Elementy obwodów prądu sinusoidalnego

Elektrotechnika podstawowa ¹⁰⁹

ROZDZIAŁ 6

E l e m e n t y o b w o d ó w p r ą d u s i n u s o i d a l n e g o

Wielkości i obrazujące je przebiegi czasowe można klasyfikować ze względu na określone cechy i wskaźniki, używając nazw związanych z charakterem zmienności. Wielkości sinusoidalne zalicza się do wielkości okresowych przemiennych.

Sinusoidalne przebiegi prądu i napięcia w dwójniku liniowym mogą mieć różne fazy początkowe, tzn. być względem siebie przesunięte, co jest zależne od charakteru i sposobu połączenia elemen- tów wchodzących w skład dwójnika. Związane są z tym pojęcia: przesunięcia fazowego, współ- czynnika mocy i mocy czynnej dwójnika. Inne ważne wielkości to: reaktancja, impedancja, suscep- tancja, admitancja, moc bierna i moc pozorna.

W liniowych obwodach elektrycznych mogą występować zjawiska rezonansowe, stwarzające nie- bezpieczeństwo przepięć lub przetężeń.

Związki czasowe i amplitudowe między przebiegami o tej samej pulsacji (synchronicznymi) przed- stawiane są geometrycznie za pomocą wykresów wskazowych. Korzystając z metody symbolicznej formułuje się te zależności w sposób analityczny.

Metody rozwiązywania obwodów rozgałęzionych prądu stałego oraz sinusoidalnego różnią się prak- tycznie tylko tym, że w wypadku pierwszych wykonuje się obliczenia na liczbach rzeczywistych, a w wypadku drugich – na liczbach zespolonych. Bilans mocy obwodu sinusoidalnego dotyczy mocy zespolonej, tj. mocy czynnej i mocy biernej.

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 6 B susceptancja

BC susceptancja pojemnościowa BC susceptancja indukcyjna

ϕ

cos współczynnik mocy C pojemność elektryczna e napięcie źródłowe

E wartość skuteczna sinusoidalnego napięcia źródłowego

E wskaz napięcia źródłowego; wartość symboliczna (skuteczna zespolona) napięcia źródłowego

f częstotliwość

frez częstotliwość rezonansowa G konduktancja

i prąd

i(t) przebieg czasowy prądu

imax wartość szczytowa prądu

ih % współczynnik odkształcenia prądu kk współczynnik kształtu

ksz współczynnik szczytu

I wartość skuteczna prądu okresowe- go

Ib składowa bierna prądu Icz składowa czynna prądu

Im amplituda prądu sinusoidalnego Iśr wartość średnia półokresowa I0 wartość średnia prądu okresowego

I wartość wyprostowana prądu

I wskaz prądu; wartość symboliczna (skuteczna zespolona) prądu

I moduł I (długość wskazu równa I) Im wskaz nieruchomy (początkowy)

amplitudy prądu

Imt wskaz wirujący amplitudy prądu Iźr wskaz prądu źródłowego; wartość

symboliczna (skuteczna zespolona) prądu źródłowego

Io wartość symboliczna prądu oczko- wego

j liczba urojona; operator obrotu wskazu

L indukcyjność własna M indukcyjność wzajemna p moc chwilowa

P moc średnia w obwodzie prądu okresowego; moc czynna

Pgen moc czynna „generatorowa”

Podb moc czynna „odbiornikowa”

PW wskazanie watomierza q ładunek elektryczny Q moc bierna

Qgen moc bierna „generatorowa”

Qodb moc bierna „odbiornikowa”

R rezystancja S moc pozorna S moc zespolona

Sgen moc zespolona „generatorowa”

Sodb moc zespolona „odbiornikowa”

t czas

T okres (podstawowy) przebiegu u napięcie

u(t) przebieg czasowy wielkości U; przebieg czasowy napięcia

umax wartość szczytowa napięcia

uh % współczynnik odkształcenia napięcia U wielkość; wartość skuteczna napięcia

okresowego

Ub składowa bierna napięcia Ucz składowa czynna napięcia

Um amplituda napięcia sinusoidalnego

Um (k) amplituda k-tej harmonicznej przebiegu okresowego u(t)

Uśr wartość średnia półokresowa napięcia okresowego

U0 wartość średnia przebiegu okresowego u(t); wartość średnia napięcia

U wartość wyprostowana napięcia

U wskaz napięcia; wartość symboliczna (skuteczna zespolona) napięcia

U moduł U (długość wskazu równa U) Um wskaz nieruchomy (początkowy) amplitu-

dy napięcia

Umt wskaz wirujący amplitudy napięcia U0 wartość symboliczna napięcia źródła za-

stępczego

W energia elektryczna X reaktancja

XC reaktancja pojemnościowa XL reaktancja indukcyjna własna XM reaktancja indukcyjna wzajemna Y admitancja

Y admitancja zespolona Z impedancja

Z impedancja zespolona Zw impedancja zespolona źródła ϕ kąt przesunięcia fazowego

ψ faza początkowa (początkowy kąt fazowy) przebiegu sinusoidalnego

ρrez impedancja charakterystyczna (falowa) obwodu rezonansowego

ω pulsacja przebiegu sinusoidalnego ωrez pulsacja rezonansowa

ω0 „wzorcowa” pulsacja rezonansowa

Literatura do rozdziału 6 [1], [2], [4], [7], [9]

6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego ¹¹¹

Wykład XIII. PRZEBIEGI WIELKOŚCI ZMIENNYCH W CZASIE.

ELEMENTY R, C, L i M PRZY PRĄDZIE SINUSOIDALNYM

Klasyfikacja przebiegów zmiennych w czasie

Wielkość U, określoną w przedziale czasu (t0, tn), charakteryzuje przebieg czasowy u(t) o warto- ściach chwilowych: u(t0), u(t1), ... , u(tn).

Przebieg u(t) spełnia warunek okresowości w przedziale czasu (0, ∞), jeśli:

) ( ) (t kT u t

u + = dla t ≥ 0, k = 1, 2, ... , ∞ , (6.1) przy czym najmniejsza liczba T spełniająca ten warunek nazywa się okresem (podstawowym) prze- biegu, a jej odwrotność

f = – częstotliwością przebiegu. T1

Ze względu na spełnienie warunku okresowości wyróżnia się wielkości (przebiegi) zmienne okre- sowe (przykład na rys. a) i nieokresowe (przykład na rys. b):

a) b)

Wartość średnia za okres T przebiegu u(t) wielkości okresowej U, to jej wartość średnia:

∫

+

=

=

T t

t

dt t T u t u U

0

0

) 1 ( )

0 ( . (6.2) Wielkość okresowa, której wartość średnia jest równa zeru, nosi nazwę przemiennej (przykład na rys. c)., zaś której wartość średnia jest różna od zera – pulsującej lub tętniącej (przykład na rys. d):

c) d)

Wielkość okresowa U nazywa się sinusoidalną (harmoniczną), jeśli jej przebieg czasowy można przedstawić jako funkcję sinusoidalną (rys. poniżej):

) sin(

)

(t U_m t _u

u = ⋅ ω +ψ , (6.3a)

przy czym f

Tπ π

ω = 2 =2 , (6.3b) gdzie: Um – amplituda,

ψu – faza początkowa (początkowy kąt fazowy), ω – pulsacja,

(ωt + ψu) – faza (kąt fazowy) przebiegu w chwili t.

Przebiegi sinusoidalne o tej samej pulsacji (częstotliwości) – to przebiegi synchroniczne.

W ogólnym przypadku, fazy początkowe przebiegów synchronicznych są różne.

Prądy i napięcia o przebiegach okresowych niesinusoidalnych – to prądy i napięcia odkształcone.

u

t

T 2T

0

u

t 0

U0

T 2T

u

t

T 2T

0

u

t 0

u

ωt

π 2π

0 Um

-ψu

Składniki przebiegu okresowego

Każdy przebieg okresowy, który nie jest sinusoidalny, można przedstawić w postaci szeregu Fouriera jako sumę wartości średniej (składowej stałej) i przebiegów harmonicznych (składowej przemiennej):

∑

^∞

=

+

⋅ +

=

1

) ( )

(

0 sin( )

) (

k

k u k

m k t

U U

t

u ω ψ , (6.4) gdzie: U₀ – wartość średnia przebiegu,

Um (k) – amplituda k-tej harmonicznej przebiegu,

ψu (k) – faza początkowa (początkowy kąt fazowy) k-tej harmonicznej przebiegu.

Zachodzi przy tym następująca zależność (równość Parsevala):

∑

^∞

=

+

=

1 2

) ( 2

0 2

2 ) 1

(

k k

Um

U t

u . (6.5) Przykład. Na rys. obok pokazano prze-

biegi przemienne niesinusoidalne I i II, złożone z pierwszej i trzeciej harmo- nicznej – o amplitudach i fazach początkowych:

Um (1) =Um.I (1) =Um.II (1) , Um (3) =Um.I (3) =Um.II (3) , Um (3) =0,2 Um (1) ;

ψu.I (1) =ψu.II (1) =0°, ψu.I (3) =–60°, ψu.II (3) =90°.

Wartości średnie prądu i napięcia okresowego

Zgodnie ze wzorem ogólnym, wartości średnie (całookresowe) prądu i napięcia okresowego wyno- szą:

∫

= ^Ti t dt I T

0

0 1 ( )

, ^{U =}_T ^T

∫

^{u t dt}

0

0 1 ( )

(6.6a, b) (inne oznaczenia: i(t), Iśr.c ; u(t), Uśr.c ).

Jeśli wartość średnia I0 lub U0 jest równa 0, to prąd i(t) lub napięcie u(t) jest przemiennym.

Prądy i napięcia przemienne są często utożsamiane z sinusoidalnymi – głównie, gdy przedmiotem zainteresowania są pierwsze harmoniczne przebiegów odkształconych. Ma to związek z określo- nymi dalej współczynnikami sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego. Warto zatem zwracać uwagę na poprawne stosowanie terminów: przemienny i sinusoidalny.

Moc średnia i energia w obwodzie prądu okresowego

Moc średnia (wartość średnia mocy) w obwodzie prądu okresowego wynosi

∫

∫

⁼

=

T T

dt i T u dt T p P

0 0

1

1 , (6.7)

a więc energia elektryczna w czasie jednego okresu równa się T

P dt p W

T

T =

∫

= ⋅

0

, (6.8a) zaś w czasie t>>T (będącym wielokrotnością T) – wyraża się tak samo jak przy prądzie stałym:

t P

W = ⋅ . (6.8b)

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0 60 120 180 240 300 360

u Um (1)

ωt

0° ° ° ° ° ° °

I II

6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego ¹¹³

Wartości skuteczne prądu i napięcia okresowego

Zgodnie z prawem Joule’a, energia wydzielająca się w rezystancji R (konduktancji G = 1/R) w przedziale czasu (t1, t2) wynosi

∫

∫

^{⋅ = ⋅}

= ²

1 2

1

2 2

t

t G t

t

Rdt G u dt

i R

W , (6.9) zatem – ze względu na ciepło wydzielane w tej samej rezystancji (konduktancji), w czasie jednego okresu prądu lub napięcia – równoważnymi prądowi okresowemu i(t) i napięciu okresowemu u(t) są prąd stały i napięcie stałe o takich wartościach I i U , że:

∫

∫

^{⋅ =T ⋅}

T

dt i R dt I R

0 2 0

2 , ^T

∫

^{G⋅U dt =T}

∫

^{G⋅u dt}

0 2 0

2 ,

czyli ^{I =} _T^T

∫

^{i dt}

0

1 2

, ^{U =} _T^T

∫

^{u dt}

0

1 2

. (6.10a, b) Określone wyżej wartości I i U (inne oznaczenia: Isk ; Usk ) noszą miano wartości skutecznych przebiegów okresowych i(t) i u(t).

Wartości wyprostowane prądu i napięcia okresowego

Wartości średnie wyprostowanych całofalowo przebiegów prądu lub napięcia okresowego – to war- tości wyprostowane I i U (inne oznaczenia: i(t) , u(t) ):

dt T i I

T

∫

=

0

1 , u dt

U T

T

∫

=

0

1 . (6.11a, b)

Gdy przebiegi: i(t), u(t), są funkcjami antysymetrycznymi (przemiennymi symetrycznymi), tj. speł- niającymi warunki: i(t)=0 i i(t+T 2)=−i(t), u(t)=0 i u(t+T 2)=−u(t), to wartości wypro- stowane I , U są równe wartościom średnim półokresowym Iśr , Uśr :

dt T i I

T

śr ⁼

∫

2

0

2 , u dt

U T

T

śr ⁼

∫

2

0

2 . (6.12a, b)

Współczynniki szczytu oraz kształtu prądu i napięcia okresowego

Stosunki największych wartości bezwzględnych (szczytowych) prądu lub napięcia: imax , umax , do odpowiednich wartości skutecznych: I, U, nazywają się współczynnikami szczytu prądu lub na- pięcia okresowego:

I

k_sz.i = i^max ,

U

k_sz.u = u^max . (6.13a, b)

Stosunki wartości skutecznych: I, U, do wartości wyprostowanych: I , U, noszą nazwy współczyn- ników kształtu prądu lub napięcia okresowego:

I

k_k.i = I ,

U

k_k.u =U . (6.14a, b)

Współczynniki szczytu oraz kształtu prądu i napięcia sinusoidalnego

Przebiegi sinusoidalne prądu i napięcia zapisuje się jako funkcje czasu t lub kąta ωt: i(t)≡i(ωt)= I_m⋅sin(ωt+ψ_i), u(t)≡u(ωt)=U_m⋅sin(ωt+ψ_u). Ich wartości skuteczne oraz wartości wyprostowane (średnie półokresowe) wynoszą:

2 Im

I = ,

2 Um

U = ,

π^m

śr

I I

I 2

=

= ,

π^m

śr

U U

U 2

=

= ,

zatem współczynniki szczytu i kształtu mają wartości:

41 , 1

(sin) = 2 ≅

ksz , 1,11

2

(sin) = 2π ≅

kk . (6.15a, b) Uwzględniając wzór (6.15a), przebiegi sinusoidalne prądu i napięcia zapisuje się zwykle w postaci:

) sin(

2 )

(t I t _i

i = ⋅ ω +ψ , u(t)=U 2⋅sin(ωt+ψ_u). (6.16a, b)

Współczynniki sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego

Za miary sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego można uważać procentowe wartości sto- sunków ich współczynników szczytu ksz oraz kształtu kk , do wartości – odpowiednio – współczyn- ników szczytu lub kształtu przebiegu sinusoidalnego:

i sz i

sz

sz k k

i _%sin ^. 100 70,7 _.

2 ⋅ ≅ ⋅

= , _sz k^szu k_szu

u _%sin ^. 100 70,7 _.

2 ⋅ ≅ ⋅

= , (6.17a, b)

i k i

k

k k k

i _%sin =2 2 ^. ⋅100≅90⋅ _.

π ^{, k ku kku}

u _%sin =2 2k ^. ⋅100≅90⋅ _.

π . (6.18a, b) Innymi miarami sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego są stosunki wartości skutecznych ich pierwszych harmonicznych ( I (1) , U (1) ) do ich wartości skutecznych ( I , U ), wyrażone w pro- centach:

) 100

1 ( )%

1

( = ⋅

I

i I , _(1)% = ⁽¹⁾ ⋅100 U

u U . (6.19a, b)

Współczynniki udziału wyższych harmonicznych prądu i napięcia przemiennego

Procentowe wartości stosunków wartości skutecznej j-tej wyższej harmonicznej ( j>1) prądu lub napięcia przemiennego ( I (j) , U (j) ), do wartości skutecznej jego pierwszej harmonicznej ( I (1) , U (1) ) lub do jego wartości skutecznej ( I , U ), to dwa typy współczynników udziału j-tej harmonicznej:

100

) 1 (

) ( ) 1 )%(

( = ⋅

I

i _j I ^j , 100

) 1 (

) ( ) 1 )%(

( = ⋅

U

u _j U ^j , (6.20a, b)

) 100

( )%

( = ⋅

I

i _j I ^j , _{( )%} = ^{( )} ⋅100 U

u _j U ^j . (6.21a, b)

Odstępstwo przebiegów przemiennych od idealnie sinusoidalnych wyrażane jest przez dwa typy współczynników zawartości harmonicznych (w procentach), określanych umownie jako:

- współczynniki zniekształceń harmonicznych

∑

^∞

=

=

− ⋅

=

2 ) 1 )%(

( )

1 (

2 ) 1 ( 2 ) 1

%( 100

j j

h i

I I I

i ,

∑

^∞

=

=

− ⋅

=

2 ) 1 )%(

( )

1 (

2 ) 1 ( 2 )

1

%( 100

j j

h u

U U U

u , (6.22a, b)

- współczynniki odkształcenia

∑

^∞

=

=

− ⋅

=

2 2

)%

( 2

) 1 ( 2

% 100

j j

h i

I I I

i ,

∑

^∞

=

=

− ⋅

=

2 2

)%

( 2

) 1 ( 2

% 100

j j

h u

U U U

u . (6.23a, b)

Występuje duża różnorodność stosowanych w praktyce miar odkształcenia przebiegów (różnice dotyczą skończonej szerokości pasma harmonicznych oraz występowania we wskaźniku tylko nie- których składników, np. harmonicznych parzystych bądź nieparzystych). Podane wyżej symbole współczynników: i(j) % (1) , u(j) % (1) , i(j) % , u(j) % , ih % (1) , uh % (1) , ih % , uh % , nie są powszechnie obowiązujące. W literaturze oraz w normach podawane są różne wskaźniki i używane różne ozna- czenia, np. ih % (1) i uh % (1) odpowiada w normach symbol THD (Total Harmonic Distortion), a ih %

i uh % – THF (Total Harmonic Factor).

6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego ¹¹⁵

Wielkości charakteryzujące dwójnik liniowy przy prądzie sinusoidalnym

Dwójnik liniowy (rys. obok) składa się z pasywnych elementów li- niowych R, C, L, M, oraz aktywnych elementów idealnych e, iźr o pul- sacji takiej samej jak źródła zewnętrzne. Struktura połączeń elemen- tów nie ma w tej chwili znaczenia. Przyjęto odbiornikowe strzałkowa- nie prądu i napięcia, tzn. z założenia dwójnik jest odbiornikiem.

Przebiegi sinusoidalne prądu i napięcia dwójnika zapisuje się w „wygodniejszej” postaci (6.16a, b):

) sin(

2 )

(t I t _i

i = ⋅ ω +ψ , u(t)=U 2⋅sin(ωt+ψ_u).

Różnicę faz początkowych przebiegów synchronicznych u(t) i i(t) dwójnika określa się jako kąt przesunięcia fazowego, krótko: przesunięcie fazowe dwójnika (rys. poniżej):

i

u ψ

ψ

ϕ = − . (6.24)

Moc chwilowa dwójnika wynosi

) 2

cos(

cos )

sin(

2 ) sin(

2 ) ( ) ( )

(t u t i t U t _u I t _i U I U I t _{u i}

p = ⋅ = ω +ψ ⋅ ω +ψ = ϕ − ω +ψ +ψ .

Składnik stały mocy chwilowej (moc średnia) nosi nazwę mocy czynnej ϕ

cos I U

P= , (6.25) a wielkość cosϕ określa się jako współczynnik mocy dwójnika (odbiornika).

Składnik zmienny mocy chwilowej, równy −U Icos(2ωt+ψ_u +ψ_i), nazywa się mocą oscylacy- ną. Moc chwilowa oscyluje z podwójną częstotliwością wokół wartości mocy czynnej.

Moc czynną dwójnika (odbiornika) mierzy się watomie- rzem, włączanym do obwodu w sposób pokazany obok na rysunku. Początki cewek (prądowej i napięciowej) wato- mierza zaznacza się na schemacie kropkami. Jeśli początki cewek znajdują się po tych stronach symbolu „W w kole”, jak zaznaczono je na rysunku, to zwyczajowo kropki się pomija. Moc zmierzona watomierzem w pokazanym ukła- dzie jest równa mocy czynnej dwójnika: PW = P .

Elementy R, C, L, M w obwodzie prądu sinusoidalnego

1. Rezystancja R (konduktancja G) i

R

u= ⋅ , i=G⋅u, p=u⋅i=R⋅i² =G⋅u²≥0; )

sin(

2 )

(t I t _i

i = ⋅ ω +ψ , u(t)=U 2⋅sin(ωt+ψ_u);

) sin(

2 t _i

I R i R

u= ⋅ = ⋅ ⋅ ω +ψ (6.26)

⇒ U =R⋅I, ψ_u =ψ_i ⇒ ϕ =0 ⇒ cosϕ =1; P=U⋅I =R⋅I² =G⋅U² . Odb.

W Odb.

i

u

i R, G u u, i, p

u i

p

ω t

ϕ ψ_i ψu

0 U I

P

2. Pojemność C dt

i= dq , q=C⋅u ; ) sin(

2 )

(t I t _i

i = ⋅ ω +ψ , u(t)=U 2⋅sin(ωt+ψ_u);

) 2 sin(

2 )

cos(

2 ω ψ ω ω ψ π

ω ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + +

=

⋅

= C U t _u C U t _u

dt C du

i (6.27)

⇒ I = ωC⋅U, ψ_i =ψ_u+π 2 ⇒

2

ϕ =−π ⇒ cosϕ =0 ⇒ P=0;

I X C I

U = 1 ⋅ = _C⋅

ω ^, X_C 1C

=ω (reaktancja pojemnościowa). (6.28a, b) 3. Indukcyjność własna L

dt u₌ dΨ

, Ψ =L⋅i ; ) sin(

2 )

(t I t _i

i = ⋅ ω +ψ , u(t)=U 2⋅sin(ωt+ψ_u);

) 2 sin(

2 )

cos(

2 ω ψ ω ω ψ π

ω ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + +

=

⋅

= L I t _i L I t _i

dt L di

u (6.29)

⇒ U = ωL⋅I, ψ_u =ψ_i +π 2 ⇒ 2

ϕ = ⇒ π cosϕ =0 ⇒ P=0;

I X I L

U = ω ⋅ = _L⋅ , X_L =ωL (reaktancja indukcyjna własna). (6.30a, b) 4. Indukcyjność wzajemna L12 = L21 = M :

a) sprzężenie dodatnie

dt u_{1M =} dΨ¹²

, Ψ₁₂ =L₁₂⋅i₂ =M⋅i₂ ; )

sin(

2 ₂

2

2 I t i

i = ⋅ ω +ψ , u_1M =U_1M 2⋅sin(ω +t ψ_u1M);

) 2 sin(

2 )

cos(

2 _{2 2 2}

2 2

1_M = ⋅ =ωM ⋅I ⋅ ωt+ψ_i =ωM⋅I ⋅ ωt+ψ_i +π

dt M di

u (6.31a)

⇒ U_1M = ωM⋅I₂, ψ_u1M =ψ_i2+π 2 ;

dt u_{2M =} dΨ²¹

, Ψ₂₁ =M⋅i₁ ; )

sin(

2 ₁

1

1 I t i

i = ⋅ ω +ψ , u_2M =U_2M 2⋅sin(ω +t ψ_u2M);

) 2 sin(

2 )

cos(

2 _{1 1 1}

1 1

2_M = ⋅ =ωM⋅I ⋅ ωt+ψ_i =ωM⋅I ⋅ ωt+ψ_i +π

dt M di

u (6.31b)

⇒ U_2M = ωM⋅I₁, ψ_u2M =ψ_i1+π 2 ;

2 2

1 M I X I

U _M = ω ⋅ = _M ⋅ , U_2M =ωM⋅I₁= X_M ⋅I₁ , (6.32a, b) M

X_M =ω (reaktancja indukcyjna wzajemna). (6.33) Moce czynne przenoszone między cewkami

(p1M – z cewki 2. do 1.; p2M – z cewki 1. do 2.):

) sin(

... _{1 2 1 2}

1 1

1M u M i XM I I i i

p = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ψ −ψ ;

) sin(

... _{1 2 2 1}

2 2

2M u M i XM I I i i

p = ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ψ −ψ

⇒ warunki przenoszenia mocy czynnej:

ψ ≠_i1 ψ_i2 i ψ_i1 ≠ψ_i2^mπ .

b) sprzężenie ujemne – we wzorach dla sprzężenia dodatniego: –M zamiast M (–XM zamiast XM ).

i C u

i L u

L12 = M u1M

i2

L₁ M L2

i1 i2

u2L +u2M u1L +u1M

L21 = M u2M i1