X.P c) według rozkładu (słabo zbieżny), jeżeli ciąg dystrybuant {FXn}n∈N jest zbieżny do dys- trybuanty FX rozkładu zmiennej losowej X, przy n

Mocne Prawo Wielkich Liczb, Centralne Twierdzenie Graniczne

Definicja 1. Ciąg {Xn}n∈N zmiennych losowych jest zbieżny do zmiennej losowej X:

a) prawie na pewno (prawie wszędzie, P -prawie wszędzie), jeżeli P ( lim

n−→∞X_n = X) = 1, ozn. X_n −→ X, X^p.n. _n−→ X, X^p.w. _n ^{P −p.w.}−→ X.

b) według prawdopodobieństwa, jeżeli

∀_ε>0 lim

n−→∞P (|X_n− X| > ε) = 0, 

n−→∞lim P (|X_n− X| < ε) = 1 ozn. X_n −→ X.^P

c) według rozkładu (słabo zbieżny), jeżeli ciąg dystrybuant {F_Xn}_n∈N jest zbieżny do dys- trybuanty F_X rozkładu zmiennej losowej X, przy n −→ ∞, w każdym punkcie ciągłości dystrybuanty granicznej F_X. Ozn. X_n −→ X, X^D _n−→ X.^d

Fakt 1. Zależności między rodzajami zbieżności zmiennych losowych są następujące:

X_n−→ X^p.n. =⇒ X_n −→ X^P =⇒ X_n−→ X.^D

Fakt 2. Jeżeli ciąg {X_n}_n∈N zbiega wg rozkładu do stałej, to zbiega również wg praw- dopodobieństwa do tej samej stałej.

Fakt 3. Jeżeli X_n−→ X i Y^D _n−→ c, to X^D _n+ Y_n−→ X + c oraz X^D _nY_n −→ cX.^D

Mocne Prawo Wielkich Liczb (MPWL) Niech X₁, X₂, . . . będzie ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Jeżeli E|X₁| < ∞, to

X₁+ . . . + X_n n

n→∞−→ EX₁, P -prawie wszędzie.

Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG) Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależ- nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie ze skończoną wartością oczekiwaną i skończoną, dodatnią wariancją. Wówczas

X₁+ . . . + X_n− nEX₁

√nV arX1

−→ X ∼ N (0, 1).D

Wniosek (Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a) Niech S_n oznacza liczbę sukcesów w schemacie n prób Bernoullego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczym do- świadczeniu równym p (zatem S_n∼ B(n, p)). Jeżeli V arS_n> 0, to dla q = 1 − p mamy

Sn− np

√npq

−→ X ∼ N (0, 1),D

zatem

P



a ≤ S_n− np

√npq ≤ b



n→∞−→ Φ(b) − Φ(a), gdzie Φ(t) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.