Rozwiązywanie obwodów prądu stałego

Elektrotechnika podstawowa ⁵⁷

ROZDZIAŁ 4

R o z w i ą z y w a n i e o b w o d ó w p r ą d u s t a ł e g o

Przez rozwiązanie obwodu rozumie się zwykle wyznaczenie wartości prądów bądź napięć gałęzio- wych, gdy znane są wartości parametrów elementów pasywnych i aktywnych. Czynnikiem wymu- szającym działanie układu są wtedy napięcia i prądy źródłowe (parametry idealnych elementów aktywnych), zaś odpowiedzią układu na te wymuszenie – prądy i napięcia gałęziowe.

Możliwe jest też inne postawienie zadania: wymuszenie to prąd lub napięcie jednej z gałęzi, zaś odpowiedź – prądy lub napięcia pozostałych gałęzi albo parametry wybranej gałęzi (również jej prąd lub napięcie źródłowe), przy znanych wartościach pozostałych parametrów obwodu. W tym wypadku problemy mają charakter szczególny i na ogół są łatwiejsze do rozwikłania.

Rozwiązywanie obwodów nierozgałęzionych prądu stałego nie stwarza poważniejszych trudności.

Do opisania struktury liniowych obwodów rozgałęzionych służą współczynniki (macierze) incyden- cji. Dzięki nim uzyskuje się ogólne, macierzowe postaci równań obwodów. Z równań Kirchhoffa wynikają bezpośrednio równania równowagi (względem prądów albo względem napięć gałęzio- wych). Posługując się pojęciem prądów oczkowych otrzymuje się równanie oczkowe obwodu, zaś dochodząc do zależności względem potencjałów węzłowych obwodu – jego równanie węzłowe.

Z liniowością obwodu wiąże się możliwość stosowania zasady superpozycji.

Przy wyznaczaniu prądu (napięcia) jednej, wybranej gałęzi można skorzystać z twierdzenia Theve- nina (twierdzenia Nortona).

Aby wyznaczyć wartości prądów (napięć) przyrostowych przy zmianach rezystancji (konduktancji) jednej gałęzi, korzysta się z twierdzenia o kompensacji.

2

I₁ 10Ω I1 2 10Ω 10Ω I4

140V

I₃

1 2 4,6A

24Ω U₁

180V U₂

U₃ U4

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 4

E napięcie źródłowe

E wektor źródłowych napięć gałęziowych E’ wektor zastępczych źródłowych napięć

gałęziowych

Eo wektor źródłowych napięć oczkowych E_o’ wektor zastępczych źródłowych napięć

oczkowych

g liczba gałęzi w obwodzie G konduktancja

G_jj konduktancja wejściowa j-tej gałęzi Gjk konduktancja międzygałęziowa gałęzi

j-tej i gałęzi k-tej

Gw konduktancja wewnętrzna źródła

∆^Gk przyrost konduktancji k-tej gałęzi G diagonalna macierz konduktancji gałę-

ziowych

Gi macierz konduktancji gałęziowych w węzłach

Gw macierz konduktancji węzłowych (wła- snych i wzajemnych)

h liczba pseudogałęzi w obwodzie I prąd

Igen prąd „generatorowy”

Iodb prąd „odbiornikowy”

Iwej prąd wejściowy gałęzi (pseudogałęzi) Iz prąd zwarcia, tj. prąd między zwartymi

zaciskami Iźr prąd źródłowy

∆^Ik przyrost prądu k-tej gałęzi I wektor prądów gałęziowych

I’ wektor zastępczych prądów gałęzio- wych

Io wektor prądów oczkowych

I_w wektor wydajności źródeł prądowych do węzłów

I_w’ wektor zastępczych wydajności źródeł do węzłów

I_wej wektor prądów wejściowych gałęzi Iwej.c „całkowity” wektor prądów wejścio-

wych

Iwej.h wektor prądów wejściowych pseudoga- łęzi

Iw.h wektor wydajności pseudogałęzi do węzłów

I_źr wektor prądów źródłowych gałęzi

Iźr’ wektor zastępczych źródłowych prą- dów gałęziowych

Iźr.h wektor prądów źródłowych pseudoga- łęzi

Iźr.c „całkowity” wektor prądów źródło- wych

Iźr.c’ wektor zastępczych źródłowych prą- dów gałęzi i pseudogałęzi

m liczba niezależnych węzłów obwodu (rząd grafu)

n liczba niezależnych oczek obwodu (zerowość grafu)

Pgen moc „generatorowa”

Podb moc „odbiornikowa”

R rezystancja (opór elektryczny) Rjj rezystancja wejściowa j-tej gałęzi Rjk rezystancja międzygałęziowa j-tej ga-

łęzi i k-tej gałęzi lub pseudogałęzi Rw rezystancja wewnętrzna źródła

∆^Rk przyrost rezystancji k-tej gałęzi

R diagonalna macierz rezystancji gałę- ziowych

Rl macierz rezystancji gałęziowych w oczkach

Ro macierz rezystancji oczkowych (wła- snych i wzajemnych)

U napięcie

Ugen napięcie „generatorowe”

Uodb napięcie „odbiornikowe”

U0 napięcie w stanie jałowym, tj. napięcie na rozwartych zaciskach

∆^Uk przyrost napięcia na k-tej gałęzi U wektor napięć gałęziowych V potencjał

V wektor potencjałów węzłowych w liczba węzłów w obwodzie

δlk współczynnik incydencji k-tej gałęzi i l-tego oczka

δδδδ macierz incydencji gałęzi i oczek λik współczynnik incydencji k-tej gałęzi

(lub pseudogałęzi) i i-tego węzła λλλλ macierz incydencji gałęzi i węzłów λλλλh macierz incydencji pseudogałęzi i wę-

złów

λλλλc „całkowita” macierz incydencji wę- złów

Literatura do rozdziału 4 [1], [2], [4], [6]

4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego ⁵⁹

Wykład VII. ANALIZA OBWODÓW NIEROZGAŁĘZIONYCH PRĄDU STAŁEGO.

ELEMENTY TOPOLOGII OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

Obwód liniowy nierozgałęziony, bez źródeł prądowych

Jeśli obwód jest liniowy i nie ma w nim rzeczywistych źródeł prądowych, to sumuje się napięcia źródłowe oraz rezystancje w oczku, a następnie oblicza prąd z prawa Ohma:

∑

∑

=

= _n=

k k n

k k

R E I

1

1 , (4.1)

gdzie n - liczba gałęzi szeregowych w oczku (zawierających źródła i rezystancje).

Zwrot prądu odpowiada zwrotowi obiegu oczka, zgodnie z którym sumowane są napięcia źródłowe.

Rezystancje są traktowane w obwodzie jako elementy skupione, mimo to rysuje się czasami poglą- dowe wykresy rozkładu potencjału w obwodzie jako funkcje rezystancji, rosnącej zgodnie z przyję- tym zwrotem obiegu oczka.

Przykład. Należy obliczyć wartość prądu i sporządzić wykres rozkładu potencjałów w obwodzie pokazanym na rys. a.

Za węzeł odniesienia (potencjał V0 = 0) obrano punkt 0.

Obliczenia:

16 2 6 24− − =

∑

k

Ek V,

∑

k

Rk Ω,

8 2 16 =

=

I A;

' 24

1 =

V V, V₁ =24−2⋅2=20V, 20

0

1 =20− =

U V albo U₁ =24−2⋅2=20V;

14 6

' 20

2 = − =

V V, V₂ =14−2⋅2=10V, 10

10

2 =20− =

U V albo U₂ =6+2⋅2=10V;

2 2 4

3 =10− ⋅ =

V V;

8 2

3 =10− =

U V albo U₃ =4⋅2=8V.

Rozkład potencjałów w obwodzie pokazano na rys. b.

Obwód liniowy nierozgałęziony, z rzeczywistymi źródłami prądowymi

Jeśli obwód jest liniowy i występują w nim rzeczywiste źródła prądowe, to można:

• zamienić rzeczywiste źródła prądowe na napięciowe i postępować jak poprzednio (pamiętając na końcu o wyznaczeniu prądów w wewnętrznych rezystancjach źródeł prądowych),

• zastosować zasadę superpozycji w odniesieniu do wszystkich, wziętych razem, źródeł napię- ciowych oraz każdego, wziętego z osobna, idealnego źródła prądowego (wchodzącego w skład źródła rzeczywistego).

Przykład. Należy obliczyć – na dwa sposoby - wartości prądu w obwodzie pokazanym na rys. a.

1. Po zamianie źródła otrzymuje się układ (rys. b) znany z poprzed- niego przykładu, zatem I = 2 A.

U1

1

I

24 V 2 V

2 Ω 6 V

2 Ω

4 Ω U2

U3

U4

1’

0

2’ 2

3 V0 =0

a)

b) V VR

R 0 2 4 6 8 Ω 20

10 (0)

(1)

(2)

(3)

1

I 24 V

2 V

2 Ω 6 V 2 Ω

4 Ω 0

1 12 A I

2 V 6 V 2 Ω

2 Ω

4 Ω 0

Iw

a) b)

Wracając do schematu zadanego (rys. a), wyznacza się wartość prądu w rezystancji źródła prądo- wego: Iw = 12 – 2 = 10 A .

2. Po zastosowaniu zasady superpozycji otrzymuje się dwa obwody (rys. c’ i c’’).

Oblicza się składniki prądów w tych obwodach:

9 8 12 '_w= 6⋅ =

I A , 12 3

8 '= 2⋅ =

I A ;

8 1 ''_w=8 =

I A , I ''=−1A ;

a następnie dodaje, otrzymując prądy w obwodzie zadanym (rys. a):

10 1 9+ =

w =

I A , I =3−1=2A .

Obwód z rezystorem nieliniowym - rozwiązanie analityczne

Jeśli jeden z rezystorów występujących w obwodzie nierozgałęzionym jest nieliniowy i dana jest jego charakterystyka w postaci zależności analitycznej, to otrzymuje się nieliniowe równanie ob- wodu.

Przykład. Należy obliczyć wartość prądu w obwodzie pokazanym na rys. a. Charakterystyka sta- tyczna U(I) rezystora nieliniowego jest monotoniczna (rys. b) i wyraża się wzorem liczbowym:







<

−

= ≥

0 2

0 2

2 2

I I

I U I

, [U] = 1 V, [I] = 1 A.

Po zgrupowaniu elemen- tów tego samego rodza- ju, otrzymuje się obwód pokazany na rys. c.

Przy zgodnych zwrotach E i I zachodzi przypadek: I > 0 , U = 2⋅I² . Równanie liczbowe obwodu ma postać: 4I+2I² =16, inaczej: I²+2I −8=0.

Rozwiązaniem tego równania, spełniającym warunek I > 0, jest I = 2 A.

Uwaga. Postać równania obwodu nieliniowego jest zwykle bardziej skomplikowana. Rozwiązanie analityczne może stwarzać dużą trudność albo być w ogóle niosiągalne, często więc nie podejmuje się w ogóle takiej próby, a stosuje od razu metodę graficzną lub numeryczną.

Obwód z rezystorem nieliniowym - rozwiązanie graficzne

Jeśli jeden z rezystorów występujących w obwodzie nierozgałęzionym jest nieliniowy i dana jest jego charakterystyka w postaci wykresu, to stosuje się metodę graficzną, nazywaną metodą przecię- cia charakterystyk. Polega ona na tym, że pozostała część obwodu – aktywna, liniowa – zostaje przedstawiona jako zastępcze źródło napięciowe lub prądowe i charakterystykę tego źródła (charak- terystykę zewnętrzną źródła, odpowiadająca jego równaniu) „wrysowuje” się do układu współrzęd- nych, w którym przedstawiona jest charakterystyka rezystancji nieliniowej.

Obwód składa się zatem z dwóch gałęzi: źródłowej (liniowej) i odbiorczej (nieliniowej lub w szcze- gólnym przypadku – liniowej).

Dla odróżnienia zapisu zależności (charakterystyk): I(U) oraz U(I), odnoszących się do gałęzi źró- dłowej i do gałęzi odbiorczej, posłużono się symbolami, odpowiednio: I_gen(U) i I_odb(U) oraz U_gen(I) i U_odb(I).

1

I ^’ 12 A

2 Ω 6 Ω 0

I ^’w

c’) c’’) ¹

I ^’’

8 V

2 Ω 6 Ω 0

I ^’’w

a) b) c) A

I 24 V

2 V

2 Ω 6 V 2 Ω

(Rs) B

U 16 V

I A 4 Ω

(Rs)

B U U

I

4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego ⁶¹

a)

b)

Jeśli dana jest charakterystyka gałęzi odbiorczej Uodb(I), to sporządzony wykres zastępczej gałęzi źródłowej odpowiada równaniu:

I R E I

U_gen( )= − _w⋅ , (4.2a) gdzie: E , Rw oraz I_z =E R_w – parametry za- stępczego źródła napięciowego.

Przecięcie wykresów funkcji Uodb(I) i Ugen(I) wyznacza rozwiązanie U = Ugen = Uodb (rys. a).

Jeśli dana jest charakterystyka gałęzi odbiorczej Iodb(U), to sporządzony wykres zastępczej gałęzi źródłowej odpowiada równaniu:

U G I U

I_gen( )= _źr − _w⋅ , (4.2b) gdzie: I_źr , G_w oraz U₀ =I_źr G_w – parametry zastępczego źródła prądowego.

Przecięcie wykresów funkcji Iodb(U) i Igen(U) wyznacza rozwiązanie I = Igen = Iodb (rys. b).

Uwaga. Zarówno gałąź źródłowa, jak i odbiorcza, może być gałęzią zastępczą układu o większej liczbie elementów: gałąź źródłowa – rezystorów liniowych i źródeł, gałąź odbiorcza – rezystorów liniowych oraz nieliniowych, i - ewentualnie - źródeł. Gałąź odbiorcza może więc być zarówno gałę- zią pasywną, jak i aktywną (odbiornikiem aktywnym). Aby można było zastosować metodę przecięcia charakterystyk, trzeba znać równanie gałęzi źródłowej i wykres I(U) lub U(I) gałęzi odbiorczej.

Przykład. Zostanie rozpatrzony obwód nieliniowy, który był poprzednio rozwiązany analitycznie.

Obwód pokazany obok otrzymano, jak poprzednio, po zgrupowaniu elementów tego samego rodzaju, występujących w gałęzi liniowej (źródłowej). Wzór licz- bowy tej gałęzi ma postać:

Ugen(I) = 16 – 4 I ;

napięcie w stanie jałowym wynosi więc 16 V, a prąd zwarcia 4 A.

Charakterystyka gałęzi nieliniowej jest dana w postaci wykresu U_odb(I). Razem z nim przedstawio- no wykres charakterystyki U_gen(I). Punkt przecięcia obu wykresów wyznacza rozwiązanie I = 2 A.

Obwód z rezystorem liniowym zadanym parametrycznie - rozwiązanie graficzne

Metoda przecięcia charakterystyk ma zastosowanie, w szczególności, do obwodu liniowego.

Przykład. Liniową gałąź źródłową (z poprzedniego przykładu) połączono ze zmienną rezystancją R. Na rysunku pokazano schemat obwodu i wyjaśniono sposób wykreślnego sporządze- nia zależności I(R).

16 V I

4 Ω

(Rs) U

0 4 8 12 16

0 1 2 3 4

I A V U

Ugen

Uodb

16 V I

4 Ω U R

⇒

0 5 10 15 20

0 1 2 3 4

I A V U

R=24Ω 12Ω 8Ω 6Ω

4Ω 3Ω 2Ω

1Ω 0Ω

0 1 2 3 4

0 6 12 18 24

A I

R Ω

(Rs) E

I

Rw

Ugen Uodb

0 U

I E Ugen Uodb

U

I Iz

0 I

U Iźr Igen

Iodb

I

U U0

Gw U

(Rs) Igen Iodb

Iźr

≡ ≡

Wstęp topologiczny do analizy rozgałęzionych obwodów elektrycznych

W ogólnej teorii sieci obwodowi elektrycznemu zostaje przyporządkowany graf strukturalny (ina- czej: nieskierowany, niezorientowany), a po zaznaczeniu na nim zwrotów, odpowiadających przyję- tym zwrotom prądu w gałęziach obwodu – graf skierowany (inaczej: zorientowany). Graf struktu- ralny pozwala określić cechy geometryczne obwodu, graf skierowany umożliwia zapisanie ogól- nych zależności (równań obwodu), służących do wyznaczenia wartości prądów i napięć gałęzio- wych. Węzłom obwodu elektrycznego odpowiadają węzły (inaczej: wierzchołki) grafu, gałęziom obwodu – gałęzie (inaczej: krawędzie) grafu. Wszystkie gałęzie są przedstawiane przy tym w jed- nakowej, tzw. normalnej (uogólnionej) postaci.

Węzły grafu oznacza się kropkami (zaczernionymi kółecz- kami). Gałęzie grafu są przedstawiane jako odcinki linii z węzłami na jego końcach. Węzły te noszą miano węzłów ga- łęzi. Dla rozróżnienia węzłów gałęzi skierowanej określa się je jako jej początek i koniec. Zwrot gałęzi skierowanej – od jej początku do jej końca – zaznacza się na rysunku strzałką otwartą (rys. obok).

Bez obu węzłów gałąź nie istnieje; jest zawsze z nimi związana. Taką relację związania przyjęto nazywać incydencją. Każda gałąź jest zatem incydentna ze swymi węzłami.

Węzeł jest tworem autonomicznym, mogącym występować bez gałęzi (poza nią). Taki węzeł nazy- wa się izolowanym. Węzeł izolowany nie jest incydentny z żadną gałęzią.

Gałąź incydentna z jednym węzłem, tzn. taka, której wę- zły są złączone, nazywa się pętlą. Gałęzie incydentne z tą samą parą węzłów, tzn. takie, których węzły są złączone parami, nazywają się gałęziami równoległymi. Dwie nie- równoległe gałęzie incydentne ze wspólnym węzłem, tzn.

takie, które mają złączone ze sobą po jednym węźle, na- zywają się gałęziami przyległymi (rys. obok).

Graf bez pętli własnych i gałęzi równoległych nazywa się grafem prostym.

Liczbę gałęzi i węzłów grafu kojarzy się z liczbą niewiadomych prądów lub napięć gałęziowych. Ide- alne źródła prądowe nie tworzą same gałęzi w grafie obwodu (prądy źródłowe są z założenia znane).

„Samotne” idealne źródła prądowe nie są za- tem gałęziami, ale traktuje się jako elementy autonomiczne. Takie źródła będą nazywane pseudogałęziami i zaznaczane na grafie obwo- du linią przerywaną. Zorientowanie pseudoga- łęzi będzie przyjmowane zgodnie ze zwrotem jej prądu źródłowego. Przykładowy obwód prądu stałego i jego graf skierowany pokazano obok.

Identyczność grafów nie zależy od sposobu rysowania gałęzi i rozmieszczenia węzłów, tylko od incydencji gałęzi z węzłami, czego ilustracją jest poniższy przykład.

1 1 2 (1, 2 – węzły gałęzi 1 2

(1 – początek gałęzi 1, 2 – koniec gałęzi 1)

1

pętla gałęzie równoległe

gałęzie przyległe

1 I2

I1

I3

I4 I5

I6

2

3

4 5

1 2

3 1

2 3 4

5 6 7 4 5

1

2

3

1 2

3

4 5

6 4

1 2

1 2 3

3

4 5

6 4

1 2

1 2 3 3

4 5

6

4

4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego ⁶³

ścieżka oczko Graf, który można narysować w taki sposób, że ga-

łęzie nie mają żadnych punktów wspólnych poza węzłami, nazywa się planarnym (inaczej: płaskim), w przeciwnym zaś wypadku – nieplanarnym (ina- czej: przestrzennym). Obok przedstawiono przykła- dy.

Droga jest wyznaczona przez ciąg gałęzi przyległych, nie występujących więcej niż jeden raz (wę- zły mogą się powtarzać).

Jeśli na krańcach drogi są różne węzły, to taka droga nazywa się drogą otwartą, jeśli natomiast jest ten sam węzeł, to nazywa się zamkniętą (rys. obok).

Jeśli między wszystkimi węzłami grafu istnieje droga, to taki graf oraz obwód elektryczny, który on obrazuje, noszą nazwy jednospójnych (inaczej: jednoczęściowych), jeśli natomiast nie ma takiej drogi, to ogólnie nazywa się je niespójnymi, a w szczególności, jeśli są spójne w swych częściach – niejednospójnymi. Graf spójny, w którym istnieje taka gałąź, że po jej usunięciu staje się on nie- spójnym, nazywa się słabo spójnym. Poniżej przedstawiono przykłady.

Obwody elektryczne noszą takie same nazwy, jak grafy obrazujące ich strukturę. Z reguły mamy do czynienia z obwodami planarnymi, jednospójnymi, bez pętli własnych.

Ścieżką nazywa się taką drogę, na której żaden z węzłów nie występuje więcej niż jeden raz; oczkiem nazywa się ścieżkę będącą drogą zamkniętą (rys. obok).

Drzewo – wg definicji – jest to graf spójny, w którym nie występują oczka. Na ogół chodzi o drze- wo, które jest podgrafem grafu spójnego i zawiera wszystkie jego węzły (podzbiór gałęzi zawiera- jących wszystkie węzły, będący grafem spójnym bez oczek). Takie drzewo nazywa się drzewem grafu lub dendrytem (inaczej: największym drzewem, drzewem rozpierającym). Graf spójny ma zwykle wiele dendrytów.

W wypadku grafu niejednospójnego mówi się o drzewach jego części spójnych i zbiorze tworzo- nym przez te drzewa: lesie dendrytów.

Gałęzie drzewa nazywane są konarami. Gałąź grafu, której dodanie do drzewa tworzy dokładnie jedno oczko, nazywa się cięciwą (inaczej: łącznikiem, struną, gałęzią dopełniającą, gałęzią zamy- kającą).

Kilka drzew przykładowego grafu, z konarami narysowanymi grubymi linia- mi i cięciwami narysowanymi cienkimi liniami, pokazano na rysunku obok.

Liczba gałęzi dendrytu (lasu dendrytów) określa rząd grafu. Rząd grafu obwodu elektrycznego od- powiada liczbie m jego węzłów niezależnych. Rząd grafu zerowego (bez gałęzi) jest równy zeru, ponieważ z węzłem izolowanym nie są związane zmienne gałęziowe. Rząd każdego grafu spójnego o w węzłach jest zatem równy m = w – 1, a liczba ta jest równa liczbie gałęzi dendrytu grafu spój- nego. Rząd grafu niejednospójnego, złożonego z p części spójnych, jest równy m = w – p.

graf planarny graf nieplanarny

droga otwarta – od A do B

A B

droga zamknięta – od A do A

A

graf jednospójny graf niejednospójny graf słabo spójny

Liczba cięciw dendrytu (lasu dendrytów) określa zerowość grafu. Zerowość grafu obwodu elek- trycznego odpowiada liczbie n jego oczek niezależnych. Liczba cięciw dendrytu o m gałęziach – w grafie spójnym o g gałęziach – jest równa n = g – m = g – w + 1. Liczba cięciw dendrytu o m gałę- ziach – w grafie niejednospójnym o g gałęziach, złożonym z p części spójnych – jest równa n = g – m = g - w + p.

Tworzenie oczek niezależnych dobrze jest wiązać z wybranym dendrytem. Jedna z gałęzi w każ- dym oczku jest wtedy cięciwą, zaś pozostałe – konarami. Oczka takie nazywają się podstawowymi.

Obok przedstawiono przykłady z różnymi dendrytami tego samego grafu (konary – linie grube, cięciwy – linie cienkie, oczka podstawowe – linie kropkowane).

Pseudogałąź (linia przerywana) nie tworzy oczka!

Współczynniki incydencji

Z węzłami obwodu elektrycznego związane są prądowe równania równowagi, wynikające z I prawa Kirchhoffa dla prądów gałęzi zbiegających się w węzłach niezależnych. W zapisie ogólnym tych równań występują współczynniki incydencji gałęzi skierowanej (lub pseudogałęzi) i węzła, których wartości – określone zgodnie z zasadą obowiązującą w teorii grafów – wynoszą:







− +

=

ęzi), (pseudogał gałęzi

tej - końcem jest

ty węzeł -

jeśli 1

ęzią), (pseudogał gałęzią

tą - z incydentny jest

nie ty węzeł -

jeśli 0

ęzi), (pseudogał gałęzi

tej - początkiem jest

ty węzeł -

jeśli 1

k i

k i

k i

λik (4.3a)

gdzie: i – numer węzła, k – numer gałęzi lub pseudogałęzi, λik – współczynnik incydencji k-tej gałęzi (lub pseudogałęzi) i i-tego węzła.

Obok przedstawiono poglądowy rysunek. Znak λik

jest przeciwny do znaku, z jakim w tradycyjnym zapisie I prawa Kirchhoffa dla sumy prądów w i-tym węźle występuje prąd k-tej gałęzi (tradycyjnie pisze się prądy dopływające ze znakiem „plus”, zaś od- pływające – ze znakiem „minus”).

Z oczkami obwodu elektrycznego związane są napięciowe równania równowagi, wynikające z II prawa Kirchhoffa dla napięć gałęzi tworzących oczka niezależne. W zapisie ogólnym tych rów- nań występują współczynniki incydencji gałęzi skierowanej i oczka, których wartości – określone zgodnie z zasadą obowiązującą w teorii grafów – wynoszą:















− +

=

oczka.

obiegu zwrotu

do przeciwny jest

jej zwrot a

oczkiem,

tym - z incydentna jest

gałąź ta - jeśli 1

oczkiem,

tym - z incydentna jest

nie gałąź ta - jeśli 0

oczka, obiegu zwrotem

ze zgodny jest

jej zwrot a

oczkiem,

tym - z incydentna jest

gałąź ta - jeśli 1

l k

l k

l k

δlk (4.3b)

gdzie: k – numer gałęzi, l – numer oczka, δlk – współczynnik incydencji k-tej gałęzi i l-tego oczka.

Obok przedstawiono poglądowy rysunek. Obiegowi zgodnemu ze zwrotem prądu Ik odpowiada napięcie o znaku przeciwnym do napięcia „odbiornikowego”

Uk , a obiegowi ze zwrotem przeciwnym – napięcie o znaku zgodnym (przy sumowaniu napięć gałęzio- wych zgodnie z ich zwrotem, zwrot obiegu powinien być przeciwny do zwrotu δlk ).

i k

λ^{ik =1} i Ik >0

(–Ik )=(–λ^{ik )}⋅^Ik

k i λ^{ik =–1} Ik >0 i (+Ik )=(–λ^{ik )}⋅^Ik

k

δ^{lk =1} l

Ik >0 Rk

(–Uk )=(–δ^{lk )}⋅^{Rk Ik}

k

δ^{lk =–1} l

Ik >0 Rk

(+Uk )=(–δ^{lk )}⋅^{Rk Ik}