MACIERZE ODWROTNE
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz A-1, że A⋅A-1=A-1⋅A=I,
gdzie I jest macierzą jednostkową tego samego stopnia co macierz A Tylko macierze nieosobliwe (det A≠0) posiadają macierz odwrotną.
Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej
1) jeśli macierz A jest stopnia n, to A-1= i elementy macierzy A
nn n
n
x x
x x
...
...
...
...
...
1
1 11
-1
wyznaczamy z równania macierzowego A⋅A-1=I.
2) A-1 =
det1 ⋅[DA ij]T,
przy czym [Dij]T jest transpozycją macierzy dopełnień algebraicznych, czyli macierzy
[Dij]= ,
nn n
n
n n
D D
D
D D
D
D D
D
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
gdzie Dij =(-1)i+j⋅|Aij| jest dopełnieniem algebraicznym elementu aij, zaś |Aij| jest minorem elementu aij (wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny).
3) Twierdzenie 1. Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą (detA≠0), to istnieje ciąg przekształceń elementarnych sprowadzających tę macierz do macierzy jednostkowej.
Twierdzenie 2. Jeżeli ciąg przekształceń elementarnych sprowadza nieosobliwą macierz kwadratową stopnia n do macierzy jednostkowej stopnia n, to ten sam ciąg przekształceń elementarnych sprowadza tą samą macierz jednostkową do macierzy A-1 (przekształcenia dokonujemy bądź na wierszach, bądź na kolumnach).
Jeżeli w trakcie przekształceń elementarnych otrzymamy wiersz lub kolumnę zerową tzn., że macierz odwrotna nie istnieje.
A I
Tn Tn
I A-1
Arkadiusz Lisak 1
OPERACJE ELEMENTARNE I RZĄD MACIERZY
Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A=[aij]m x n nazywamy następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy:
T1 – polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny przez liczbę α ≠0,
T2 – polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn, T3 –polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny
odpowiadających im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych przez liczbę α ≠0.
Przykład. A= T
−
1 4 0 0
3 2 1 1
3 2 0 1
1(2⋅w2) T
−
1 4 0 0
6 4 2 2
3 2 0 1
3(w1+2w3)
−
1 4 0 0
0 2 1 1
5 10 0 1
T2(w1↔w2)
−
1 4 0 0
0 10 0 1
0 2 1 1
Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów (wierszy lub kolumn) tej macierzy i oznaczamy przez rzA.
Sposoby wyznaczania rzędu macierzy
1) Rząd macierzy jest to najwyższy stopień niezerowego wyznacznika kwadratowej podmacierzy (minora) tej macierzy (najwyższy stopień jej nieosobliwej podmacierzy).
2) Tw. Przekształcenia elementarne typu T1, T2, T3 nie zmieniają rzędu macierzy.
Postać bazowa macierzy (macierz bazowa) dla macierzy A
A=
| 2
| 1 O
R O
Ik
,
gdzie Ik jest macierzą jednostkową stopnia k, zaś O1 i O2 są macierzami zerowymi.
Tw. Każdą macierz A można za pomocą ciągu operacji elementarnych przekształcić do macierzy bazowej, która zawiera podmacierz jednostkową stopnia k. Wtedy rzA=k.
Stopień k macierzy jednostkowej I otrzymanej w lewym górnym rogu macierzy określa rząd macierzy.
Arkadiusz Lisak 2
