamiczna, określone jw., znaczą to samo i mają tę samą wartość R (rezystancji) w każdym punkcie charakterystyki.

Rezystancja statyczna rezystorów (fizycznych, rzeczywistych) ma wartości dodatnie, natomiast re- zystancja dynamiczna może przyjmować również wartości ujemne. Mówi się w związku z tym o dodatnim – dla Rdyn > 0, i ujemnym – dla Rdyn < 0, nachyleniu charakterystyki w określonych prze- działach wartości prądu i napięcia.

Dla ustalonych (quasi-ustalonych) zmian napięcia ∆^{U i prądu} ∆^I, zachodzących w otoczeniu ustalonych wartości U_o i I_o (rys.

obok) i mieszczących się w zakresie ujemnego nachylenia cha- rakterystyki U (I), można podać przybliżoną zależność liniową

I R

U ∆

∆ =− ⋅ , (3.5) gdzie R jest rezystancją ujemnego oporu elementu w ogra- niczonym zakresie zmian ∆^{U i} ∆^I.

Obwód prądu stałego zawierający przynajmniej jeden rezystor nieliniowy nazywa się obwodem nie- liniowym prądu stałego. Obwód prądu stałego nie zawierający rezystorów nieliniowych jest obwo- dem liniowym prądu stałego.

Zasadnicza część teorii obwodów elektrycznych dotyczy układów zbudowanych z elementów skupionych, liniowych i stacjonarnych. Jeżeli nie zaznacza się wyraźnie, że któryś z warunków SLS nie jest spełniony, oznacza to na ogół, że rozważany element lub układ jest klasy SLS. Przy prądzie stałym warunek stacjonarności (niezmienności parametrów) jest spełniony w sposób oczywisty.

Prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego

Podane wcześniej prawa dla wartości chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym obo- wiązują w obwodzie prądu stałego dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.

I (prądowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorem:

0

1

∑

=

= n

k

Ik , (3.6) gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a od- pływające ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n).

Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysun- ku, wyraża się następująco: I₁−I₂+I₃ −I₄ +I₅ =0 .

II (napięciowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorami:

0

1 1

= +

∑

∑

=

=

n

k k n

k

k U

E lub

∑ ∑

=

=

=

⋅ ⁿ

k k n

k

k

k I E

R

1 1

(3.7a, b) gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo, a na rezystorach – odbiornikowo (względem zwrotu prądów gałęzi); sumowanie napięć jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.:

I U

0

2 1

(Rs2) (Rs1)

(Rdyn1>0) (Rdyn2<0)

I U

0

∆^U

∆^I 0

U0

I0

I5

I₁ I₂

I3

I4

a) napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone prze- ciwnie do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”;

b) wyrażenia Rk Ik są pisane po przeciwnej niż Ek stronie równania ze znakiem „+”, gdy prądy w obie- ganych gałęziach są zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu, a ze znakiem „–”, gdy są zwrócone przeciw- nie; indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k – nr gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).

Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawio- nym obok na rysunku, wyraża się następująco:

−E₂+E₄ +U₁+U₂ +U₃ −U₄ −U₅ =0 lub

4 2 5 5 4 4 3 3 2 2 1

1 I R I R I R I R I E E

R ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ =− +

− .

Moce wydawane i pobierane przez gałęzie w obwodzie prądu stałego

Od konwencji strzałkowania prądu i napięcia elementów bądź gałęzi zależy tylko formalnie, czy są one odbiornikami, czy generatorami mocy elektrycznej. Jeśli przyjęte strzałkowanie nie odpowiada rzeczywistej sytuacji, to moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna, co wskazuje na przeciwny kierunek jej przepływu. Zostanie to pokazane na przykładzie gałęzi aktywnych dwuele- mentowych E, R oraz I_źr , G:

a’) zgodne zwroty E i I

) 2

( )

(E U I E R I I E I R I

I U

P_gen = _gen⋅ = − _R ⋅ = − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ; I E I R I E I R I E U I U

P_odb = _odb⋅ =( _R − )⋅ =( ⋅ − )⋅ = ⋅ ² − ⋅ – gałąź jest generatorem, gdy E−R⋅I >0 czyli I_z

R I < E = ,

a odbiornikiem, gdy R⋅I−E >0 czyli I_z R I > E = , gdzie Iz – prąd zwarcia gałęzi.

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A.

Prąd zwarcia gałęzi ma wartość Iz = E

/

R = 1,5 A ⇒ I > Iz ; gałąź jest odbiornikiem; Uodb = R I – E = 2 V, Podb = Uodb I = 4 W albo

4 12

2 − ⋅ =16− =

⋅

=R I E I

P_odb W.

a”) przeciwne zwroty E i I

0 )

( )

( + ⋅ = + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ² >

=

⋅

=U I E U I E R I I E I R I

P_{odb odb R} ;

0 )

( )

(− − ⋅ =− + ⋅ ⋅ =− ⋅ − ⋅ ² <

=

⋅

=U I E U I E R I I E I R I

P_{gen gen R}

– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie I nie jest możliwe spełnienie warunku E+R⋅I <0 czyli I_z

R

I < −E =− , gdzie I_z – prąd zwarcia gałęzi).

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A.

Gałąź jest odbiornikiem; Uodb = E + R I = 14 V, Podb = Uodb I = 28 W albo P_odb =E⋅I+R⋅I² =12+16=28W.

I1

U1

E2

R1

U2

U3

U4

U5

E4

I2

I3

I4

I5

R2

R3

R4

R5

I R E UR

Uodb

Ugen

Uodb

Ugen (-Iz)

I

(-I) E

0 I R E

UR Uodb

Ugen

Ugen

Uodb Iz

(-I) E I 0

3. Elementy obwodów prądu stałego ⁴⁹

b’) zgodne zwroty Iźr i U

) 2

( )

(I I U I G U U I G U

U I

U

P_gen = ⋅ _gen = ⋅ _źr − _G = ⋅ _źr − ⋅ = ⋅ _źr − ⋅ ;

źr źr

źr G odb

odb U I U I I U G U I G U U I

P = ⋅ = ⋅( − )= ⋅( ⋅ − )= ⋅ ² − ⋅ – gałąź jest generatorem, gdy I_źr −G⋅U >0 czyli U₀

G

U < I^źr = ,

a odbiornikiem, gdy G⋅U −I_źr >0 czyli U₀ G

U > I^źr = , gdzie U0 – napięcie stanu jałowego gałęzi.

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, I_źr = 3 A, U = 2 V.

Napięcie stanu jałowego gałęzi ma wartość U0 = Iźr

/

G = 3 V ⇒ U < U0 ; gałąź jest generatorem; Igen = Iźr – G U = 1 A,

Pgen = U I_gen = 2 W albo P_gen =U⋅I_źr −G⋅U² =6−4=2W.

b”) przeciwne zwroty Iźr i U

0 )

( )

( + = + = + ² >

=

=U I U I I U I GU U I GU

P_{odb odb źr G źr źr} ;

0 )

( )

(− − =− + =− − ² <

=

=U I U I I U I GU U I GU

P_{gen gen źr G źr źr}

– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie U nie jest możliwe spełnienie warunku I_źr +GU <0 czyli U₀

G

U < −I^źr =− , gdzie U0 – napięcie stanu jałowego gałęzi).

Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, I_źr = 3 A, U = 2 V.

Gałąź jest odbiornikiem; Iodb = Iźr + G U = 5 A, Podb = U Iodb = 10 W albo P_odb =U⋅I_źr +G⋅U² =6+4=10W.

Bilans mocy obwodu prądu stałego

Zasada Tellegena (bilansowania się mocy w obwodzie elektrycznym), podana wcześniej dla warto- ści chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym, obowiązuje w obwodzie prądu stałego dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.

Bilans mocy obwodu prądu stałego wyraża się następująco:

∑

∑

= =

⋅

=

⋅ ⁿ

k

k k gen

k n

k

gen

k I R I

U

1 2 .

1

. , (3.8a) gdzie źródła strzałkuje się generatorowo i wielkości ich dotyczące umieszcza po lewej stronie rów- nania, a wielkości dotyczące rezystancji gałęziowych umieszcza po prawej stronie (konwencja mie- szana); indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... , n).

Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa) albo ak- tywne (konwencja generatorowa), to bilans mocy przyjmuje postaci:

U_{k odb} I_{k odb}

k n

. ⋅ . =

=

∑

1

0 lub U_{k gen} I

k n

k gen

. .

=

∑

_{⋅ =}

1

0 , (3.8b, c) gdzie wszystkie elementy obwodu strzałkuje się tak samo – odbiornikowo bądź generatorowo; in- deksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... , n).

Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.

Igen

Iodb U0

(-U) Iźr U 0 G

U Iźr

IG

Igen

Iodb

G U

Iźr

IG

Igen

Iodb

Iodb

Igen (-U0)

U (-U) Iźr

0

Przykład. Na schemacie obwodu prądu stałego podano wartości parametrów i prądów gałęziowych (wartości prądów są wynikiem rozwiązania obwodu, uzyskanego jedną z metod objaśnionych dalej).

Po wyznaczeniu wartości napięć na elementach, zostanie sporządzony – na dwa sposoby – bilans mocy obwodu.

1. Bilans mocy obwodu przy mieszanej konwencji strzał- kowania prądów i napięć elementów

Uwzględniając zwroty prądów zaznaczone na danym schemacie (rys. a), dorysowano napięcia: na źródłach – w konwencji generatorowej, oraz na rezystorach – w kon- wencji odbiornikowej (rys. b). Wartość napięcia na źródle prądowym jest sumą napięć (o właściwym zwrocie) na gałęziach tworzących dowolną drogę między węzłami, do których jest przyłączone to źródło, np. na dwóch górnych gałęziach (1 + 6 = 7 V) albo na dwóch środkowych (3 + 4 = 7 V).

Wartości sum po lewej i prawej stronie równania (3.8a) wynoszą:

21 3 7 2 ) 3 ( 1

. 6

1 .

. =

∑

⋅ = ⋅ + − ⋅ + ⋅ =

∑

= kgen n

k

gen k k

gen

k U I

P W,

21 4 1 2 1 1

1 ^{2 2 2}

1 2

. =

∑

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∑

= n

k

k k k

odb

k R I

P W,

tzn. moce się bilansują

∑

⁼

∑

k odb k k

gen

k P

P_{. .} .

2. Bilans mocy obwodu przy odbiornikowej konwencji strzałkowania prądów i napięć każdego z elementów Zwroty napięć wszystkich elementów obwodu przyjęto przeciwne do zwrotów prądu (rys. c).

Wartość sumy w równaniu (3.8b) wynosi:

=

⋅

=

∑

∑

= kodb n

k

odb k k

odb

k U I

P _.

1 . .

=1⋅1+(−6)⋅1+2⋅2+3⋅2+4⋅4+(−7)⋅3=0 W, tzn. moce się bilansują

∑

_. =0

k odb

Pk .

1 Ω 6 V

3 A 1 A 1 A

2 A 4 A 3 V 1 Ω

2 A 1 Ω

1 Ω 6 V

3 A 1 A 1 A

2 A 4 A 3 V 1 Ω

2 A 1 Ω 1 V 6 V

2 V

7 V

–3 V 4 V

1 Ω 6 V

3 A 1 A 1 A

2 A 4 A 3 V 1 Ω

2 A 1 Ω

1 V –6 V 2 V

–7 V

3 V 4 V a)

b)

c)