• Nie Znaleziono Wyników

X.P c) według rozkładu (słabo zbieżny), jeżeli ciąg dystrybuant {FXn}n∈N jest zbieżny do dys- trybuanty FX rozkładu zmiennej losowej X, przy n

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "X.P c) według rozkładu (słabo zbieżny), jeżeli ciąg dystrybuant {FXn}n∈N jest zbieżny do dys- trybuanty FX rozkładu zmiennej losowej X, przy n"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Mocne Prawo Wielkich Liczb, Centralne Twierdzenie Graniczne

Definicja 1. Ciąg {Xn}n∈N zmiennych losowych jest zbieżny do zmiennej losowej X:

a) prawie na pewno (prawie wszędzie, P -prawie wszędzie), jeżeli P ( lim

n−→∞Xn = X) = 1, ozn. Xn −→ X, Xp.n. n−→ X, Xp.w. n P −p.w.−→ X.

b) według prawdopodobieństwa, jeżeli

ε>0 lim

n−→∞P (|Xn− X| > ε) = 0, 

n−→∞lim P (|Xn− X| < ε) = 1 ozn. Xn −→ X.P

c) według rozkładu (słabo zbieżny), jeżeli ciąg dystrybuant {FXn}n∈N jest zbieżny do dys- trybuanty FX rozkładu zmiennej losowej X, przy n −→ ∞, w każdym punkcie ciągłości dystrybuanty granicznej FX. Ozn. Xn −→ X, XD n−→ X.d

Fakt 1. Zależności między rodzajami zbieżności zmiennych losowych są następujące:

Xn−→ Xp.n. =⇒ Xn −→ XP =⇒ Xn−→ X.D

Fakt 2. Jeżeli ciąg {Xn}n∈N zbiega wg rozkładu do stałej, to zbiega również wg praw- dopodobieństwa do tej samej stałej.

Fakt 3. Jeżeli Xn−→ X i YD n−→ c, to XD n+ Yn−→ X + c oraz XD nYn −→ cX.D

Mocne Prawo Wielkich Liczb (MPWL) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Jeżeli E|X1| < ∞, to

X1+ . . . + Xn n

n→∞−→ EX1, P -prawie wszędzie.

Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależ- nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie ze skończoną wartością oczekiwaną i skończoną, dodatnią wariancją. Wówczas

X1+ . . . + Xn− nEX1

√nV arX1

−→ X ∼ N (0, 1).D

Wniosek (Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a) Niech Sn oznacza liczbę sukcesów w schemacie n prób Bernoullego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczym do- świadczeniu równym p (zatem Sn∼ B(n, p)). Jeżeli V arSn> 0, to dla q = 1 − p mamy

Sn− np

√npq

−→ X ∼ N (0, 1),D

zatem

P



a ≤ Sn− np

√npq ≤ b



n→∞−→ Φ(b) − Φ(a), gdzie Φ(t) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Szereg majoryzuje się szeregiem geometrycz-

będzie ciągiem nie- zależnych zmiennych losowych o

b¦dzie ci¡giem nieza- le»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie ze sko«czon¡ warto±ci¡ oczekiwan¡. i sko«czon¡,

[r]

Sprawdź z definicji, czy ciąg zmiennych losowych {X n } ∞ n=1 określony na tej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny do zmiennej losowej X: z prawdopodobieństwem jeden,

5.2 Niech {X n } n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na odcinku

Prowadz¸acy zaj¸ecia sprawdza czy studenci potrafi¸a poradzi´c sobie z tym zadaniem prosz¸ac o podanie rozwi¸azania kolejnych losowo wybranych student´ow.. Sprawdzanie ko´nczy

Prowadz¸acy zaj¸ecia sprawdza czy studenci potrafi¸a poradzi´c sobie z tym zadaniem prosz¸ac o podanie rozwi¸azania kolejnych losowo wybranych student´ow.. Sprawdzanie ko´nczy