Ćwiczenia nr 1, AM I, 1.3.2019 Pochodna funkcji - zastosowania Zadanie 1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji
(a) |x2+ 2x − 3| +32ln x na [12, 2];
(b) e
√
x2·|x+1| na [−2, 1];
(c) 4x +9πx2; (d) ln xx3 na [1, e];
(e) 2ex ln x na (0, 2].
Zadanie 2. Pod jakim kątem przecinają się krzywe: y = x2 i x = y2?
Zadanie 3. Znajdź kąt pomiędzy prawostronną, a lewostronną styczną do wykresów funkcji:
(a) f (x) =√
1 − e−x2 w punkcie (0, f (0));
(b) f (x) = arc sin1+x2x2 w punkcie (1, f (1)).
Zadanie 4. Pzy jakich p, q wykres funkcji y = x3+ px + q jest styczny do osi OX?
Zadanie 5. Wykaż, że
(a) cos x > −x +π2 dla x > 0;
(b) arctg x <12x + 12 dla x > 0.
Zadanie 6. Znajdź największą stałą c, że
tg x 2x + c dla x ∈ (0,π2).
Zadanie 7. Rozstrzygnij, czy funkcja f (x) = sin(x sin x) jest jednostajnie ciągła (a) na (0, 10],
(b) [10, +∞).
Zadanie 8. Uzasadnij, że funkcja f (x) = | arctg x| spełnia nierówność Lipschitza ze stałą L = 1:
| arctg x − arctg y| ¬ |x − y|.
Zadanie 9. Z każdego z rogów tekturowego prostokąta o bokach 35 cm i 11 cm wycięto kwadrat o boku x cm.
Zagięto tekturę w wyniku czego powstało pudełko (bez pokrywki) w kształcie prostopadłościanu. Wysokość pudełka równa jest x cm. Dla jakiego x pojemność otrzymanego pudełka jest największa?
Zadanie 10. Znajdź stożek o najmniejszej objętości spośród wszystkich stożków opisanych na kuli o promieniu 1.1 Zadanie 11. Na wykresie funkcji y = 19x3− 3x znaleźć punkt leżący najbliżej punktu (−15, −5).
1Stożek jest opisany na kuli, jeśli jego podstawa i powierzchnia boczna są styczne do kuli.
