sin 105

Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TOR

Temat lekcji: Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów Data lekcji: 26.03.2020 – lekcja 1 i 2

Wprowadzenie do tematu: Kontynuacja tematu zależności między funkcjami trygonometrycznymi Instrukcje do pracy własnej:

WZORY:

Przykład 1.

Korzystając z tych własności oblicz sin 115^°:

sin 105

= sin⁡( 60

+ 45

) = 𝑠𝑖𝑛

√

2 ∙

√

2 +1 2∙

√

2 = =^√6+√2₄

Przykład 2.

Korzystając z tych własności oblicz:

𝑠𝑖𝑛

18∙ sin⁴

9𝜋 − 𝑐𝑜𝑠^𝜋

18∙ 𝑐𝑜𝑠⁴

9𝜋.

𝑠𝑖𝑛

18∙ sin⁴

9𝜋 − 𝑐𝑜𝑠^𝜋

18∙ 𝑐𝑜𝑠⁴

9𝜋 = −

(

18∙ 𝑐𝑜𝑠⁴

9𝜋 − ⁡

𝑠𝑖𝑛

18∙ sin⁴

9𝜋

)

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= − cos

(

18+⁴

9𝜋

)

(

18+^8𝜋

18

)

18= −𝑐𝑜𝑠^𝜋

2= 0

WZORY:

Przykład 3.

Korzystając z tych własności oblicz sin 2x⁡⁡⁡⁡i⁡⁡⁡⁡cos2x, wiedząc, że sinx =⁴

5⁡⁡⁡⁡⁡i⁡⁡x ∈ (0;⁡^π

2).

Znając sinx wyznaczamy cosx, z jedynki trygonometrycznej.

𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4 5)

2

+ 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1 ⁡⁡⁡𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1 −¹⁶₂₅

⁡⁡⁡⁡⁡⁡ 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = ⁹

25

𝑐𝑜𝑠𝑥 =³

5⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑙𝑢𝑏⁡⁡⁡⁡ cos 𝑥 = −³

5 mamy kąt z I ćw.; więc wszystkie funkcje mają znak + 𝑥 ∉ ⁡ (0;⁡^𝜋

2) Mamy, że 𝑠𝑖𝑛𝑥 =⁴₅⁡⁡⁡⁡⁡𝑖⁡⁡⁡⁡⁡𝑐𝑜𝑠𝑥 =³₅⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡

Obliczamy: 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 ∙⁴₅∙³

5=²⁴

25

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − ⁡ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = (³

5)²− (⁴

5)²= ⁹

25−¹⁶

25= −⁷

25. Przykład 4.

Czy poniższa zależność cos⁴x − sin⁴x = cos2x jest tożsamością trygonometryczną?

Sprawdzamy, czy ta zależność jest prawdziwa.

cos⁴x − sin⁴x = (𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥)(𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑥) = cos2x ∙ 1 = cos2x To jest tożsamość trygonometryczna.

Praca własna: Zadanie 1 str. 165 (jeden wiersz)

Po jednym przykładzie z Zadanie 2, 3, 4, 5 str. 165.

Informacja zwrotna:

Spotkanie online na platformie Discord – 26.03.2020 o godz.12.30 -13.15

Przesłanie rozwiązanych zadań, pytań na adres matmaxmm121@gmail.com do 31.03.2020 r.

Opracowała Marzena Mrzygłód

Z komentarzem [MM1]: Rozpisujemy wzór skróconego mnożenia

Z komentarzem [MM2]: W I nawiasie jest wzór na cos2x, a w drugim jedynka trygonometryczna.